Kommutativ lov

En lenke er kommutativ hvis den alltid holder. Denne figuren bruker ideen om en operasjon som en maskin som gjør to innganger til ett resultat. Hvis lenken er kommutativ, spiller det ingen rolle i hvilken rekkefølge inngangene og forekommer - resultatet er det samme som .${\ displaystyle \ circ}$ ${\ displaystyle x \ circ y = y \ circ x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ circ y}$${\ displaystyle y \ circ x}$

Den kommutativ lov ( latin commutare "til swap"), på tysk lov utveksling, er en regel fra matematikk . Hvis det holder, kan argumentene til en operasjon byttes uten å endre resultatet. Matematiske operasjoner som er underlagt kommutativ lov kalles kommutativ.

Kommutativ lov danner de grunnleggende reglene for algebra med assosiativ lov og distribusjonslov .

Formell definisjon

La det være og mengder. En binær forbindelse kalles kommutativ hvis likheten gjelder alle . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle * \ kolon A \ ganger A \ til X, \; (a, b) \ mapsto a * b}$${\ displaystyle a, b \ i A}$${\ displaystyle a * b = b * a}$

Eksempler og moteksempler

Vektortilsetningen er kommutativ fordi den er.${\ displaystyle {\ vec {a}} + {\ vec {b}} = {\ vec {b}} + {\ vec {a}}}$

Virkelige tall

Tillegget av naturlige tall er kommutativt.

For reelle tall holder det alltid ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle a + b = b + a}$

og

${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a}$,

operasjonene av addisjon og multiplikasjon er kommutative. Den første formelen kalles også kommutativ lov for tillegg, den andre kommuterende lov for multiplikasjon . Den subtraksjon og divisjon av reelle tall, derimot, er ikke kommutative operasjoner. Eksponentieringen er heller ikke kommutativ ( er et moteksempel). ${\ displaystyle 2 ^ {3} \ neq 3 ^ {2}}$

Den eldste kjente formen for den kommutative loven om tillegg er den sumeriske fabelen om den smarte ulven og de ni dumme ulvene .

Scalar produkter

• Det skalære produktet i et reelt vektorrom er kommutativt, så det holder alltid .${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle = \ langle b, a \ rangle}$
• Skalarproduktet i et komplekst vektorrom er derimot ikke kommutativt, snarere gjelder det , med overlinjen som angir den komplekse bøyningen .${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle = {\ overline {\ langle b, a \ rangle}}}$

Still inn drift

I mengdeori er forening og skjæringspunkt kommutative operasjoner; for sett gjelder alltid følgende: ${\ displaystyle A, B}$

${\ displaystyle A \ cup B = B \ cup A}$ (Union)

${\ displaystyle A \ cap B = B \ cap A}$ (Skjære)

Derimot er ikke forskjellen kommutativ. og det er noen ganger forskjellige mengder, f.eks. B. for og , for da ville være og . ${\ displaystyle A \ setminus B}$${\ displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle A = \ {1,2 \}}$${\ displaystyle B = \ {2 \}}$${\ displaystyle A \ setminus B = \ {1 \}}$${\ displaystyle B \ setminus A = \ emptyset}$

Matriseberegning

Tilsetningen av matriser over en ring eller kropp er kommutativ. Den matrisemultiplikasjon ikke er kommutativ, men: Selv om faktorer er noen ganger, men ikke alltid utskiftbare.

Multiplikasjonen av matriser med skalarer og matriksmultiplikasjonen i underringen til de diagonale matrisene er også kommutativ .

Gruppeteori

Generelt kalles en gruppe der forbindelsen mellom gruppeelementer er kommutativ, Abelian .

Proposisjonell logikk

I proposisjonell logikk gjelder forbindelsene :

• ${\ displaystyle \ vee}$ ("Eller") er kommutativ.
• ${\ displaystyle \ land}$ (“Og”) er kommutativ.
• ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$(" Logisk ekvivalens ") er kommutativ.
• ${\ displaystyle \ rightarrow}$("Hvis ..., så ..."; se implikasjon ) er ikke kommutativ.

Ytterligere eksempler

Ytterligere eksempler på ikke-kommutative operasjoner er kryssproduktet i vektorrom eller multiplikasjon av kvaternioner .

Kommutativitet er også en viktig grunnleggende egenskap i kvantemekanikken , kommuteringen av to observerbare betyr fysisk at de kan måles nøyaktig samtidig. Ikke alle observerbare pendler.

Anti-kommutativitet

I noen strukturer med to operasjoner, for eksempel kryssproduktet i vektorrom, gjelder ikke kommutativ lov, men i stedet et slags motsatt av det: ${\ displaystyle \ times}$

${\ displaystyle a \ times b = - (b \ times a)}$.

Mer generelt tilfredsstiller produktet på en Lie-algebra skrevet som antikommutativitet. ${\ displaystyle [a, b]}$

Merknader

Symmetrisk forhold

Kommutativiteten, som tillater utveksling av argumenter i en operasjon , ligner symmetriegenskapen til relasjoner, som tillater utveksling av de sammenlignede elementene med hensyn til forholdet : hvis og bare hvis . ${\ displaystyle xRy}$${\ displaystyle yRx}$

Fleksibilitetsloven

Fleksibilitetsloven tilbyr en alternativ mulighet for "parentes" for en lenke : ${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle a * \ left (b * a \ right) = \ left (a * b \ right) * a}$

Se også

• Symmetrisk funksjon
• Kommutativt diagram

litteratur

• Otto Forster : differensial- og integralregning for en variabel. (Analyse, bind 1). 10. utgave. Verlag Vieweg & Teubner, Braunschweig 2011, ISBN 978-3-8348-1251-3 .