Kropp (algebra)

Organer i forbindelse med utvalgte matematiske delområder ( klassediagram )

En kropp er i den matematiske grenen av algebra utmerket algebraisk struktur der tillegg , subtraksjon , multiplikasjon og divisjon kan utføres på en bestemt måte.

Begrepet "kropp" ble introdusert av Richard Dedekind på 1800-tallet .

De fleste viktige felt som brukes i nesten alle områder av matematikken er feltet av rasjonale tall , feltet av reelle tall, og feltet av komplekse tall . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Formell definisjon

generell definisjon

Et felt er et sett med to indre tosifrede forbindelser " " og " " (som kalles tillegg og multiplikasjon ), for hvilke følgende betingelser er oppfylt: ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle \ cdot}$

1. ${\ displaystyle \ left (K, + \ right)}$er en abelsk gruppe (nøytralt element 0).
2. ${\ displaystyle {\ bigl (} K \ setminus \ {0 \}, \ cdot {\ bigr)}}$er en abelsk gruppe (nøytralt element 1).
3. Distribuerende lover :

   ${\ displaystyle a \ cdot \ left (b + c \ right) = a \ cdot b + a \ cdot c \,}$for alle .${\ displaystyle a, b, c \ in K}$

   ${\ displaystyle \ left (a + b \ right) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c \,}$for alle .${\ displaystyle a, b, c \ in K}$

Liste over aksiomer som kreves

Et organ må derfor oppfylle følgende individuelle aksiomer:

1. Tilsetningsegenskaper:
   1. ${\ displaystyle a + (b + c) = (a + b) + c}$for alle ( assosiativ lov )${\ displaystyle a, b, c \ in K}$
   2. ${\ displaystyle a + b = b + a}$for alle ( kommutativ lov )${\ displaystyle a, b \ in K}$
   3. Det er et element slik at for alle ( nøytralt element ).${\ displaystyle 0 \ i K}$${\ displaystyle 0 + a = a}$${\ displaystyle a \ in K}$
   4. For hver er det et tilsetningsstoff invers med .${\ displaystyle a \ in K}$ ${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle (-a) + a = 0}$
2. Multiplikative egenskaper:
   1. ${\ displaystyle a \ cdot (b \ cdot c) = (a \ cdot b) \ cdot c}$for alle ( assosiativ lov )${\ displaystyle a, b, c \ in K}$
   2. ${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a}$for alle ( kommutativ lov )${\ displaystyle a, b \ in K}$
   3. Det er et element slik at for alle ( nøytralt element ).${\ displaystyle 1 \ i K \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle 1 \ cdot a = a}$${\ displaystyle a \ in K}$
   4. For hver er det en multiplikativ invers med .${\ displaystyle a \ i K \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$${\ displaystyle a ^ {- 1} \ cdot a = 1}$
3. Samspill mellom additiv og multiplikativ struktur:
   1. ${\ displaystyle a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c}$for alle (lenker distribusjonslov )${\ displaystyle a, b, c \ in K}$
   2. ${\ displaystyle (b + c) \ cdot a = b \ cdot a + c \ cdot a}$for alle (juridisk fordelingslov )${\ displaystyle a, b, c \ in K}$

Definisjon som en spesiell ring

En kommutativ enhetsring som ikke er nullringen, er et felt hvis hvert ikke-null-element i den har en invers med hensyn til multiplikasjonen.

Med andre ord, er et legeme en kommutativ enhetlig ring i hvilken enhet gruppe er den samme . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K ^ {*}}$${\ displaystyle K \ setminus \ {0 \}}$

Merknader

Definisjonen sørger for at addisjon, subtraksjon og multiplikasjon fungerer på "vanlig" måte i en kropp så vel som divisjon med unntak av den ikke-løselige divisjonen med 0 :

• Det omvendte av i forhold til tilsetningen er og kalles vanligvis tilsetningsstoffet invers av eller det negative av .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$
• Inversen av i forhold til multiplikasjon er og kalles (multiplikativ) invers av eller gjensidig av .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {- 1}}$${\ displaystyle a}$
• ${\ displaystyle 0}$er det eneste elementet i kroppen som ikke har noen gjensidig verdi, så det er den multiplikative gruppen til en kropp .${\ displaystyle K ^ {\ times} = K \ setminus \ {0 \}}$

Merk: Dannelsen av det negative av et element har ingenting å gjøre med spørsmålet om selve elementet er negativt; for eksempel er det negative av det reelle tallet det positive tallet . I en generell kropp er det ikke noe begrep om negative eller positive elementer. (Se også bestilt kropp .) ${\ displaystyle -2}$${\ displaystyle 2}$

Generaliseringer: skrå organer og koordinatorganer

Hvis man frafaller betingelsen om at multiplikasjonen er kommutativ, kommer man til strukturen til det skrå legemet. Imidlertid er det også forfattere som eksplisitt antar at multiplikasjonen ikke er kommutativ for en skjev kropp. I dette tilfellet er en kropp ikke lenger en skrå kropp på samme tid. Et eksempel er kvarternionenes skrå kropp , som ikke er en kropp. På den annen side, ifølge Bourbaki , det er forfattere som refererer til skrå organer som organer og de organer som er omtalt her som kommutative organer.

I analytisk geometri brukes legemer til å representere koordinatene til punkter i affine og prosjektive rom , se Affine Coordinates , Projective Coordinate System . I syntetisk geometri , der rom (spesielt plan ) med svakere egenskaper undersøkes, blir også generaliseringer av de skrålegemene, nemlig alternative legemer , kvasi-legemer og ternære legemer , brukt som koordinatområder ("koordinatlegemer") .

Egenskaper og vilkår

• Det er nettopp en “0” (null element, nøytralt element med hensyn til legemet tilsetning ) og en “1” (ett element, nøytralt element med hensyn til legemet multiplikasjon ) i et legeme.
• Hver kropp er en ring . Egenskapene til multiplikasjonsgruppen løfter kroppen ut av ringene. Hvis kommutativiteten til multiplikasjonsgruppen ikke kreves, får man begrepet den skrå kroppen .
• Hvert felt har ingen delere : Et produkt av to elementer i feltet er 0 hvis og bare hvis minst en av faktorene er 0.
• Hver kropp kan tildeles en karakteristikk som enten er 0 eller et primtall .
• Den minste delmengden av en kropp som fremdeles tilfredsstiller alle kroppsaksiomer er dens primære felt . Primfeltet er enten isomorft til feltet med de rasjonelle tallene (for felt med karakteristikken 0) eller et begrenset restfelt (for felt av karakteristikken , spesielt for alle endelige felt, se nedenfor).${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle p}$
• En kropp er et endimensjonalt vektorrom om seg selv som den underliggende skalære kroppen. I tillegg eksisterer vektorrom av alle dimensjoner over alle kropper. (→ hovedartikkel vektorrom ).
• Et viktig middel for å undersøke et felt algebraisk er det polynom ring av de polynomer i en variabel med koeffisienter . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K \ left [X \ right]}$${\ displaystyle K}$
  • En kropp
  sies å være algebraisk lukket hvis hvert ikke-konstant polynom fra kan spaltes i lineære faktorer fra .${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K \ left [X \ right]}$${\ displaystyle K \ left [X \ right]}$
• Det kalles en kropp helt , hvis ingen irredusibel ikke-konstant polynom fra flere i noen feltforlengelse har nuller. Algebraisk nedleggelse innebærer perfeksjon, men ikke omvendt.${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K \ left [X \ right]}$

Som en ring har et legeme bare trivielle idealer og .${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle (0) = \ {0 \}}$${\ displaystyle (1) = K}$

Kroppsforstørrelse

En delmengde av et legeme som danner et legeme igjen med dets operasjoner kalles et underlegeme. Paret og kalles kroppsforstørrelse , eller . For eksempel er feltet med rasjonelle tall en del av feltet med reelle tall . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K \ delmengde L}$${\ displaystyle L / K}$${\ displaystyle L | K}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

En delmengde av en kropp er en delvis kropp hvis den har følgende egenskaper: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle K}$

• ${\ displaystyle 0_ {K} \ i U}$, ${\ displaystyle 1_ {K} \ i U}$
• ${\ displaystyle a, b \ i U \ \ Rightarrow \ a + b \ i U, \ a \ cdot b \ i U}$( Nærhet til tillegg og multiplikasjon)
• ${\ displaystyle a \ in U \ \ Rightarrow \ -a \ in U}$(For hvert element derfra er også tilsetningsstoffet omvendt .)${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$
• ${\ displaystyle a \ i U \ setminus \ {0 \} \ \ Rightarrow \ a ^ {- 1} \ i U}$(For hvert element fra unntatt null er multiplikasjonsinversen også in .)${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

Det algebraiske underområdet som omhandler undersøkelsen av kroppsforlengelser er Galois-teorien .

Eksempler

• Kjente eksempler på kropper er
  • feltet med rasjonelle tall , det vil si settet med rasjonelle tall med vanlig tillegg og multiplikasjon${\ displaystyle (\ mathbb {Q}, +, \ cdot)}$
  • feltet med reelle tall , dvs. settet med reelle tall med vanlig tillegg og multiplikasjon, og${\ displaystyle (\ mathbb {R}, +, \ cdot)}$
  • feltet med komplekse tall, dvs. settet med komplekse tall med vanlig tillegg og multiplikasjon.${\ displaystyle (\ mathbb {C}, +, \ cdot)}$

• Organer kan utvides gjennom adjunction . Et viktig spesielt tilfelle - spesielt i Galois-teorien - er algebraiske kroppsforlengelser av kroppen . Det ekspanderbare legeme kan som en vektor plass enn tolkes. ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$
  • ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) = \ {a + b {\ sqrt {2}} \ mid a, b \ in \ mathbb {Q} \}}$er en kropp. Det er tilstrekkelig å vise at det inverse av også er av den gitte formen: Et mulig grunnlag for er { }.${\ displaystyle \ textstyle a + b {\ sqrt {2}} \ neq 0}$
          ${\ displaystyle {\ frac {1} {a + b {\ sqrt {2}}}} = {\ frac {(fra {\ sqrt {2}})} {(a + b {\ sqrt {2}} ) \ cdot (fra {\ sqrt {2}})}} = {\ frac {(fra {\ sqrt {2}})} {(a ^ {2} -2b ^ {2})}} = {\ frac {a} {(a ^ {2} -2b ^ {2})}} + {\ frac {-b} {(a ^ {2} -2b ^ {2})}} {\ sqrt {2} }}$
    ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle \ textstyle 1, {\ sqrt {2}}}$
  • ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ {a + b {\ sqrt {2}} + c {\ sqrt {3}} + d { \ sqrt {6}} \ mid a, b, c, d \ in \ mathbb {Q} \}}$er en kropp med en base { }.${\ displaystyle \ textstyle 1, {\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {6}}}$

• Ytterligere eksempler er gitt av de øvrige klassefeltene med primtall og ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} = \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle p}$
  • deres endelige kroppsforlengelser , de endelige kroppene ,
  • mer generelt deres algebraiske feltutvidelser, Frobenius-feltene og
  • enda mer generelt deres vilkårlige feltutvidelser, feltene med primtallegenskaper .
• For hvert primtall er feltene til p-adic-tallene .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$
• Settet med heltall med de vanlige forbindelsene er ikke et felt: det er en gruppe med et nøytralt element, og hver har tilsetningsstoffet invers , men er ikke en gruppe. Tross alt er det nøytrale elementet, men bortsett fra og det er ingen multiplikative inverser (for eksempel er ikke en helhet, men et virkelig rasjonelt tall): ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +, \ cdot)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}, \ cdot)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 3 ^ {- 1} = 1/3}$
  • Hele tallene danner bare en integritetsring , hvor kvotientfeltene er de rasjonelle tallene.
• Konseptet som integritetsringen av hele tall kan utvides til å danne feltet med rasjonelle tall og innebygd i det, kan generaliseres til enhver integritetsring:
  • I funksjonsteori gir integritetsringen til de holomorfe funksjonene i ett område av det komplekse tallnivået opphav til faste stoffer , av de meromorfe og abstrakte funksjonene i samme område
  • fra integritetsringen til den formelle maktserien over et felt dens kvotientfelt, analogt fra integritetsringen til den formelle Dirichlet-serien${\ displaystyle K \ left [[x \ right]]}$${\ displaystyle K}$
  • fra ringen av polynomer i variabler, hvis kvotientfelt, rasjonelt felt fungerer i like mange variabler.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K \ left [x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n} \ right]}$${\ displaystyle K \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n} \ right)}$

Endelige kropper

En kropp er en endelig kropp hvis dens grunnleggende sett er endelig. De endelige feltene er fullstendig klassifisert i følgende betydning: Hvert endelig felt har nøyaktig elementer med et primtall og et positivt naturlig tall . Med unntak av isomorfisme, er det nøyaktig en endelig kropp for hver slik kropp, som er betegnet med. Hver kropp har karakteristikken . I artikkelen Finite Body vises tilleggs- og multiplikasjonstabellene med underkroppen uthevet i farger . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle q = p ^ {n}}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

I det spesielle tilfellet får vi for hvert primtall feltet som er isomorft til resten av klassefeltet og kalles primærfeltet til (primtall) karakteristikken . For er aldri isomorf for ; i stedet er det også isomorf ${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$

${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) [X] / (P)}$,

hvor representerer ringen av polynomer med koeffisienter i (her er ) og er et irredusierbart polynom av grad . I et polynom er irredusibelt hvis for følger det eller et element av er, så et konstant polynom. Her det ideelle generert ved hjelp . ${\ displaystyle K [X]}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle P \ in (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) [X]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) [X]}$${\ displaystyle P = P_ {1} \ cdot P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (P)}$${\ displaystyle P}$

historie

Vesentlige resultater av kroppsteori skyldes Évariste Galois og Ernst Steinitz .

Se også

• Felt for algebraisk nummer
• Ring (algebra)

litteratur

• Siegfried Bosch : Algebra. 7. utgave. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4 , doi: 10.1007 / 978-3-540-92812-6 .
• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. utgave. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9 .

weblenker

Wiktionary: body  - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

1. ↑ Enhver løsning på hver ligning bryter med ringaksiomene.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0 \ cdot x = a \ i K}$
2. ^ Albrecht Beutelspacher : Lineare Algebra . 7. utgave. Vieweg + Teubner Verlag , Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1 , s. 35-37 .