Gruppe (matematikk)

I matematikk er en gruppe et sett med elementer sammen med en lenke som tildeler et tredje element av samme sett til hvert to elementer i settet og derved oppfyller tre betingelser, gruppeaksiomene : den assosiative loven , eksistensen av et nøytralt element og eksistensen av omvendte elementer .

En av de mest kjente gruppene er settet med heltall med tillegg som lenke. Det matematiske delområdet som er viet til forskning på gruppestruktur kalles gruppeteori . Det er en gren av algebra . Bruksområdene til gruppene, også utenfor matematikken, gjør dem til et sentralt begrep for moderne matematikk.

Grupper deler et grunnleggende slektskap med ideen om symmetri . For eksempel legemliggjør symmeturgruppen til et geometrisk objekt dets symmetriske egenskaper. Den består av settet med de bildene (f.eks. Rotasjoner ) som lar objektet være uendret, og utførelsen av slike bilder etter hverandre som en lenke. Løgnegrupper er symmeturgruppene til standardmodellen for partikkelfysikk , punktgrupper brukes til å forstå symmetri på molekylært nivå i kjemi , og Poincaré-grupper kan uttrykke symmetriene som den spesielle relativitetsteorien er basert på.

Konseptet til gruppen oppstod fra Évariste Galois 'studier av polynomiske ligninger på 1830-tallet. Etter bidrag fra andre matematiske områder som tallteori og geometri , ble konseptet til gruppen generalisert. Det ble etablert rundt 1870 og er nå behandlet i det uavhengige feltet for gruppeteori . For å studere grupper har matematikere utviklet spesielle begreper for å dele grupper opp i mindre, lettere forståelige biter, for eksempel: B. Undergrupper , faktorgrupper og enkle grupper . I tillegg til deres abstrakte egenskaper, undersøker gruppeteoretikere også måter gruppene kan uttrykkes konkret på ( representasjonsteori ), både for teoretiske undersøkelser og for konkrete beregninger. En spesielt rik teori ble utviklet for de endelige gruppene , som kulminerte i 1983 med klassifiseringen av de endelige enkle gruppene . Disse spiller en rolle for grupper som kan sammenlignes med primtall for naturlige tall .

Innledende eksempel

En av de mest kjente gruppene er settet med heltall , vanligvis referert til som, sammen med tillegg . ${\ displaystyle \ {\ ldots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ ldots \}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Heltallssettet sammen med tillegget oppfyller noen grunnleggende egenskaper:

• For to hele tall og den summen er igjen et helt tall. Hvis man derimot deler to hele tall med hverandre , vil resultatet stort sett være et rasjonelt tall og ikke lenger et helt tall. Siden dette ikke kan skje med tillegget, sies det at hele tallene er stengt under tillegget.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a + b}$
• For alle heltall , og assosierende lov gjelder${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$.

Med ord, det spiller ingen rolle om du legger til og eller og først , resultatet er det samme. Denne egenskapen kalles assosiativitet .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

• Følgende gjelder for hvert hele tall${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle 0 + a = a + 0 = a}$.

Tillegget med null endrer ikke startnummeret. Derfor kalles null det nøytrale tilleggselementet.

• For hvert heltall er det et helt tall slik at . Dette betyr at for hvert heltall er det et helt tall slik at summen er lik null. I dette tilfellet kalles tallet det omvendte elementet av og blir notert med .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a + b = b + a = 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle -a}$

Disse fire egenskapene til settet med heltall sammen med deres tillegg er generalisert i definisjonen av gruppen til andre sett med en passende operasjon .

definisjon

gruppe

En gruppe er et par som består av et beløp og en indre tosifret snarvei på . Figuren (skrevet i infiksnotasjon ) oppfyller${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle * \ colon \, {\ begin {cases} G \ times G & \ to & G \\ (a, b) & \ mapsto & a * b \ end {cases}}}$

følgende krav , kalt gruppeaksiomer :

For alle gruppeelementer , og gjelder følgende: .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$       ${\ displaystyle (a * b) * c = a * (b * c)}$	( Associativitet )
Det er et (enkelt) nøytralt element , med alle gruppe elementer gjelder: .${\ displaystyle e \ in G}$${\ displaystyle a \ in G}$       ${\ displaystyle a * e = e * a = a}$	(Eksistensen av det nøytrale elementet)
For hvert gruppeelement er det et (enkelt) invers element med .${\ displaystyle a \ in G}$       ${\ displaystyle a ^ {- 1} \ in G}$${\ displaystyle a * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} * a = e}$	(Eksistensen av det omvendte elementet)

Så en gruppe er en monoid der hvert element har en invers.

Svake gruppeaksiomer

Gruppeaksiomene kan formelt svekkes ved å erstatte aksiomene for det nøytrale og det omvendte elementet som følger:

Det er et venstre-nøytralt element , slik at: ${\ displaystyle e \ in G}$

• Følgende gjelder for alle gruppeelementer :${\ displaystyle a}$${\ displaystyle e * a = a.}$
• For hver er det et venstre-invers element med .${\ displaystyle a \ in G}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1} \ in G}$${\ displaystyle a ^ {- 1} * a = e}$

Denne formelt svakere definisjonen tilsvarer den opprinnelige definisjonen.

bevis

Det tilfredsstiller de svake gruppeaksiomene. Så er det en venstre invers for hvert gruppeelement og har igjen en venstre invers . Så , uansett hva en rett omvendt også gjelder for . Dette betyr at det også er et høyre-nøytralt element og dermed også en gruppe i henhold til den sterkere aksiomatikken. ∎ ${\ displaystyle (G, *)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b \ in G}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c \ in G}$${\ displaystyle a * b = e * (a * b) = (c * b) * (a * b) = c * ((b * a) * b) = c * (e * b) = c * b = e}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a * e = a * (b * a) = (a * b) * a = e * a = a}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle (G, *)}$

Grupper som en algebraisk struktur

En gruppe kan også defineres som en bestemt algebraisk struktur . Med de svake gruppeaksjonene får vi:

En gruppe er en firdobling som består av et sett så vel som en assosiativ, indre tosifret lenke , en nulsifret lenke og en ensifret lenke på , slik at og gjelder for hver . ${\ displaystyle (G, *, e, {^ {- 1}})}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle *}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle ^ {- 1}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle a \ in G}$${\ displaystyle e * a = a}$${\ displaystyle a ^ {- 1} * a = e}$

Dermed er en gruppe en spesiell monoid der alle elementene er inverterbare.

Abelsk gruppe

En gruppe kalles abelsk eller kommutativ hvis følgende aksiom også er oppfylt: ${\ displaystyle (G, *)}$

• Kommutativitet : gjelderalle gruppeelementerog.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a * b = b * a}$

Ellers vil jeg. dvs. hvis det er gruppeelementer som det er, kalles gruppen ikke-abelsk (eller ikke-kommutativ ). ${\ displaystyle a, b \ in G}$${\ displaystyle a * b \ neq b * a}$${\ displaystyle (G, *)}$

Gruppebestilling

Når det gjelder en gruppe , blir tykkelsen også referert til som gruppens rekkefølge . Så for en endelig gruppe er ordren ganske enkelt antall gruppeelementer. ${\ displaystyle (G, *)}$ ${\ displaystyle | G |}$ ${\ displaystyle G = \ {a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc, a_ {n} \}}$${\ displaystyle n}$

Orden på et element

Rekkefølgen til et element er definert av , hvor det nøytrale elementet representerer gruppen . ${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} (g): = \ min (\ {n \ in \ mathbb {N} \ mid g ^ {n} = e \} \ cup \ {\ infty \})}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle G}$

Merknader:

• I hver gruppe har nøyaktig det nøytrale elementet rekkefølge 1.
• Følgende gjelder endelige grupper :${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ forall g \ i G \ colon \ operatorname {ord} (g) \ mid | G |}$(talt: rekkefølgen av deler gruppeordren )${\ displaystyle g}$${\ displaystyle | G |}$

Merknader til notasjonen

Symbolet brukes ofte til lenken ; man snakker da om en multiplikativt skrevet gruppe. Det nøytrale elementet kalles da enhetselementet og symboliseres også av. Som er vanlig med vanlig multiplikasjon , det å male punktet kan bli tatt ut i mange situasjoner . Produktsymbolet brukes deretter til å koble flere elementer . For den -doble tilkobling av en gruppe element med i seg selv er skrevet som en kraft , og man definerer også . ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {n}}$${\ displaystyle a ^ {0} = 1}$${\ displaystyle a ^ {- n} = (a ^ {- 1}) ^ {n}}$

Gruppegenskapene kan også noteres i tillegg ved å bruke symbolet for lenken . Det nøytrale elementet blir da kalt null-elementet og symboliseres av. Elementet som er omvendt av gruppeelementet symboliseres ikke av men av i en gruppe skrevet som et additiv . En -fold sum er betegnet her med, og du satser også . På denne måten kan en abelsk gruppe forstås som en modul over ringen av hele tall . Additivnotasjonen er bare vanlig for abelske grupper, mens ikke-abelske eller noen grupper for det meste er skrevet multiplikativt.${\ displaystyle *}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {- 1}}$${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a + a + \ dotsb + a}$${\ displaystyle n \ cdot a}$${\ displaystyle 0 \ cdot a = 0}$${\ displaystyle (-n) \ cdot a = n \ cdot (-a)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Hvis forbindelsen er klar fra sammenhengen, skriver man ofte bare for gruppen . ${\ displaystyle G}$

Eksempler

Noen eksempler på grupper er gitt nedenfor. Grupper av tall , en gruppe med nøyaktig ett element og eksempler på sykliske grupper er gitt . Ytterligere eksempler på grupper finnes i listen over små (endelige) grupper .

Sett med tall

• Settet med hele tall sammen med tilsetningen danner en (abelsk) gruppe. Sammen med multiplikasjonen er imidlertid settet med heltall ikke en gruppe (det omvendte elementet på 2 vil være 1/2).
• Settet med rasjonelle tall eller settet med reelle tall sammen med tillegget er en gruppe. Sammen med multiplikasjonen er mengdene og også grupper.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

Den trivielle gruppen

Settet som bare har ett element kan sees på som en gruppe. Siden hver gruppe har et nøytralt element, må nettopp dette ene elementet forstås som det nøytrale elementet. Så gjelder . Ved hjelp av denne likheten kan også de gjenværende gruppeaksiomene bevises. Gruppen med nøyaktig ett element kalles triviell gruppe. ${\ displaystyle \ {e \}}$${\ displaystyle e * e = e}$

Sykliske grupper

En syklisk gruppe er en gruppe hvis elementer kan representeres som kraften til et av elementene. Ved å bruke multiplikativ notasjon er elementene i en syklisk gruppe det

${\ displaystyle \ ldots, a ^ {- 3}, a ^ {- 2}, a ^ {- 1}, e = a ^ {0}, a, a ^ {2}, a ^ {3}, \ ldots}$,

hvor betyr og betegner det nøytrale elementet i gruppen. Elementet kalles produsenten eller den primitive roten til gruppen. I additiv notasjon er et element en primitiv rot når elementene i gruppen går gjennom ${\ displaystyle a ^ {- 2} = a ^ {- 1} \ cdot a ^ {- 1}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ ldots, -aa, -a, 0, a, a + a, \ ldots}$

kan være representert.

For eksempel er additivgruppen av heltall som er vurdert i første seksjon en syklisk gruppe med den primitive roten . Denne gruppen har et uendelig antall elementer . I motsetning til dette multiplikative gruppe av det n'te komplekse røtter av enhet har begrenset mange elementer . Denne gruppen består av alle de komplekse tallene som utgjør ligningen ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle z ^ {n} = 1}$

innfri. Den gruppeelementer kan visualiseres som hjørnepunktene i et regelmessig n hjørne . For dette er gjort i grafen til høyre. Gruppearbeidet er multiplikasjonen av de komplekse tallene. På høyre bilde, slik at multiplikasjonen tilsvarer polygonens rotasjon i retning mot klokken . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 6}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle 60 ^ {\ circ}}$

Sykliske grupper har egenskapen til å være tydelig definert av antall elementer. Det vil si at to sykliske grupper hver med elementer er isomorfe , så en gruppe isomorfisme kan bli funnet mellom disse to gruppene. Spesielt er alle sykliske grupper med et uendelig antall elementer ekvivalente med den sykliske gruppen av heltall. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$

Symmetriske grupper

Den symmetriske gruppen består av alle permutasjoner (utvekslinger) av et -elementært sett . Gruppedriften er sammensetningen (utførelsen) av permutasjonene, det nøytrale elementet er den identiske kartleggingen . Den symmetriske gruppen er endelig og har rekkefølgen . Det er for ikke abelian. ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n \ geq 3}$

Grunnleggende kjennetegn ved en gruppe

• Det nøytrale elementet i en gruppe er tydelig definert. Nemlig hvis og er nøytrale elementer, så må det være, da er nøytralt og da er nøytralt. Så det følger .${\ displaystyle e}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle e * f = f}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e * f = e}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle e = f}$
• Forkortelsesregelen gjelder: Fra eller med gruppeelementene følger . Du kan se dette gjennom ${\ displaystyle a * b = a * c}$${\ displaystyle b * a = c * a}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle b = c}$

  ${\ displaystyle a * b = a * c \; \ Rightarrow \; \ underbrace {\ left (a ^ {- 1} * a \ right)} _ {e} * b = \ underbrace {\ left (a ^ { -1} * a \ høyre)} _ {e} * c \; \ Leftrightarrow \; e * b = e * c \; \ Leftrightarrow \; b = c}$.

Av dette følger det at koblingstabellen til en (endelig) gruppe er en latinsk firkant der hvert gruppeelement forekommer nøyaktig en gang i hver rad og i hver kolonne.

• Ligningen er alltid unik og løselig . Likeledes har den klare løsningen .${\ displaystyle a * x = b}$${\ displaystyle x = a ^ {- 1} * b}$${\ displaystyle x * a = b}$${\ displaystyle x = b * a ^ {- 1}}$
• Elementet omvendt til et gruppeelement er klart definert. Hvis og begge er omvendte , følger det:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {- 1}}$${\ displaystyle a '}$${\ displaystyle a ''}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a '= a' * \ underbrace {\ left (a * a '' \ right)} _ {e} = \ underbrace {\ left (a '* a \ right)} _ {e} * a' '= a' '\ Rightarrow a' = a ''}$

• Det gjelder og .${\ displaystyle e ^ {- 1} = e}$${\ displaystyle \ left (a ^ {- 1} \ right) ^ {- 1} = a}$
• Følgende gjelder for alle elementer . Dette følger av ligningskjeden${\ displaystyle \ left (a * b \ right) ^ {- 1} = b ^ {- 1} * a ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ left (a * b \ right) * \ left (b ^ {- 1} * a ^ {- 1} \ right) = a * \ underbrace {\ left (b * b ^ {- 1} \ høyre)} _ {e} * a ^ {- 1} = a * a ^ {- 1} = e}$.

Så er for omvendt.${\ displaystyle b ^ {- 1} * a ^ {- 1}}$${\ displaystyle a * b}$

Gruppehomomorfisme

Gruppehomomorfier er bilder som bevarer gruppestrukturen. En illustrasjon

${\ displaystyle \ varphi \ colon G \ to H}$

mellom to grupper og kalles gruppehomomorfisme eller kort fortalt homomorfisme, hvis ligningen ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$${\ displaystyle (H, *)}$

${\ displaystyle \ varphi (a \ cdot b) = \ varphi (a) * \ varphi (b)}$

gjelder alle elementene . Hvis kartleggingen også er bindende , kalles den gruppeisomorfisme. I dette tilfellet kalles gruppene og er isomorfe for hverandre. ${\ displaystyle a, b \ in G}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle (G, \ cdot)}$${\ displaystyle (H, *)}$

Med gruppen homomorfismer som morfismer , danner klassen av alle grupper en kategori som vanligvis blir referert til som Grp eller Gr .

Motstridende gruppe

For hver gruppe , etterlater motsatt gruppe dannet ved å knytte operandene mot omvendt:${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G ^ {\ mathrm {op}}, \ circ): = (G, \ circ)}$${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle a \ circ b: = b \ cdot a}$for alle (samme grunnleggende beløp ).${\ displaystyle a, b \ in G}$ ${\ displaystyle G}$

Er Abelian, så er det også . ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {op}} = G}$

${\ displaystyle G}$er telleren gruppe av telleren gruppe av gruppen : . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (G ^ {\ mathrm {op}}) ^ {\ mathrm {op}} = G}$

En antihomomorfisme mellom to grupper er henholdsvis en homomorfisme . ${\ displaystyle G \ rightarrow H}$${\ displaystyle G \ rightarrow H ^ {\ mathrm {op}}}$${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {op}} \ rightarrow H}$

Produkter etter grupper

I gruppeteori vurderes forskjellige produkter fra grupper:

• Det direkte produkt er gitt ved kartesisk produkt av de bære mengder sammen med komponenten messig kobling.

• Det semi-direkte produktet er en generalisering av det direkte produktet, med en gruppe som opererer på den andre. Det kan også implementeres som et indre semidirekt produkt mellom en normal divisor og en undergruppe av en gitt gruppe.

• Den krans Produktet er en spesiell semi-direkte produkt.

• Det komplekse produktet av to undergrupper i en gitt gruppe er gitt ved å koble undergruppeelementene i par. Dette produktet er mer generelt nyttig for to undergrupper av gruppen.

• Den frie produkt representerer den kategoriske co- produkt i kategorien av gruppene.

• Det sammenslåtte produktet er en generalisering av det gratis produktet der elementene i en felles undergruppe er smeltet sammen ("sammensmeltet").

Individuelle bevis

1. ↑ George G. Hall: Anvendt gruppeteori . Amerikanske Elsevier, New York 1967, s.1.
2. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 år med algebra. Historie, kulturer, mennesker . Springer, Berlin et al. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , pp. 358 . 
3. ^ Siegfried Bosch : Algebra . 6. utgave. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4 , s.11 .
4. ↑ Dette betyr at stavemåten uten parentes er godt definert .${\ displaystyle a * b * c: = (a * b) * c}$
5. ↑ Kravet til unikhet er overflødig, fordi fra bestemmelsen følger: Hvis et nøytralt element, så er${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = f * e = e.}$
6. ↑ Kravet til unikhet er overflødig, fordi fra bestemmelsen følger: Hvis et element er for omvendt, er det${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b = b * e = b * (a * a ^ {- 1}) = (b * a) * a ^ {- 1} = e * a ^ {- 1} = a ^ {- 1} .}$
7. ^ Siegfried Bosch: Lineær algebra . 3. Utgave. Springer lærebok, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29884-3 , pp. 14 . 
8. ^ Siegfried Bosch: Algebra . 6. utgave. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4 , s. 11-12.
9. ↑ Gerd Fischer : Algebra-lærebok . 1. utgave. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2 , s.6 .
10. ^ Siegfried Bosch: Algebra . 6. utgave. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-40388-4 , s. 13.
11. ^ Nicolas Bourbaki , Eléments de mathématique , Algèbre , ch. I, § 4, nr. 1; Paris, Hermann, 1970, s.29.
12. ↑ PlanetMath.org motsatt gruppe