To-sifret lenke

En tosifret kombinasjon returnerer resultatet for de to argumentene og .${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ circ y}$

En to-sifret lenke , også kalt en binær lenke , er en lenke i matematikk som har nøyaktig to operander . To-sifrede lenker forekommer veldig ofte , spesielt i algebra, og det er også en forkortelse av kobling uten tilsetning av to-sifret . Imidlertid er det også lenker med en annen arity , for eksempel å knytte tre eller flere operander med hverandre.

definisjon

En tosifret lenke er en kartlegging av det kartesiske produktet av to sett og et tredje sett . En slik kobling tildeler et element i hvert ordnet par av elementer , og som de to operander med som følge av koblingen. Hvis settene , og er like, kalles forbindelsen også en intern forbindelse; ellers snakker man om en ekstern forbindelse. ${\ displaystyle f \ kolon A \ ganger B \ til C}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a \ i A}$${\ displaystyle b \ in B}$${\ displaystyle f (a, b) = c}$${\ displaystyle c \ in C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$

Skrivemåter

To-sifrede lenker skrives ofte i infiksnotasjon i stedet for den vanlige prefiksnotasjonen . For eksempel skriver man et tillegg som i stedet for . En multiplikasjon skrives ofte uten noe symbol . Den mest kjente postfix-notasjonen er den omvendte polske notasjonen , som ikke krever parentes. Den valgte stavemåten, enten prefiks, infiks eller postfiks, avhenger i hovedsak av nytten i den gitte konteksten og de respektive tradisjonene. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle a \, f \, b}$ ${\ displaystyle f (a, b)}$${\ displaystyle a + b}$${\ displaystyle {+} (a, b)}$ ${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle ab = a \ cdot b = \ cdot (a, b)}$

Eksempler

• De grunnleggende aritmetiske operasjoner (addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og divisjon) på tilsvarende sett med tall er to-sifrede kombinasjoner. Hvis du for eksempel deler et heltall med et naturlig tall, skaper du et rasjonelt tall . Dette tilsvarer en lenke .${\ displaystyle a \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {N} ^ {*} = \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle c = a / b}$${\ displaystyle / \ colon \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} ^ {*} \ to \ mathbb {Q}}$

• Den sammensetning av figurene er et to-sifret kobling: det tilordner hver figur , og hver figur utførelsen ene etter den andre . Dette tilsvarer en lenke . Beløpene , og kan velges etter ønske. Denne forbindelsen forekommer i nesten alle områder av matematikk og danner grunnlaget for kategoriteori .${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle g \ kolon Y \ til Z}$${\ displaystyle g \ circ f \ colon X \ to Z}$${\ displaystyle \ circ \ colon \ mathrm {Fig} (Y, Z) \ times \ mathrm {Fig} (X, Y) \ to \ mathrm {Fig} (X, Z)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$

Indre to-sifret lenke

En kommutativ lenke

En assosiativ lenke

En indre to-sted kobling eller to-sted operasjon på et sett er et to-sted kobling som tilordner et element av for hvert ordnet par av . Dette tilsvarer den generelle definisjonen ovenfor i spesialtilfellet . Den ekstra attributtet indre uttrykker at alle operander er fra settet, og at lenken ikke fører ut. Det sies også å være fullført med respekt . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f \ kolon A \ ganger A \ til A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A = B = C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$

Indre tosifrede lenker er en viktig del av algebraiske strukturer som studeres i abstrakt algebra . De forekommer med semigrupper , monoider , grupper , ringer og andre matematiske strukturer .

Generelt kalles et sett med hvilken som helst intern forbindelse også magma . Slike lenker har ofte andre egenskaper, for eksempel er de assosiative eller kommutative . Mange har også et nøytralt element og inverterbare elementer . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle * \ kolon A \ ganger A \ til A}$

Eksempler

• Den tillegg og multiplikasjon av hele tall er interne forbindelser eller . Det samme gjelder de naturlige , rasjonelle , reelle og komplekse tallene .${\ displaystyle + \ colon \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ cdot \ colon \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}$
• Den subtraksjon av hele tall er et indre ledd . Det samme gjelder de rasjonelle , reelle og komplekse tallene . Merk imidlertid at subtraksjonen av naturlige tall fører ut av settet med naturlige tall og derfor ikke er en intern forbindelse. (Her er for eksempel ).${\ displaystyle - \ colon \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle - \ colon \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 1-2 = -1 \ notin \ mathbb {N}}$
• Den delingen av rasjonale tall uten en intern tilkobling . Det samme gjelder de reelle og komplekse tallene uten . Vær imidlertid oppmerksom på at inndelingen av hele tall fører ut av settet med hele tall og derfor ikke er en intern forbindelse. (Her er for eksempel ).${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle / \ colon \ mathbb {Q} ^ {*} \ times \ mathbb {Q} ^ {*} \ to \ mathbb {Q} ^ {*}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle / \ colon \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} ^ {*} \ to \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 1/2 \ notin \ mathbb {Z}}$
• For et gitt sett er gjennomsnittet og foreningen av delmengder interne tilkoblinger på strømmen .${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X \ cap Y}$ ${\ displaystyle X \ cup Y}$${\ displaystyle X, Y \ subset M}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}} (M)}$
• For alle publikum er sammensetningen av bilder en indre lenke .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle f, g \ colon X \ to X}$${\ displaystyle \ mathrm {Fig} (X, X)}$

Ytre tosifrede lenker av første slag

En ytre to-steds lenke av den første typen er en to-steds lenke som kalles høyre operasjon av på , eller som kalles venstre operasjon av på . De skiller seg fra indre tosifrede lenker ved at settet som kalles operatørområdet , hvis elementer kalles operatorer , ikke nødvendigvis er en delmengde av , dvs. det kan komme utenfra . Vi sier da operert fra høyre eller fra venstre på og elementene til varme høyre eller venstre operatører . ${\ displaystyle f \ colon \, A \ ganger B \ til A,}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f \ kolon \, B \ ganger A \ til A,}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle B}$

Hver operatør definerer nøyaktig en kartlegging eller som også kalles transformasjonen til . I tilfelle multiplikasjon , i stedet for eller , skriver man kort, eller det er vanligvis eller ikke lenger et skille mellom operatøren og den tilhørende transformasjonen . Man skriver da i den såkalte operatørnotasjonen : resp.${\ displaystyle \ beta \ i B}$${\ displaystyle \ vartheta _ {f \ beta} \ kolon A \ til A, \, a \ mapsto \ vartheta _ {f \ beta} (a): = a \, f \, \ beta,}$${\ displaystyle \ vartheta _ {\ beta f} \ kolon A \ til A, \, a \ mapsto \ vartheta _ {\ beta f} (a): = \ beta \, f \, a,}$${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a \, f \, \ beta}$${\ displaystyle \ beta \, f \, a}$${\ displaystyle a \ beta}$${\ displaystyle \ beta a}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ vartheta _ {\ beta} \ kolon a \ mapsto a \ beta}$${\ displaystyle \ vartheta _ {\ beta} \ kolon a \ mapsto \ beta a}$${\ displaystyle \ beta \ colon A \ til A, \, a \ mapsto a \ beta,}$${\ displaystyle \ beta \ kolon A \ til A, \, a \ mapsto \ beta a.}$

Eksempler

• For hvert naturlig tall en indre - sifret tilkobling er alltid også en ytre tosifret tilkobling av den første typen, nemlig både en rett og en venstre drift av på (det er alltid ). Slike interne lenker blir derfor også ofte referert til som -digit operasjoner . En null-sifret lenke kan sees på som en indre lenke og teller derfor alltid som en null-sifret operasjon .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle f \ colon A ^ {n} \ to A}$${\ displaystyle A ^ {n-1}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {0} = \ {\ emptyset \}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle f \ colon \ {\ emptyset \} \ til A}$${\ displaystyle f \ colon A ^ {0} \ to A}$

• I en gruppe operasjon, det er en gruppe og et sett. Man krever også en viss kompatibilitet av denne operasjonen med gruppestrukturen nemlig og for alle og det nøytrale elementet i${\ displaystyle \ star \ colon \, G \ ganger X \ til X}$${\ displaystyle (G, *)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (G, *),}$${\ displaystyle (g * h) \ star x = g \ star (h \ star x)}$${\ displaystyle e \ star x = x}$${\ displaystyle g, h \ i G, \, x \ i X}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle G.}$

• I lineær algebra , operatøren domene for skalar multiplikasjon er et felt , vanligvis eller og en abelsk gruppe, slik som or. I tillegg er et tilsvarende forenlighet skalar multiplikasjon med strukturer som allerede er gitt , og med drifts omdannes til et vektorrom${\ displaystyle \ odot \ colon \, K \ ganger V \ til V}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ displaystyle (K, +, \ cdot)}$${\ displaystyle (V, \ oplus).}$${\ displaystyle \ odot}$${\ displaystyle (V, \ oplus, \ odot)}$${\ displaystyle K.}$

kommentar

Begrepet drift eller operatør brukes f.eks. B. i funksjonell analyse , også for generelle tosifrede lenker eller brukt. Her er sett med samme (for det meste algebraiske ) struktur , og ofte bør transformasjonen eller med strukturen være på og kompatibel . ${\ displaystyle f \ colon \, A \ times B \ to C}$${\ displaystyle f \ colon \, B \ times A \ to C}$${\ displaystyle A, C}$ ${\ displaystyle \ vartheta _ {f \ beta} \ kolon A \ til C}$${\ displaystyle \ vartheta _ {\ beta f} \ kolon A \ til C}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$

Ytre tosifrede lenker av andre slag

En ytre tosifret lenke av den andre typen er en kartlegging, det vil si at den er en tosifret lenke på et sett, men trenger ikke lukkes med hensyn til den, så den kan også gjelde. ${\ displaystyle f \ kolon A \ ganger A \ til C,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C \ nsubseteq A}$

Eksempler

• Hver indre to-plass lenke er også en ytre to-plass lenke av den andre typen.${\ displaystyle f \ kolon A \ ganger A \ til A}$

• Det skalære produktet i det - dimensjonale - vektorområdet tildeler et reelt tall til to vektorer fra og er dermed en ytre tosifret kombinasjon av den andre typen. For skalarproduktet er også en indre tosifret kombinasjon, men ikke for.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, n \ geq 1,}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n> 1}$

• Det skalære produktet i delingsringen av kvaternioner er en intern binær operasjon og dermed en ekstern binær operasjon av den andre typen. Oppsummering mot den som en firedimensjonal divisjonsalgebra over på, så er ikke punktproduktet noen intern lenke mer, men det forblir en ekstern binær operasjon av den andre typen.${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• Hvis et affinert rom er over et vektorrom , så er med en ytre to-plass lenke av den andre typen.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A \ ganger A \ til V}$${\ displaystyle (P, Q) \ mapsto {\ overrightarrow {PQ}}}$

Se også

• ensifret lenke

litteratur

• Gert Böhme: Algebra (=  applikasjonsorientert matematikk . Volum 1 ). 4., verb. Utgave. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1981, ISBN 3-540-10492-5 , pp. 80 . 
• F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik . 11. utgave. teip 1 : Grunnleggende, algebra og geometri . Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0 , s. 38-41 . 
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lærebok for algebra: inkludert lineær algebra . Del 1. Teubner, Stuttgart 1980, ISBN 3-519-02203-6 , pp. 101, 204-207 . 
• Bartel Leendert van der Waerden : Algebra jeg . 9. utgave. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1993, ISBN 978-3-662-01514-8 , pp. 146-148 . 

weblenker