Assosiativ lov

Med assosiative lenker er sluttresultatet det samme selv om operasjonene utføres i annen rekkefølge.

Den assosiative loven ( latinsk associare "unite, connect, link, network"), i tysk koblingsrett eller forbindelsesrett , er en regel fra matematikk . En ( tosifret ) lenke er assosiativ hvis rekkefølgen på utførelsen ikke er viktig. Med andre ord: parentesering av flere assosiative lenker er vilkårlig. Derfor kan det tydelig kalles "parentesloven".

I tillegg til assosieringsloven er kommutativ lov og distribusjonslov av elementær betydning i algebra .

definisjon

En binær forbindelse på et sett kalles assosiativ hvis den assosiative loven gjelder for alle${\ displaystyle {\ star} \ kolon A \ ganger A \ til A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a, b, c \ i A}$

${\ displaystyle a \ star \ left (b \ star c \ right) = \ left (a \ star b \ right) \ star c}$

gjelder. Brakettene kan da utelates. Dette gjelder også mer enn tre operander .

Eksempler og moteksempler

Assosiativiteten med å legge til reelle tall

Som lenker på de reelle tallene er addisjon og multiplikasjon assosiative. For eksempel

${\ displaystyle (2 + 3) + 7 = 5 + 7 = 12 \ quad =}$

${\ displaystyle 2+ (3 + 7) = 2 + 10 = 12}$

og

${\ displaystyle (2 \ ganger 3) \ ganger 7 = 6 \ ganger 7 = 42 \ quad =}$

${\ displaystyle 2 \ cdot (3 \ cdot 7) = 2 \ cdot 21 = 42}$ .

Ekte subtraksjon og deling er imidlertid ikke assosiative fordi det er det

${\ displaystyle 2- (3-1) = 0 \ quad \ neq}$

${\ displaystyle (2-3) -1 = -2}$

og

${\ displaystyle (4: 2): 2 = 1 \ quad \ neq}$

${\ displaystyle 4: (2: 2) = 4}$ .

Den potens er ikke assosiativ enten

${\ displaystyle 2 ^ {(2 ^ {3})} = 2 ^ {8} = 256 \ quad \ neq}$

${\ displaystyle (2 ^ {2}) ^ {3} = 4 ^ {3} = 64}$

gjelder. I tilfelle (divergerende) uendelige summer kan parentesene være viktige. Så tillegget mister assosiativiteten med:

${\ displaystyle (1 + (- 1)) + (1 + (- 1)) + (1 + (- 1)) + (1 + (- 1)) + \ ldots = 0 + 0 + \ ldots \ to 0}$

men

${\ displaystyle 1 + ((- 1) +1) + ((- 1) +1) + ((- 1) +1) + \ ldots = 1 + 0 + 0 + \ ldots \ to 1}$

I endelige realisasjoner som datamaskinen er representasjonene av tallene begrenset i størrelse. Dermed kan verken tillegg eller multiplikasjon være vilkårlig korrekt. Tillegg og multiplikasjon av faste punktnumre kan settes på mange maskiner på en slik måte at de indikerer når resultatet er feil , og operasjonene er assosiative innenfor et gyldighetsområde definert på denne måten. Ikke alle avrundingsfeil vises for flytende nummer , slik at de tilknyttende lovene egentlig ikke gjelder, som følgende eksempel for tillegg med 4-biters mantissas viser:

(1000 ₂ × 2 ⁰ + 1000 ₂ × 2 ⁰ ) + 1000 ₂ × 2 ⁴ = 1000 ₂ × 2 ¹ + 1000 ₂ × 2 ⁴ = 1,00 1 ₂ × 2 ⁴

1.000 ₂ × 2 ⁰ + (1.000 ₂ × 2 ⁰ + 1.000 ₂ × 2 ⁴ ) = 1.000 ₂ × 2 ⁰ + 1.000 ₂ × 2 ⁴ = 1.00 0 ₂ × 2 ⁴

Slike feil kan noen ganger reduseres ved å slå av normalisering .
I tillegg kan kjøretidsoppførselen avhenge av rekkefølgen to operasjoner utføres i.

klassifisering

Den assosiative loven tilhører gruppeaksiomene , men er allerede nødvendig for den svakere strukturen i en semigruppe .

Sidelengs

Spesielt når det gjelder ikke-assosiative lenker, er det konvensjoner om sideassosiativitet.

En binær lenke anses å være venstreassosiativ hvis ${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} a * b * c &: = (a * b) * c \ qquad \ qquad \ quad \, \\ a * b * c * d &: = ((a * b) * c) * d \ quad \\ {\ mbox {etc.}} \ end {array}}$

er å forstå.

• Den ikke-assosiative operasjonens subtraksjon og divisjon forstås ofte som venstreassosiative:

	${\ displaystyle abc}$	${\ displaystyle = (fra) -c}$	( Subtraksjon )
	${\ displaystyle a: b: c}$	${\ displaystyle = (a: b): c}$	( Divisjon )

• Bruk av funksjoner i karri .
  ${\ displaystyle (f \, x \, y) = ((f \, x) \, y)}$
  

En binær forbindelse kalles right-associative hvis følgende gjelder: ${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rr} x * y * z: = & x * (y * z) \\ w * x * y * z: = & w * (x * (y * z)) \\ og {\ mbox {etc.}} \ end {array}}}$

Eksempel på en rettassosiativ operasjon:

• Eksponentiering av reelle tall i eksponentnotasjon:

${\ displaystyle x ^ {y ^ {z}} = x ^ {(y ^ {z})}}$

Men assosierende operasjoner kan også ha sidedness hvis de kan gjentas til uendelig.

• Den desimal notasjon høyre for desimaltegnet er en venstre-assosiativ linking av desimaltall, fordi evalueringen (sschleife) er ikke riktig med ellipse kan begynne, men må starte på venstre side.
  ${\ displaystyle 0 {,} 999 \ ldots = 0 {,} 9999 \ ldots = 0 {,} 99999 \ ldots \ til 1}$
  ${\ displaystyle \ ldots}$
• Den -adiske notasjonen inneholder en rettassosiativ lenkeoperasjon med sidestillingen , fordi evalueringen må begynne til høyre.${\ displaystyle p}$
  ${\ displaystyle \ ldots 444_ {5} = \ ldots 4444_ {5} = \ ldots 44444_ {5} \ til -1}$
  

Svakere former for assosiativitet

Følgende svekkelse av assosieringsloven er nevnt / definert andre steder:

• Potensassosiativitet :
  ${\ displaystyle a ^ {r + s} = (a ^ {r}) \ circ (a ^ {s})}$
  • i-power assosiativitet :
    ${\ displaystyle a ^ {i} \ circ a = a \ circ a ^ {i}}$
  • Idem assosiativitet :
    ${\ displaystyle a \ circ (a \ circ a) = (a \ circ a) \ circ a}$
• Alternativ :
  • Venstre alternativ :
    ${\ displaystyle a \ circ (a \ circ b) = (a \ circ a) \ circ b}$
  • Juridisk alternativ :
    ${\ displaystyle a \ circ (b \ circ b) = (a \ circ b) \ circ b}$
• Fleksibilitetslov :
  ${\ displaystyle a \ circ \ left (b \ circ a \ right) = \ left (a \ circ b \ right) \ circ a}$
• Moufang identiteter :
  ${\ displaystyle {\ Big (} a \ circ (b \ circ a) {\ Big)} \ circ c = a \ circ {\ Big (} b \ circ (a \ circ c) {\ Big)}}$
  ${\ displaystyle (a \ circ b) \ circ (c \ circ a) = a \ circ {\ Big (} (b \ circ c) \ circ a {\ Big)}}$
• Bol identiteter:
  • venstre Bol identitet:
    ${\ displaystyle {\ Big (} b \ circ (c \ circ b) {\ Big)} \ circ a = b \ circ {\ Big (} c \ circ (b \ circ a) {\ Big)}}$
  • høyre Bol identitet:
    ${\ displaystyle {\ Big (} (a \ circ b) \ circ c {\ Big)} \ circ b = a \ circ {\ Big (} (b \ circ c) \ circ b {\ Big)}}$
• Jordan identitet :
  ${\ displaystyle a \ circ {\ Big (} \ left (a \ circ a \ right) \ circ b {\ Big)} = \ left (a \ circ a \ right) \ circ \ left (a \ circ b \ Ikke sant)}$

Se også

• algebra
• Operatørassosiativitet

litteratur

• Otto Forster: Analyse 1: differensial og integral beregning av en variabel . Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5 . 

Merknader

1. ↑ Utenfor dette gyldighetsområdet kan operasjonene være assosiative, men dette har ingen betydning med tanke på feil resultat.

Individuelle bevis

1. ^ Bronstein: Lommebok for matematikk . Kapittel: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3 , s. 115-120
2. ^ George Mark Bergman: Orden av aritmetiske operasjoner
3. ^ Operasjonsrekkefølgen. Utdanningssted
4. ↑ Gerrit Bol: vev og grupper I: Mathematische Annalen , 114 (1), 1937, s. 414–431.