Nøytralt element

Et nøytralt element er et spesielt element i en algebraisk struktur . Det er preget av det faktum at hvert element er kartlagt til seg selv gjennom lenken med det nøytrale elementet.

definisjon

Vær en magma (en mengde med en tosifret lenke ). Da kalles et element${\ displaystyle (S, *)}$${\ displaystyle e \ in S}$

• venstre nøytral , hvis det er for alle ,${\ displaystyle e * a = a}$${\ displaystyle a \ in S}$
• juridisk nøytral , hvis det er for alle ,${\ displaystyle a * e = a}$${\ displaystyle a \ in S}$
• nøytral hvis venstre nøytral og høyre nøytral.${\ displaystyle e}$

Hvis forbindelsen er kommutativ , samsvarer de tre begrepene. Men hvis det ikke er kommutativt, kan det være et høyre-nøytralt element som ikke er venstre-nøytralt, eller et venstre-nøytralt element som ikke er høyre-nøytralt.

En semigruppe med et nøytralt element kalles en monoid . Hvis hvert element i også har et omvendt element i , er det en gruppe . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Symbolet brukes ofte for lenken , man snakker da om en multiplikativt skrevet semigruppe. Et nøytralt element kalles da et enkelt element og symboliseres av. Som vanlig med vanlig multiplikasjon , kan malepunktet utelates i mange situasjoner . ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ cdot}$

En semigruppe kan også noteres i tillegg ved å bruke symbolet for lenken . Et nøytralt element kalles da et nullelement og symboliseres av. ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle 0}$

Eksempler

• I de reelle tallene er ( null ) det nøytrale tilleggselementet og ( ett ) det nøytrale multiplikasjonselementet , som og for ethvert reelt tall .${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 0 + x = x + 0 = x}$${\ displaystyle 1 \ ganger x = x \ ganger 1 = x}$${\ displaystyle x}$
• I ringen av - matriser enn et legeme , den er null matrise den nøytrale element i matrisen tilsetning og identitetsmatrise er den nøytrale element i matrisen multiplikasjon .${\ displaystyle n \ times n}$
• I et funksjonsrom er nullfunksjonen det nøytrale tilleggselementet og den ene funksjonen er det nøytrale multiplikasjonselementet.
• Når det gjelder vektorer , er nullvektoren det nøytrale elementet i vektortilsetningen .
• I et formelt språk er det tomme ordet det nøytrale elementet i sammenkoblingen av ord.

kjennetegn

• Hvis en semigruppe har både høyre-nøytrale og venstre-nøytrale elementer, samsvarer alle disse elementene og har nøyaktig ett nøytralt element. Fordi er og for alle , så er det .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle a * e = a}$${\ displaystyle f * a = a}$${\ displaystyle a \ in S}$${\ displaystyle f = f * e = e}$

• Det nøytrale elementet i en monoid er tydelig bestemt.

• Men hvis en semigruppe ikke har noe høyre-nøytralt element, kan det ha flere venstre-nøytrale elementer. Det enkleste eksemplet er ethvert sett med minst to elementer med lenken . Hvert element er nøytralt, men ingen er nøytralt. Tilsvarende er det også semigrupper med høyre-nøytrale, men uten venstre-nøytrale elementer.${\ displaystyle a * b: = b}$

• Dette kan også oppstå når du multipliserer i ringer. Et eksempel er den delvise ringen

${\ displaystyle R = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ right | a, b \ in K \ right \}}$

med 2-til-2 matriser over hvilken som helst kropp . Det er enkelt å beregne at det er en ikke-kommutativ ring. Nøyaktig elementene er venstre-nøytrale med hensyn til multiplikasjon ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & x \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$

med . I følge det som er blitt sagt ovenfor, kan multiplikasjonen i ikke ha noen rett-nøytrale elementer.${\ displaystyle x \ i K}$${\ displaystyle R}$

Se også

• Absorberende element
• Enhet (matematikk)
• Identisk figur
• Invers element

Individuelle bevis

1. ^ Siegfried Bosch : Algebra. 7., revidert utgave. Springer, Berlin et al. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9 , s. 2.