implikasjon

Begrepet implikasjon (fra latin implicare , til vikle , verb : å antyde ; adjektiv : å implisitt ) brukes ikke ensartet i logikken for en bestemt logisk kontekst, spesielt skilles det

  • en materiell implikasjon som en av flere mulige logiske sammenhenger ( koblinger ) mellom to proposisjonsvariabler : (se også artikkelen " Junctor "). Denne materielle implikasjonen, også kalt underkastelse eller betinget , kan defineres sannhetsfunksjonelt (se avsnitt nedenfor ). Den finnes allerede i Philo of Megara (3. århundre f.Kr.) og er vanligvis omskrevet i daglig tale som: "Hvis  a , så  b ."
  • en formell implikasjon som en form for logisk sammenheng, som mer skal tilsvare en intuitiv oppfatning som kan være resultatet av vanlige språklige språk . I løpet av tiden dukket det opp forskjellige tolkninger for å formalisere fenomenet så tydelig som mulig . Ovennevnte formel blir sett på en mer differensiert måte, for eksempel som lest: "For hver enkelt x gjelder følgende: Hvis x har egenskapen A , har den også egenskapen B. " Analysen av en uttalelse med nedbrytning til den predicator og dens argument , spesielt for den formelle innblanding, er funnet på samme måte i Platon og Aristoteles .

Den intuisjonistiske implikasjonen eller underkastelsen innenfor den dialogiske logikken så vel som den strenge implikasjonen av Ackermann og den strenge implikasjonen kan også sees på som varianter av en deduksjonsbasert formell implikasjon . Implikasjonen ble formalisert som en hypotetisk dom av Bruno von Freytag-Löringhoff og Albert Menne .

Disse mer spesifikke tolkningene kan også refereres til som objektspråklige implikasjoner. Det må da skilles mellom de metallspråklige implikasjonene; de lar en snakke om den logiske strukturen til disse språkene. Følgelig kan de tildeles en enda nærmere tilknytning til begrepet avledbarhet og begrepet slutning .

Forskjell mellom objektspråklig og metallspråklig implikasjon

Objektspråklige implikasjoner (materiell implikasjon, betinget, underkastelse) er en uttalelse som består av to kortere utsagn ved hjelp av krysset "(allerede) hvis ..., da ...". For eksempel er "hvis det regner veien våt" en vesentlig implikasjon; denne implikasjonen sier noe om setningenes logiske sammenheng, nemlig at sannheten i den første underklausulen ( antecedent , også antecedent ) er en tilstrekkelig betingelse for sannheten i den andre sub-klausulen ( konsekvens ).

Den metallspråklige implikasjonen er derimot en uttalelse om utsagn, en metauttalelse. En metallspråklig implikasjon vil være utsagnet "Fra setningen " Det regner "følger setningen" Veien er våt "" ". Her blir det ikke sagt noe om regn, fuktighet eller deres tilknytning, men snarere to setninger av objektspråket og deres logiske forhold. Ved å gjøre det kan det henvises til deres betydning (for eksempel om det en setning sier er til stede, om det den andre sier er til stede) eller ikke, så to setninger kan knyttes til hverandre utelukkende gjennom deres logiske form (så kan si , for eksempel: "Hvis , så ").

Implikasjoner av objektspråk

Objektspråklige implikasjoner, en påstand som består av to kortere utsagn ved bruk av krysset "(allerede) hvis ..., da ...", blir referert til som materiell implikasjon , underkastelse og betinget .

Sannhetsfunksjonell implikasjon

Den subjunction er falsk bare hvis A er sann og B er falsk. Dette området er hvitt i Venn-diagrammet .
Det er klassisk

A → B ¬A B.

I klassisk logikk brukes bare sannhetsfunksjonelle setningskombinasjoner, dvs. bare de der sannhetsverdien til setningskombinasjonen bare avhenger av sannhetsverdien til deluttalelsene.Innenfor en betinget omtales den første utsagnet som et fortilfelle, implikant eller forord, blant annet den andre utsagnet som en påfølgende, underordnet , konsekvens, implikasjon, og sjelden også en konsekvens.

Siden antikken - for første gang av Philo of Megara  - er den sannhetsfunksjonelle implikasjonen eller seq-funksjonen definert av følgende sannhetstabell:

f f w
f w w
w f f
w w w

Denne sannhetsfunksjonelle objektspråklige implikasjonen kalles blant annet materiell implikasjon , underkastelse eller (stadig mer) betinget . Den uttrykker den tilstrekkelige tilstanden , det vil si at den ikke hevder noen årsakssammenheng eller annen kontekstuell sammenheng mellom og .

Allerede i eldgamle tider ble det diskutert i hvilken grad og under hvilke forhold det naturlige språket "hvis ..., da ..." uttrykker en tilstrekkelig tilstand og tilsvarer dermed den materielle implikasjonen, men fremfor alt om og hvordan de andre betydningene av det naturlige språket "hvis ..., så ..." ", For eksempel den kausale (" A forårsaker B "), kan analyseres. Forsøk på å analysere annen mening enn den rent sannhetsfunksjonelle ("materielle") betydningen av det naturlige språket "hvis ..., så ..." fører til ikke-klassiske implikasjoner, for eksempel den strenge implikasjonen og den intuisjonistiske implikasjonen .

I det formelle språket for logikk brukes en enkel pil som et symbol for krysset , spesielt i det engelskspråklige området, basert på stavemåten Peano-Russell, kurven ("hestesko", "hestesko" , " buemark ") (Reichenbach)) brukes av og til også pilen med to skråstreker .

I den polske notasjonen brukes store bokstaver C for den materielle implikasjonen , slik at utsagnet "Hvis a, så b" skrives som førerhus .

Gottlob Frege uttrykker i sin konseptuelle skriving den første formaliseringen av den klassiske predikatlogikken , den betingede "Hvis A, så B" gjennom Terminskript Cab.svg.

Skrivemåter

Naturlig språk og materiell implikasjon

Når det gjelder materiell implikasjon, sier man ofte kort: “Hvis a, så b.” Denne bruken er noe uheldig fordi uttrykket “hvis ..., så ...” på tysk har et bredt betydningsfelt og stort sett ikke for materiale, det vil si her sannhetsfunksjonell, men brukes til kontekstuelle sammenhenger ( kausalitet eller kronologisk sekvens). Slike forbindelser kan ikke uttrykkes med den materielle implikasjonen. Det må derfor skilles mellom den materielle implikasjonen og det naturlige språket "hvis ..., da ...". Noen ganger prøver man å unngå misforståelser, noe som kan skyldes de mange betydningene av tyskeren "hvis ..., så ..." , ved å bruke formuleringer som " allerede hvis a, da b ..." eller "a er en tilstrekkelig tilstand for b ".

Implikasjonen for (a) "Det regner" og (b) "Veien blir våt" er uttalelsen

Når det regner, blir veien våt.

Alternative formuleringer som bedre understreker den materielle karakteren er

Selv når det regner, blir veien våt.

eller

At det regner er tilstrekkelig for at veien skal bli våt.

Den materielle implikasjonen er falsk hvis og bare hvis forgjengeren er sann, og den derav følgende er falsk . I alle andre tilfeller er implikasjonen sann . Den betingede "Hvis det regner, blir gaten våt" er bare feil hvis det regner, men gaten blir ikke våt.

Bestemmelsen om at en materiell implikasjon bare er falsk hvis forgjengeren (hvis delen) er sant og den derav følgende er falsk, fører til at følgende kombinasjoner av empiriske utsagn er sanne :

Når London er i Frankrike, er snøen hvit. falsk antesedent, ekte suksess
Når London er i Frankrike, er snøen svart. feil antesedent, feil arv
Når London er i England, er snøen hvit. sann fortilfelle, ekte etterfølger

Disse paradoksene for den materielle implikasjonen understreker den utvidende karakteren ( se knutepunktet ) for den materielle implikasjonen: Det hevder ingen materiell sammenheng mellom antecedenten (hvis del) og arven (det er faktisk ingen sammenheng mellom den geografiske plasseringen av London og snøfarge) Snarere spores deres sannhetsverdi rent utvidende tilbake til sannhetsverdiene i deres underklausuler: "Selv om forgjengeren er sann, er den etterfølgende også sant."

Forbindelse med nødvendig tilstand

Som allerede nevnt uttrykker den materielle implikasjonen den tilstrekkelige tilstanden . Det er å skille seg fra den nødvendige tilstanden, som sier at en tilstand er nødvendig, men ikke tilstrekkelig for at en annen tilstand skal oppstå.

eksempel
“Bare når en person er myndig kan de stemme.” Juridisk alder er en nødvendig forutsetning for stemmeretten, men det er ikke tilstrekkelig; du må vanligvis oppfylle tilleggsvilkår, f.eks. B. ha statsborgerskap i landet.

Den tilstrekkelige og nødvendige tilstanden er nært beslektet. Hvis et faktum A er en tilstrekkelig forutsetning for et faktum B, så er B også en nødvendig forutsetning for A. Eksemplet "Bare når en person er myndig kan han stemme" er logisk sett lik "Selv om en person har lov til å stemme er at de er myndige. ”Man kan avklare denne sammenhengen, som ofte oppleves som kontraintuitiv ved å se på situasjonen på valglokalet. Hvis du ser en person som stemmer der, kan du utvetydig konkludere - selv om de kan se veldig unge ut - at de må være myndige; fordi bare voksne har lov til å stemme.

På grunn av denne kontekstuelle konteksten uttrykker den materielle implikasjonen både den nødvendige og tilstrekkelige tilstanden:

blir vanligvis lest som “A er en tilstrekkelig betingelse for B” eller “Hvis A, så B”; men siden det tilsvarer " B er en nødvendig forutsetning for A ", kan det like gjerne leses på den måten.

Egenskaper og logikklover

Den materielle implikasjonen

tilsvarer for eksempel følgende utsagn, for eksempel :

  • (les: "ikke a eller b "). Denne ekvivalensen kan brukes til å definere den materielle implikasjonen på grunnlag av disjunksjon og negasjon .
  • (les: “det teller ikke: a og ikke  b ”). Den materielle implikasjonen kan også defineres på grunnlag av sammenheng og negasjon.
  • (les: “hvis ikke  b , så ikke  a ”). Så du kan reversere implikasjonen hvis du nekter antesedenten og den påfølgende samtidig. Denne logikkloven er også kjent som motposisjon .

I tillegg uttalelsen er en tilsvarende og uttalelsen (les: “ikke en ”) tilsvarer , der er noen tautologi og noen selvmotsigelse . Videre, og tilsvarer .

På grunn av sin utvidede karakter er den materielle implikasjonen i predikatlogikken godt egnet til å formalisere utsagn av typen "Alle hester er pattedyr" som følger:

Notasjon
Måte å snakke på "For alle x gjelder følgende: Hvis x er en hest, er x et pattedyr"

Når det gjelder egenskapene til den materielle implikasjonen, bør det bemerkes at den ikke er assosiativ , kommutativ , symmetrisk , antisymmetrisk eller asymmetrisk . Men det er forbigående , det vil si følgende gjelder:

ut og følger

Det er også refleksivt , så følgende gjelder generelt:

Ved hjelp av implikasjonen og negasjonen kan alle foreslåtte deltakere bli representert.

Ikke-klassiske implikasjoner

Intuisjonistisk implikasjon

I intuisjonisme betyr uttrykket at et bevis på (om eksistensen som ingenting er sagt om) kan suppleres med et bevis på . Dette forholdet kan ikke defineres i form av sannhetsverdiene til antecedents og suksess, så det er ikke utvidende eller sannhetsfunksjonelt . I stedet brukes intensiv semantikk, den mest kjente og først formaliserte er Kripke-semantikken utviklet av Saul Aaron Kripke for modalogikk .

Noen av ekvivalensene oppført ovenfor gjelder intuisjonistisk "bare i en retning", dvs. H. spesielt:

  • følger fra , men ikke omvendt.
  • følger fra , men ikke omvendt.
  • følger fra , men ikke omvendt.

I motsetning til den materielle implikasjonen, kan ikke den intuisjonistiske implikasjonen defineres i form av negasjon og sammenheng eller disjunksjon.

Det er likevel sant at a tilsvarer og til og at og tilsvarer . I likhet med den materielle implikasjonen er intuisjonisten transitiv og refleksiv.

Streng implikasjon

Den strenge implikasjonen er kombinasjonen av den modale logiske nødvendighetsoperatøren med den materielle implikasjonen.

Notasjon ,
Måte å snakke på Hvis a, da nødvendigvis b

Den strenge implikasjonen ble utviklet av Diodoros Kronos og i skolastikk som et forsøk på å omgå paradoksene for materiell implikasjon og ble omorganisert i 1918 av Clarence Irving Lewis . Dette er ment å tilnærme det naturlige språket "hvis ..., så ...". Den strenge implikasjonen er ikke allerede sant hvis forgjengeren er falsk eller den følgede er sant. Det er mange varianter av den strenge implikasjonen, avhengig av hvilken modalkalkulus som brukes. Den strenge implikasjonen, som materialet og den intuisjonistiske, er transitiv og refleksiv.

Konseptet med streng implikasjon er også utsatt for kritikk fordi det unngår paradokset for materiell implikasjon, men fører til den analoge vanskeligheten at enhver logisk umulig uttalelse innebærer noen uttalelse og at hver uttalelse strengt innebærer alle logisk nødvendige uttalelser. Lewis 'egen bruk av streng implikasjon er også blitt beskyldt for å forvirre gjenstand og metallspråk.

Metalinguistisk implikasjon

Den metallspråklige implikasjonen er en uttalelse om utsagn . En uttalelse A innebærer en uttalelse B hvis og bare hvis A gjelder, gjelder B også. Analogt, flere uttalelser A 1 til A n innebære en uttalelse B hvis og bare hvis påstandene A 1 til A n også søke sammen. For eksempel antyder utsagnene "Alle griser" og "Babe er en gris" "Babe grunts".

Begrepet slutning og dermed den metallspråklige implikasjonen spesifiseres formelt på forskjellige måter. På den ene siden skilles det mellom den semantiske slutningen , skrevet ned som , og den syntaktiske slutningen , deduktiviteten, skrevet ned som :

Semantisk slutningskonsept
En konklusjon er semantisk gyldig skrevet: hvis sannheten av utsagnene A 1 til A n garanterer sannheten i utsagnet B. I en tolke semantikk , er dette tilfellet dersom, for hver tolkning hvor hver av påstandene A- 1 til A n er sann, er utsagnet B også sant.
Syntaktisk forestilling om slutning
En konklusjon er syntaktisk gyldig, skrevet , hvis og bare hvis utsagnet B i en gitt logisk beregning kan avledes fra utsagnene A 1 til A n , det vil si hvis utsagnene A 1 til A n kan avledes fra utsagnene A 1 til A n ved å bruke reglene for inferens og aksiomer for den respektive kalkulus tillater utsagnet B å bli generert.

På den annen side er det fundamentalt forskjellige versjoner av begrepet slutning og dermed av den metallspråklige implikasjonen, for eksempel den av klassisk logikk eller logikk. Disse forskjellige definisjonene av slutning eller metallspråklig implikasjon fører til fundamentalt forskjellige kalkulasjoner og semantiske modeller . Hvis det ikke fremgår av sammenhengen hva slags metallspråklige implikasjoner eller slutninger menes, er det derfor nødvendig å gi denne informasjonen. Man kan derfor finne formuleringer som “A innebærer klassisk (semantisk, syntaktisk) B” eller “C innebærer intuisjonistisk (semantisk, syntaktisk) D”. I den formelle notasjonen er typen innledning vanligvis angitt med et abonnement ved inferenstegnet. For eksempel kan “K” stå for klassisk, “jeg” for intuisjonistisk konklusjon, det vil si (semantisk, klassisk), (syntaktisk, klassisk), (semantisk, intuisjonistisk) og (syntaktisk, intuisjonistisk).

I det store flertallet av logikk er det en nær sammenheng mellom objekt- og metallspråklige implikasjoner, noe som kommer til uttrykk i deduksjonssatsen . Nemlig "Hvis a, så b" kan påvises, kan dette b være laget av en avledet; og hvis omvendt b kan stamme fra a , så kan "Hvis a, så b" bevises. For “ c er påviselig” skriver man også . Fradragssatsen kan således skrives ned som følger:

iff.

Fradragssatsen gjelder både klassisk, intuisjonistisk og streng implikasjon. Det er imidlertid ikke en selvfølge, men krever et (i de fleste tilfeller ikke-trivielt) bevis.

Se også

weblenker

Wiktionary: Implication  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

  1. a b Oversikt over formell logikk . Paderborn: Universitäts-Taschen-Bücher-Verlag: 1983. Oversatt fra fransk av Joseph Maria Bocheński . Oversatt og utvidet av Albert Menne .