Invers element

I matematikk , inverse blir elementer som når man vil studere algebraisk struktur . En slik struktur består av et sett og en to-sifret lenke (aritmetisk operasjon) definert i den . I denne sammenheng betyr dette: Hvis du kombinerer et hvilket som helst element i settet og dets inverse med den aritmetiske operasjonen, får du alltid det såkalte nøytrale elementet som resultat.

I det vanlige kan det omvendte elementet også kalles "omvendt" eller "motsatt" element. Man må imidlertid ikke glemme i hvilken sammenheng man er, fordi det er mange muligheter for å definere et sett eller en aritmetisk operasjon (som man vanligvis ikke kjenner fra skolematematikk).

definisjon

Vær et sett med en tosifret lenke og et nøytralt element . Vær . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ circ}$ ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle a, b \ i A}$

Hvis det i utgangspunktet ikke er kommutativitet, vil jeg. H. det er bare sant at det kalles høyre-inverterbart med det høyre-inverse elementet , og det kalles venstre-inverterbart med det venstre-inverse elementet . ${\ displaystyle a \ circ b = e}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$

Hvis det derimot eksisterer et element med for et element , betyr det bare inverterbar eller inverterbar på begge sider med det inverse elementet . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ circ b = b \ circ a = e}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

Et tosidig omvendt element skrives ofte som med additiv notasjon av lenken , med multiplikativ notasjon ofte som . ${\ displaystyle (-a)}$${\ displaystyle a ^ {- 1}}$

eiendommer

Koblingen antas å være assosiativ , dvs. H. være en monoid . ${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle A}$

• Hvis et element er både venstre og høyre inverterbart, så er alle venstre og høyre inverse elementer av samsvar. Spesielt kan den inverteres på begge sider, og elementet som er invers til et element som kan inverteres på begge sider er tydelig bestemt.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$
• Det inverse av det inverse er det opprinnelige elementet, altså . Den ensifrede lenken er altså en involusjon i settet med elementer som kan inverteres på begge sider.${\ displaystyle \ left (a ^ {- 1} \ right) ^ {- 1} = a}$ ${\ displaystyle ^ {- 1}}$
• Hvis et produkt kan være rett invertert, kan det også være riktig invertert; er venstre-inverterbar, så er også venstre-invertert. Hvis og er inverterbare på begge sider, så også , og det er sant${\ displaystyle a \ circ b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a \ circ b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ circ b}$

${\ displaystyle (a \ circ b) ^ {- 1} = b ^ {- 1} \ circ a ^ {- 1}.}$

Denne egenskapen er noen ganger sokkeskoregel (engelsk: sko (s) -strømpeiendom ) eller skjortejakke som vanligvis kalles: Når du tar av sko og sokker eller skjorte og jakke, må du reversere rekkefølgen for stramming.

• De gjensidig inverterbare elementene i en monoid danner en gruppe. Dette følger av de to forrige eiendommene. Denne gruppen kalles enhetsgruppen . Dette begrepet er spesielt vanlig når vi snakker om multiplikativ monoid av en enhetsring .
• En monoid homomorfisme kartlegger invers til invers; dvs. er inverterbar, så er den også inverterbar, og den holder${\ displaystyle f \ kolon A \ til B}$${\ displaystyle a \ i A}$${\ displaystyle f \ left (a \ right) \ in B}$

${\ displaystyle f \ left (a ^ {- 1} \ right) = f \ left (a \ right) ^ {- 1}.}$

Hvis assosieringsloven ikke gjelder generelt for en algebraisk struktur med et nøytralt element, er det mulig at et element har flere venstre inverser og flere høyre inverser. ${\ displaystyle \ left (A, \ circ \ right)}$

Eksempler

Tilsats omvendt

I de kjente settene med tall ( naturlige tall inkludert null 0, rasjonelle tall , etc.) har man et tillegg med det nøytrale elementet 0. Tilsetningsstoffet invers av et tall er tallet som når det legges til, resulterer i 0, dvs. motsatt eller også det motsatte tallet . Hvis du legger til et begrep , legger du til et såkalt konstruktivt eller produktivt null . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle -a}$
${\ displaystyle a + (- a) = aa = 0}$

For eksempel er det motsatte av , for . Av samme grunn er det motsatte av sving , det er det også . Dette gjelder generelt for alle tall. ${\ displaystyle -7}$${\ displaystyle 7}$${\ displaystyle 7 + (- 7) = (- 7) + 7 = 0}$${\ displaystyle -7}$${\ displaystyle 7}$${\ displaystyle - (- 7) = 7}$

Derfor er ikke motsatt av et tall alltid et negativt tall , det vil si et tall . Følgende gjelder for negative tall : d. H. det motsatte av et negativt tall er et positivt tall . Imidlertid er det motsatte av et positivt tall alltid et negativt tall. ${\ displaystyle a <0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle -a> 0,}$

Det motsatte oppnås alltid i disse tilfellene ved å multiplisere med −1, dvs. H. . ${\ displaystyle -a = -1 \ cdot a}$

Generelt eksisterer det additivt omvendte elementet jevnlig i tilleggsskrevne abelske grupper ${\ displaystyle (G, +)}$ . De viktigste eksemplene på dette er:

• hele tall
• rasjonelle tall
• reelle tall
• komplekse tall
• p-adic tall
• hyperreale tall

I tillegg er det tallsett der et tillegg kan utføres, men der det ikke er noen additive inverse elementer . Slike er z. B.

• naturlige tall
• kardinal tall
• Ordenstall

Hele tallene kan konstrueres fra de naturlige tallene ved å formelt legge til negativene (og 0, hvis 0 ikke er definert som et naturlig tall ) og definere egnede beregningsregler. Sett på denne måten har hvert naturlig tall et motsatt som samtidig er negativt. Men siden dette ikke er et naturlig tall (bortsett fra 0, hvis 0 er definert som et naturlig tall), lukkes ikke settet med naturlige tall under opposisjonen eller subtraksjonen (tillegg med det motsatte).

Multiplikativ invers

I ovennevnte tallsett er det også en multiplikasjon med nøytralt element 1. Multiplikasjonsinversen av et tall a er tallet assosiert med et multiplisert resultat. 1 Så det er gjensidig av a .

For eksempel er gjensidigheten av 7 det rasjonelle tallet 1/7; i heltallene har imidlertid 7 ingen multiplikativ invers.

Hvis en ring R er gitt generelt , kalles elementene som har multiplikative inverser enheter av ringen. I teorien skiller delingen seg vanligvis ikke mellom ringelementer, multiplikasjonen skiller seg med en enhet (i. E. Elements , med = for en enhet ). ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle eb}$${\ displaystyle e}$

I resterende klasseringer kan multiplikasjonsinversen beregnes ved hjelp av den utvidede euklidiske algoritmen , hvis den eksisterer.

Invers funksjon

Betrakt settet av alle funksjoner fra mye av . På dette settet har man sammensetningen (utførelse etter hverandre) som en lenke, definert av ${\ displaystyle A ^ {A}}$${\ displaystyle f \ kolon A \ til A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle g \ circ f \ colon \, A \ til A, \, a \ mapsto (g \ circ f) (a): = g (f (a))}$.

Komposisjonen er assosiativ og har det samme bildet som et nøytralt element. ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {A} \ colon A \ to A, \, a \ mapsto a}$

Hvis en funksjon er bijektiv , er den inverse funksjonen det inverse elementet av in . ${\ displaystyle f \ kolon A \ til A}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ kolon A \ til A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A ^ {A}}$

Man generaliserer dette begrepet til bijektive funksjoner og får en omvendt funksjon med og${\ displaystyle f \ kolon A \ til B}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ kolon B \ til A}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ f = \ operatorname {id} _ {A}}$${\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = \ operatorname {id} _ {B}.}$

Er A en kropp som B. de reelle tallene , så må man ikke forveksle den omvendte funksjonen med den gjensidige verdien ! Den omvendte funksjonen er bare definert når den er bindende, og den gjensidige defineres bare når den ikke har noen nuller . Selv om en delmengde av bijektive kartlegger seg selv, samsvarer generelt ikke den omvendte funksjonen og den gjensidige verdien. ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle 1 / f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

For eksempel har funksjonen en invers funksjon og en invers , men de stemmer ikke overens. (Hvor er settet med positive reelle tall.) ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R} ^ {+}, \, x \ mapsto x ^ {2}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R} ^ {+}, \, x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {f}} \ right) (x) = {\ frac {1} {f (x)}} = {\ frac {1} {x ^ {2}} }}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} = (0, \ infty)}$

Selvomvendte elementer

I en monoid med det nøytrale elementet kalles et element selvinvers hvis: ${\ displaystyle (M, *)}$${\ displaystyle e \ in M}$${\ displaystyle a \ in M}$

${\ displaystyle a * a = e \ {\ text {eller}} \ a ^ {{-} 1} = a}$

• Det nøytrale elementet er selvomvendt i alle monoider: ${\ displaystyle e * e = e}$
• I en linktabellen for en monoid, kan den selv inverse elementer som gjenkjennes ved det faktum at den nøytrale element er på diagonalen.
  • Eksempel:

${\ displaystyle *}$	e	en	b	c
e	e	en	b	c
en	en	e	c	b
b	b	c	e	en
c	c	b	en	e

• En monoid der hvert element er selvomvendt, er alltid en kommutativ gruppe.
  • Bevis:

Siden hvert element har et omvendt element (nemlig seg selv), er monoiden en gruppe.

Som med også , er selvomvendt, slik at ${\ displaystyle a, b \ i M}$${\ displaystyle (a * b) \ i M}$${\ displaystyle (a * b)}$

${\ displaystyle (a * b) * (a * b) = e}$

Men gjelder også (på grunn av assosieringsloven)

${\ displaystyle (a * b) * (b * a) = a * (b * (b * a)) = a * ((b * b) * a) = a * (e * a) = a * a = e.}$

På grunn av det unike (det høyre) inverse elementet i en gruppe (se ovenfor) må det derfor gjelde

${\ displaystyle b * a = a * b.}$

Generalisering: Definisjoner uten et nøytralt element

Inverse elementer kan også defineres uten at det eksisterer et nøytralt element, dvs. i noe magma eller en semigruppe .

(svak) omvendt i magma

Er det et unikt element i hvilken som helst magma for a , så det gjelder alle : ${\ displaystyle (M, *)}$${\ displaystyle a \ in M}$${\ displaystyle a ^ {{-} 1} \ i M}$${\ displaystyle b \ i M}$

${\ displaystyle a ^ {{-} 1} * (a * b) = b = (b * a) * a ^ {{-} 1},}$

Deretter En anrop (svak) inverterbare og den (svak) inverse av . En magma der alle kan være inverterte (svake) som har invers egenskap (Engl. Inverse property ), og kalles da quasigroup inverse property . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {{-} 1}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle (M, *),}$${\ displaystyle a \ in M}$${\ displaystyle (M, *),}$

En kvasi-gruppe med omvendt egenskap er en kvasi-gruppe (bevis se kvasi-gruppe ). En halvgruppe som har den omvendte egenskapen er derfor allerede en gruppe .

I henhold til denne definisjonen, og fungerer sammen som et nøytralt element på hvert element , men det trenger ikke nødvendigvis å være et eksplisitt, nøytralt element. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {{-} 1}}$${\ displaystyle b \ i M}$

I en semigruppe som har den omvendte egenskapen , gjelder imidlertid på grunn av den tilknyttede loven alle for alle : ${\ displaystyle (M, *),}$${\ displaystyle b \ i M}$

${\ displaystyle (a ^ {{-} 1} * a) * b = a ^ {{-} 1} * (a * b) = b = (b * a) * a ^ {{-} 1} = b * (a * a ^ {{-} 1}),}$

Så det (entydige) nøytrale elementet i In (semi-) grupper, slik at begge definisjonene av inverse elementer er enige, ikke nødvendigvis i kvasi-grupper. ${\ displaystyle e: = (a ^ {{-} 1} * a)}$${\ displaystyle (M, *).}$

(krysset over) Omvendt i magma

Er det et element i noe magma for a , så det gjelder alle : ${\ displaystyle (M, *)}$${\ displaystyle a \ in M}$${\ displaystyle a ^ {{-} 1} \ i M}$${\ displaystyle b \ i M}$

${\ displaystyle a ^ {{-} 1} * (b * a) = b = (a * b) * a ^ {{-} 1},}$

det kalles (kryss) kan inverteres og en (kryss) invers (Engl. krysset omvendt ) av . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {{-} 1}}$${\ displaystyle a}$

En magma der alle en (kryss) invers som tjente Om kryss-invers egenskap (Engl. Crossed inverse property , CIP), og kalles da CIP Magma (Engl. CIP groupoid ). ${\ displaystyle (M, *),}$${\ displaystyle a \ in M}$${\ displaystyle (M, *),}$

I en CIP-magma er det (kryssede) inversen for et element unikt bestemt. I tillegg er en CIP-magma alltid en kvasi-gruppe ( CIP kvasi-gruppe ).

En abelsk gruppe har den kryssede omvendte egenskapen, en ikke-kommutativ gruppe har ikke nødvendigvis:

${\ displaystyle (b * a) = (a * b) \ innebærer a ^ {{-} 1} * (b * a) = a ^ {{-} 1} * (a * b) = (a ^ { {-} 1} * a) * b = e * b = b \ land (a * b) * a ^ {{-} 1} = (b * a) * a ^ {{-} 1} = b * (a * a ^ {{-} 1}) = b * e = b}$

(relativ) invers i en semigruppe

I en invers semigruppe er a (relativ) invers (engl. Relativ invers ) til en definert av det faktum at: ${\ displaystyle (A, *)}$${\ displaystyle y \ i A}$${\ displaystyle x \ i A}$

${\ displaystyle x * y * x = x}$og .${\ displaystyle y * x * y = y}$

Denne definisjonen er enda svakere enn i en kvasi-gruppe med invers egenskap, ellers ville den inverse semigruppen allerede være en gruppe.

Se også

• Tilbaketrekking og tilbaketrekking , venstre og høyre invers i kategorier

Individuelle bevis

1. ↑ Bartel L. van der Waerden : Algebra . 9. utgave. teip 1 . Springer-Verlag, Berlin [a. a.] 1993, ISBN 3-540-56799-2 , pp. 14 . 
2. ^ ^{A b} Richard Hubert Bruck: En undersøkelse av binære systemer (=  resultatene fra matematikk og dine grenseområder . NF20). 3. Utgave. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 978-3-662-42837-5 , pp. 111 . 
3. ↑ ^{a b c} V. Izbash, N. Labo: Cross-inverse-property groupoids (=  Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. Matematica . Volume 2 (54) ). 2007, ISSN  1024-7696 , s. 101-106 . 
4. ^ Richard Hubert Bruck: En undersøkelse av binære systemer (=  resultater fra matematikk og dine grenseområder . NF20). 3. Utgave. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 978-3-662-42837-5 , pp. 25 .