Ekte nummer

De reelle tallene (ℝ) inneholder rasjonelle tall (ℚ), som igjen inkluderer hele tallene (ℤ) og de naturlige tallene (ℕ)

De reelle tallene danner et viktig tallområde i matematikk . Det er en utvidelse av rekkevidden til rasjonelle tall , åpningene , der tallverdiene til de målte verdiene for konvensjonelle fysiske størrelser som lengde , temperatur eller masse kan betraktes som reelle tall. De reelle tallene inkluderer rasjonelle tall og irrasjonelle tall .

Helheten av reelle tall har spesielle topologiske egenskaper sammenlignet med helheten av rasjonelle tall . Blant annet består disse i det faktum at for hvert ”kontinuerlige problem” som det i en viss forstand finnes gode, nærtliggende løsninger i form av reelle tall, er det også et reelt tall som en eksakt løsning. Derfor kan de reelle tallene brukes på mange måter i analyse , topologi og geometri . For eksempel kan lengder , områder og volumer av et bredt utvalg av geometriske objekter meningsfullt defineres som reelle tall, men ikke som rasjonelle tall. Når matematiske begreper - som lengder - brukes til beskrivelse i empiriske vitenskaper , spiller teorien om reelle tall ofte en viktig rolle.

Klassifisering av reelle tall

Nummer linje

Symbolet ( Unicode U + 211D: ℝ, se bokstav med dobbel bar ) eller brukes til å betegne settet med alle reelle tall . De virkelige tallene inkluderer ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

• rasjonale tall : , ${\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ left \ {\ dotsc, - {\ tfrac {2} {1}}, - {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {1} {1} }, 0, {\ tfrac {1} {1}}, {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {2} {1}}, {\ tfrac {1} {3}}, \ dotsc \ høyre \} = \ venstre. \ venstre \ {{\ tfrac {p} {q}} \ høyre | p \ i \ mathbb {Z}, q \ i \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} \ Ikke sant \}}$
  • heltall : , ${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ dotsc, -2, -1,0,1,2, \ dotsc \}}$
    • naturlige tall : (uten 0): eller (med 0): (også ) og${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ {1,2,3, \ dotsc \}}$${\ displaystyle \ {0,1,2,3, \ dotsc \}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$
• irrasjonelle tall : = settet med alle elementene som ikke er i . Disse kan igjen deles inn i ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
  • algebraiske irrasjonelle tall og
  • transcendente irrasjonelle tall. Sistnevnte inkluderer
    • ikke-beregnbare tall .

De rasjonelle tallene er de tallene som kan representeres som brøker av hele tall. Et tall kalles irrasjonelt hvis det er ekte, men ikke rasjonelt. Det første beviset på at tallinjen inneholder irrasjonelle tall kom fra pythagoreerne . For eksempel er irrasjonelle tall de ikke-heltallige røttene til heltall som eller . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {7}}}$

En delmengde av de reelle tallene som inneholder de rasjonelle tallene er settet med (reelle) algebraiske tall, dvs. H. de virkelige løsningene av polynomligninger med heltallskoeffisienter. Dette settet inkluderer blant annet alle virkelige røtter av rasjonelle tall for og deres begrensede summer, men ikke bare disse (f.eks. Løsninger av egnede ligninger av 5. grad ). Deres supplement i er sett av reelle transcendente tall. Et transcendent tall er derfor alltid irrasjonelt. Transcendent er for eksempel sirkelnummeret (Pi) og Eulers nummer . Alle eksemplene som er nevnt så langt er kalkulerbare, i motsetning til grenseverdien for en Specker-sekvens . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle e}$

Notasjon for ofte brukte delmengder av reelle tall

Er , deretter utpekt ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ neq a} = \ mathbb {R} \ setminus \ {a \}}$ settet med alle reelle tall unntatt tallet a,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ geq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq a \}}$,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {> a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> a \}}$,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ leq a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ leq a \}}$,

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {<a} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <a \}}$.

Denne betegnelsen brukes spesielt ofte for å betegne settet med positive reelle tall eller settet med ikke-negative reelle tall. Noen ganger brukes begrepene eller brukes også i spesielle tilfeller . Forsiktighet tilrådes her, da noen forfattere inkluderer null, mens andre ikke gjør det. ${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {> 0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ geq 0}}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$

Konstruksjon av det virkelige fra de rasjonelle tallene

Konstruksjonen av reelle tall som en utvidelse av antall rasjonelle tall var et viktig skritt på 1800-tallet for å sette analyser på et solid matematisk grunnlag. Den første eksakte konstruksjonen kan spores tilbake til Karl Weierstraß , som definerte reelle tall ved hjelp av avgrensede serier med positive termer.

Konstruksjoner av reelle tall som ofte brukes i dag:

• Representasjon som Dedekind-kutt av rasjonelle tall: De reelle tallene er definert som den minste øvre grensen av undergrupper av de rasjonelle tallene med en øvre grense .
• Representasjon som ekvivalensklasser av Cauchy-sekvenser : Denne konstruksjonen av reelle tall, som er utbredt i dag, går tilbake til Georg Cantor , som definerte de reelle tallene som ekvivalensklasser av rasjonelle Cauchy- sekvenser . To Cauchy-sekvenser anses å være ekvivalente hvis deres (punktvise) forskjeller danner en null-sekvens . Som det kan kontrolleres relativt enkelt, er denne relasjonen faktisk refleksiv , transitiv og symmetrisk , dvs. egnet for dannelse av ekvivalensklasser.

Operasjonene av addisjon og multiplikasjon av ekvivalensklasser indusert ved addisjon og multiplikasjon av rasjonelle tall er veldefinerte , det vil si uavhengig av valget av representantene for operandene, dvs. Cauchy-sekvensene. Med disse veldefinerte operasjonene danner de reelle tallene som er definert på denne måten et felt . Rekkefølgen av rasjonelle tall induserer også en total orden . Samlet sett danner de reelle tallene dermed et ordnet felt .

• Representasjon som ekvivalensklasser for intervall som hekker rasjonelle intervaller.
• Fullføring av den topologiske gruppen av rasjonelle tall i den forstand at den kanoniske ensartede strukturen er fullført.

Hver av de fire navngitte konstruksjonsmetodene "fullfører" de rasjonelle tallene, fører til den samme strukturen (bortsett fra isomorfisme ) (til kroppen av de reelle tallene) og belyser en annen egenskap for de rasjonelle og reelle tallene og deres forhold til hverandre. :

• Metoden med Dedekind-kutt fullfører ordren på de rasjonelle tallene til en ordre-fullført ordre. Som et resultat ligger de rasjonelle tallene (i betydningen av rekkefølgen) nær de reelle tallene, og hvert delmengde som er avgrenset ovenfor, har et overherredømme.
• Cauchy-sekvensmetoden fullfører settet med rasjonelle tall som metrisk rom til et komplett metrisk rom i topologisk forstand. Dermed ligger de rasjonelle tallene i topologisk forstand nær de reelle tallene og hver Cauchy-sekvens har en grenseverdi. Denne fullføringsmetoden (ferdigstillelse) kan også brukes med mange andre matematiske strukturer.
• Metoden for intervaller gjenspeiler den numeriske beregningen av reelle tall: Du er tilnærminger med en viss nøyaktighet (en tilnærmingsfeil) tilnærmet , så inkludert i et intervall rundt estimatet. Beviset for at tilnærmingen (ved iterative eller rekursive prosedyrer) kan forbedres etter eget ønske, er da et bevis på at det eksisterer en reell grenseverdi.
• Metoden for å fullføre en enhetlig struktur bruker et spesielt generelt konsept som ikke bare kan brukes på ordnede eller avstandsstrukturer som rasjonelle tall.

Axiomatic introduksjon av reelle tall

Konstruksjonen av reelle tall som en utvidelse av antall rasjonelle tall blir ofte utført i fire trinn i litteraturen: Fra mengdeteori til naturlige, hele, rasjonelle og til slutt til reelle tall som beskrevet ovenfor. En direkte måte å matematisk forstå de reelle tallene er å beskrive dem gjennom aksiomer . For dette trenger man tre grupper av aksiomer - kroppsaksiomer, aksiomer av ordrestrukturen og et aksiom som garanterer fullstendighet.

1. De virkelige tallene er et felt .
2. De reelle tallene er fullstendig ordnet (se også bestilte felt ), dvs. dvs. for alle reelle tall gjelder følgende: ${\ displaystyle a, b, c}$
   1. Det er nøyaktig ett av forholdet , , ( trichotomy ).${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle b <a}$
   2. Fra og følger ( transitivitet ).${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle b <c}$${\ displaystyle a <c}$
   3. Det følger av (kompatibilitet med tillegg).${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle a + c <b + c}$
   4. Fra og følger (kompatibilitet med multiplikasjon).${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle ac <bc}$
3. De reelle tallene er ordren fullført , dvs. det vil si at hver ikke-tomme, oppad begrensede delmengde har en overherredømme i .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Hvis man introduserer de reelle tallene aksiomatisk, så er konstruksjonen som en utvidelse av tallområdet en mulighet for bevis på deres eksistens, nærmere bestemt: Konstruksjonen i fire trinn fra mengde teori beviser at en modell for strukturen beskrevet av aksiomene i mengde teorien, av konstruksjonen gikk tom, er til stede. I tillegg kan det vises at de angitte aksiomene tydelig bestemmer feltet for de reelle tallene bortsett fra isomorfisme. Dette følger i hovedsak av det faktum at en modell av reelle tall ikke tillater noen annen automorfisme foruten identitet.

I stedet for aksiomene nevnt ovenfor, er det andre muligheter for å karakterisere de reelle tallene aksiomatisk. Spesielt kan fullstendighetsaksjonen formuleres på forskjellige måter. Spesielt er det forskjellige måter å uttrykke fullstendighet for konstruksjonsalternativene beskrevet ovenfor, som neste avsnitt viser.

Aksiomer som tilsvarer det overordnede aksiomet

Som et alternativ til supremum-aksiomet kan følgende kreves:

• Den aksiom Arkimedes og fullstendighet aksiom, som sier at hver cauchyfølge i konvergert .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Den aksiom av Archimedes og Intervallschachtelungsaxiom, hvor det fremgår at gjennomsnittlig hver monotont avtagende rekkefølge av lukkede begrensede mellomrom som ikke er tom.
• Det minimale aksiomet, som sier at hver ikke-tomme, nedad begrensede delmengde av har et minimum.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Den Heine-Borel aksiom, som sier at hvis en lukket, avgrenset intervall er dekket av en rekke åpne sett , er det alltid bare finitely mange av disse åpne sett som allerede dekker intervallet.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Den Bolzano-Weierstrass aksiom, som sier at enhver uendelig avgrenset undergruppe har minst en opphopning punkt.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Den aksiom monotoni, som sier at hver monoton begrensede sekvens konvergerer i.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Den aksiom forbindelse som sier at de reelle tall, som følger med den vanlige topologi, danner en topologisk tilkoblet plass.

Det er også muligheten for å beskrive fullstendighet i form av kontinuerlige funksjoner ved å heve visse egenskaper til kontinuerlige funksjoner til aksiomer. Om:

• Den aksiom av mellomliggende verdier:

  En kontinuerlig reell funksjon definert i et intervall på antar alltid hver mellomverdi i verdiområdet.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• Den aksiom begrensning:

  En kontinuerlig reell funksjon definert i et lukket og avgrenset intervall har alltid et oppoverbundet verdiområde.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• Den maksimale aksiom:

  En kontinuerlig reell funksjon definert i et lukket og avgrenset intervall på har alltid et maksimalt punkt.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Krefter

Den tykkelse av er betegnet med (tykkelse av det kontinuum ) . Det er større enn kraften til settet med naturlige tall , som kalles den minste uendelige kraften . Settet med reelle tall er derfor utallige . Et bevis på utalligheten deres er Cantors andre diagonale argument . Uformelt betyr "utellbarhet" at enhver liste over reelle tall er ufullstendig. Siden sett av reelle tall er lik den kraften sett av naturlige tall, er deres kardinalitet også spesifisert . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dotsc}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

De mindre omfattende utvidelsene av settet med naturlige tall nevnt i begynnelsen er derimot lik settet med naturlige tall, det vil si tellbare. For settet med rasjonelle tall kan dette bevises ved Cantors første diagonale argument . Selv settet med algebraiske tall og, mer generelt, settet med beregbare tall kan telles. Utellbarheten oppstår bare ved å legge til de ikke-beregnbare transcendente tallene.

I mengdeteorien, etter Cantors oppdagelser, ble spørsmålet undersøkt: "Er det en kraft mellom" tellbar "og kraften til de reelle tallene, mellom og ?" - Eller formulert for de reelle tallene: "Er hver utallige delmengde av ekte tall tall lik Set med alle reelle tall? ”Antagelsen om at svaret på det første spørsmålet er“ nei ”og på det andre spørsmålet“ ja ”kalles kontinuumhypotesen (CH) , kort formulert som og . Det kan vises at kontinuumhypotesen er uavhengig av de vanligste aksiomsystemene som Zermelo-Fraenkel mengde teori med aksiom av valg (ZFC) d. Det vil si at det verken kan bevises eller tilbakevises innenfor rammen av disse systemene. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1} = {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$

Topologi, kompakthet, utvidede reelle tall

Den vanlige topologien som de reelle tallene er gitt, er den fra bunnen av de åpne intervallene

${\ displaystyle (a, b) = {] a, b [} = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid a <x <b \}; \ quad a, b \ in \ mathbb {R}}$

er produsert. Skrevet i denne formen er det ordentopologien . Åpne intervaller i de reelle tallene kan også være representert ved midtpunktet og radius : det vil si, som åpne kuler ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle] pr, p + r [}$

${\ displaystyle B_ {r} (p): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid | xp | <r \}}$

med hensyn til beregningen definert av mengdefunksjonen . Topologien generert av de åpne intervallene er også topologien til dette metriske rommet . Siden de rasjonelle tallene er nærme i denne topologien , er det tilstrekkelig å begrense intervallgrensene eller sentrene og radiene til kulene som definerer topologien til rasjonelle tall ; topologien tilfredsstiller derfor begge aksiomene av tellbarhet . ${\ displaystyle d (x, y): = | xy |}$${\ displaystyle a, b, p, r}$

I motsetning til de rasjonelle tallene, er de reelle tallene et lokalt kompakt rom ; For hvert reelle tall kan et åpent miljø spesifiseres, hvis lukking er kompakt. Et slikt åpent miljø er lett å finne; en hvilken som helst avgrenset, åpen sett med tilfredsstiller de krav som: etter at settet med Heine-Borel er kompakt. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x \ i U}$${\ displaystyle {\ bar {U}}}$

Det reelle tallfeltet er bare lokalt kompakt, men ikke kompakt. En utbredt compactification er de såkalte utvidede reelle tall , der nabolag av ved nabolaget basis${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}: = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$${\ displaystyle - \ infty}$

${\ displaystyle \ {B_ {r} (- \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}$ Med ${\ displaystyle B_ {r} (- \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x <- {\ tfrac {1} {r}} \}}$

og omgivelsene til av miljøbasen ${\ displaystyle + \ infty}$

${\ displaystyle \ {B_ {r} (+ \ infty) \ mid r \ in \ mathbb {Q} ^ {+} \}}$ Med ${\ displaystyle B_ {r} (+ \ infty): = \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> {\ tfrac {1} {r}} \}}$

Skal defineres. Denne topologien tilfredsstiller fortsatt begge aksiomene av tellbarhet. er homomorf til det lukkede intervallet , for eksempel er kartleggingen en homeomorfisme , og alle kompakte intervaller er homeomorfe ved hjelp av lineære affinefunksjoner. Absolutt divergerende sekvenser er konvergente i topologien til de utvidede reelle tall, for eksempel uttalelsen fungerer ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle x \ mapsto \ arctan x}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} \ til [- \ pi / 2, \ pi / 2]}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} n ^ {2} = + \ infty}$

i denne topologien med en reell grenseverdi.

Med for alle utvidede reelle tall er fortsatt fullstendig ordnet. Imidlertid er det ikke mulig å overføre kroppsstrukturen til de reelle tallene til de utvidede reelle tallene, for eksempel har ligningen ingen unik løsning. ${\ displaystyle - \ infty <x <\ infty}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ infty + x = \ infty}$

relaterte temaer

• En ikke-standard analysemodell er hentet fra modellteorien.
• En omtrentlig representasjon av reelle tall i datamaskinen gjøres ved hjelp av flytende tall .
• Intervallaritmetikken muliggjør beregninger som tar hensyn til tilnærmingsfeil .
• Tall er representert i et tallsystem .

litteratur

• Oliver Deiser : Reelle tall. Det klassiske kontinuumet og de naturlige konsekvensene. Springer-Verlag, 2007, ISBN 3-540-45387-3 .
• Klaus Mainzer : Reelle tall. I: Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Numbers. 3. Utgave. Springer, Berlin / Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0 , kapittel 2.
• Otto Forster : Analyse 1. Differensiell og integrert beregning av en variabel. 4. utgave. vieweg, 1983, ISBN 3-528-37224-9 .
• Harro Heuser : Textbook of Analysis, del 1. 5. utgave. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2 .
• John MH Olmsted: The Real Number System . Appleton-Century-Crofts, New York 1962. 
• Den lille Duden "Matematikk" . 2. utgave. Dudenverlag, Mannheim et al. 1996, ISBN 3-411-05352-6 . 

weblenker

Wiktionary: reelt tall  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Wikibooks: Mathematics for School${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}}$  - Sets of Numbers

• LD Kudryavtsev: Virkelig tall . I: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag og EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ). 
• Eric W. Weisstein : Virkelig tall . På: MathWorld (engelsk).

Individuelle bevis

1. Cant Georg Cantor : Grunnlaget for en generell teori om manifolder. 1883, § 9, sitert fra Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. 1. utgave. suhrkamp pocket book science, 1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 245 ff.
2. ^ Edmund Landau : Fundamentals of Analysis. Chelsea Publishing, New York 1948.
3. Cant Georg Cantor : Grunnlaget for en generell teori om manifolder. 1883, § 9, sitert fra Oskar Becker: Fundamentals of Mathematics in Historical Development. 1. utgave. Suhrkamp pocket book science, 1995, ISBN 3-518-27714-6 , s. 248.
4. ↑ Konrad Knopp: Teori og anvendelse av den uendelige serien. 5. utgave. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3 ; § 3 De irrasjonelle tallene.
5. ^ Nicolas Bourbaki : Topologie Générale (=  Éléments de mathématique ). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1 , kap. 4 , s. 3 . 
6. ↑ Ebbinghaus et al.: Numbers. 1992, del A, kapittel 2, avsnitt 5.3.
7. ↑ Ebbinghaus et al.: Numbers. 1992, del A, kapittel 2, § 5.2.