Rasjonalt tall

${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

De rasjonelle tallene (ℚ) er en del av de reelle tallene (ℝ). De inneholder selv hele tallene (ℤ), som igjen inkluderer de naturlige tallene (ℕ).

Et rasjonelt tall er et reelt tall som kan representeres som et forhold ( latinsk forhold ) på to hele tall . For å betegne settet med alle rasjonelle tall, brukes formelsymbolet ( Unicode U + 211A: ℚ) (fra " kvotient ", se bokstav med dobbel linje ). Den dekker alle tall som når brøk (Engl. Brøk ) kan vises, som inneholder både teller og nevner hele tall. Den eksakte matematiske definisjonen er basert på ekvivalensklasser av par av heltall. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

De rasjonelle tallene kalles også brøker i skolematematikken . Ved å introdusere brøkene kan deling også utføres hvis for eksempel utbyttet er mindre enn deleren . For eksempel er delingsproblemet 3: 4 =? ikke løselig innen naturlige eller hele tall .

For eksempel, den fraksjon ^3- / ₄ betegner:

1. divisjon 3: 4 (3 delt i 4, 3 delt i 4, 3 delt i 4, 3 delt i 4 (like) deler, 3 delt på 4),
2. resultatet av inndelingen som et eget (brøkdel) nummer ³ ⁄ ₄ (tre fjerdedeler),
3. rekkefølgen: "Del i 4 deler, ta 3" (tre av fire (deler)).

Uttrykkene vanlig brøk , stamme brøk , reell brøk , jeg, feil brøk , jeg, forkortet brøk , utvidet brøk , desimal brøk , binær brøk  ... brukes for spesielle stavemåter eller former for rasjonelle tall. Den desimalbrøk utvidelse av et rasjonalt tall er periodisk.

Et reelt tall som ikke er et rasjonelt tall kalles et irrasjonelt tall . Disse inkluderer , , og . Utvidelsen av desimalbrøk av et irrasjonelt tall er ikke periodisk. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ mathrm {e}}$${\ displaystyle \ Phi}$

Siden de rasjonelle tallene danner et tellbart sett , men de reelle tallene et utellelig antall , er "nesten alle" reelle tall irrasjonelle .

definisjon

Settet med rasjonelle tall består av settet med negative rasjonelle tall, tallet null og settet med positive rasjonelle tall. Definisjonen av rasjonelle tall er basert på representasjon av rasjonelle tall etter brøker , dvs. par av hele tall. Den er strukturert på en slik måte at beregningen med rasjonelle tall kan utføres som vanlig ved hjelp av deres brøker, men samtidig abstraherer det rasjonelle tallet fra dets brøker. De rasjonelle tallene postuleres ikke som helt nye ting, men reduseres til hele tallene.

Definisjonen begynner med settet med alle ordnede par med heltall med . Viktig: Disse parene er ikke rasjonelle tall. ${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle b \ not = 0}$

Man definerer tillegg og multiplikasjon på dette settet som følger:

${\ displaystyle (a, b) + (c, d): = (a \ cdot d + b \ cdot c, \, b \ cdot d)}$

${\ displaystyle (a, b) \ cdot (c, d): = (a \ cdot c, \, b \ cdot d)}$

Dette er de velkjente brøkreglene . Tallene kan således forstås som brøker.

Et mål med definisjonen av rasjonelle tall er at for eksempel brøkene og betegner det samme "tallet". Så man ser på brøker som tilsvarer hverandre (med samme verdi). Dette uttrykkes av en ekvivalensrelasjon , som er definert som følger: ${\ displaystyle 2/3}$${\ displaystyle 4/6}$

${\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ ;: \! \ iff a \ cdot d = b \ cdot c \;}$.

Det er viktig at denne relasjonen faktisk er en ekvivalensrelasjon, det vil si at den totale mengden er delt inn i delmengder (her kalt ekvivalensklasser) av gjensidig likeverdige elementer; dette kan bevises.

For ekvivalensklassene definerer man igjen beregningsregler som er basert på brøkberegningen og sørger for at det som forstås av et rasjonelt tall blir abstrahert fra den konkrete brøkrepresentasjonen. Tillegget av ekvivalensklassene og er definert som følger: ${\ displaystyle q + r =: s}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$

Fra å velge et hvilket som helst element, så et ordnet par heltall (dvs. velge et enkelt medlem i stedet for to). Du velger også elementet . ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle (c, d)}$

${\ displaystyle (a, b)}$og hvis du legger sammen i henhold til brøkene, får du et par . Dette er et element i en ekvivalensklasse , som er resultatet av tillegget. ${\ displaystyle (c, d)}$${\ displaystyle (e, f)}$${\ displaystyle s}$

Det er viktig at uansett det spesifikke valget av og alltid et element av en og samme ekvivalensklasse kommer ut; denne egenskapen til tillegg, dens veldefinerte , må og kan bevises. ${\ displaystyle (a, b) \ in q}$${\ displaystyle (c, d) \ in r}$${\ displaystyle s \ ni (e, f)}$

Multiplikasjonen er definert på samme måte. ${\ displaystyle q \ cdot r = t}$

Ekvivalensklassene forstås som elementer i et nytt sett og kalles rasjonelle tall . Så et enkelt rasjonelt tall er et uendelig sett med ordnede par . Dette settet er ofte skrevet som en brøkdel som betegner ekvivalensklassen ${\ displaystyle q, r, s, t}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle q \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle (a, b)}$ ${\ displaystyle (a, b) =: {\ tfrac {a} {b}} =: a / b}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}: = {\ bigl \ {} (c, d) \; {\ big |} \; c \ in \ mathbb {Z} \; \ wedge \; d \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \} \; \ wedge \; (c, d) \ sim (a, b) {\ bigr \}}}$

av alle par ekvivalenter. Den horisontale eller (fra øverste høyre til nederste venstre) skillelinjen mellom de to heltallene kalles en brøklinje . Det første heltallet er telleren , det andre er nevneren for brøkdelen. Nevneren er alltid annerledes og kan velges på grunn av positiv. Den foretrukne representasjonen av det rasjonelle tallet er den (maksimalt) reduserte fraksjonen${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (a, b) \ sim (-a, -b)}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$

${\ displaystyle {\ frac {c} {d}} \ ;: = \; {\ frac {a \ div e} {b \ div e}}}$

Med

${\ displaystyle e: = \ operatorname {sgn} (b) \ cdot \ operatorname {abs} {\ bigl (} \ operatorname {ggT} (a, b) {\ bigr)}}$,

hvor står for den største fellesfaktoren for og . Dermed består ekvivalensklassen nøyaktig av parene av heltall ${\ displaystyle \ operatorname {ggT} (a, b)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$

${\ displaystyle {\ bigl \ {} (c \ cdot f, d \ cdot f) \; {\ big |} f \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \} {\ bigr \}}}$.

Hvis du identifiserer hele tallet med det rasjonelle tallet , har du en utvidelse av tallområdet til hele tallene , som også blir referert til som dannelsen av kvotientfeltet . Dersom og er to hele tall og , deres sum og produkt, og deretter beregningsregler for fraksjoner som er utformet på en slik måte at og hold. Videre er en brøk i kraft av denne identifikasjonen faktisk kvotienten til telleren og nevneren. I denne forstand er den brøkstrek også brukt som en svært vanlig divisjon symbol i stedet for . ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {1}} \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle s = n + m}$${\ displaystyle p = n \ cdot m}$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {1}} + {\ tfrac {m} {1}} = {\ tfrac {s} {1}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {1}} \ cdot {\ tfrac {m} {1}} = {\ tfrac {p} {1}}}$${\ displaystyle \ div}$

Bestillingsforhold

Man definerer

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}} \ qquad: \ Longleftrightarrow \ qquad a \ operatorname {sgn} (b) \ operatorname {abs} (d) <\ operatorname {abs} (b) c \ operatorname {sgn} (d)}$

med de kjente sammenligningssymbolene og funksjonene basert på arrangementet av heltallene og . Denne definisjonen er uavhengig av forkortelsen eller utvidelsen av brøkene, da disse alltid har samme effekt på begge sider av høyre symbol . Med det følger umiddelbart at in er kompatibel med in , slik at samme karakter kan brukes. ${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn}}$${\ displaystyle \ operatorname {abs}}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle b = \ operatorname {sgn} (b) = \ operatorname {abs} (b) = d = \ operatorname {sgn} (d) = \ operatorname {abs} (d) = 1}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Hvis to par er ekvivalente, er det ingen av dem

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}$     fortsatt     .${\ displaystyle {\ frac {c} {d}} <{\ frac {a} {b}}}$

Den trichotomy ordrestatuser:

Nøyaktig ett av følgende forhold gjelder:

• ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}$
• ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ sim {\ frac {c} {d}}}$
• ${\ displaystyle {\ frac {c} {d}} <{\ frac {a} {b}}}$.

Så de rasjonelle tallene er et totalt ordnet sett . ${\ displaystyle (\ mathbb {Q}, <)}$

→ Konstruksjonen av de reelle tallene ved bruk av Dedekind-kutt er basert på denne ordrelasjonen .

eiendommer

De rasjonelle tallene inneholder en delmengde som er isomorf til hele tallene (velg brøkrepresentasjonen ). Dette kommer ofte ganske enkelt til uttrykk på en slik måte at heltallene inngår i rasjonelle tall . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ tfrac {z} {1}}}$

Den legeme er den minste legemet som inneholder de naturlige tall . er nemlig kvotientfeltet til ringen av heltall , som er den minste ringen som inneholder. Dette betyr at den minste delen av hver øvre del av kroppen , inkludert feltet med reelle tall, er hovedfeltet . Og som et hovedfelt er stivt , det vil si at den eneste automorfismen er den trivielle (identiteten). ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Et reelt tall er rasjonelt hvis og bare hvis det er algebraisk av første grad . Dermed er de rasjonelle tallene en delmengde av de algebraiske tallene . ${\ displaystyle \ mathbb {A}}$

Mellom (i betydningen ordensforholdet definert ovenfor ) er to rasjonelle tall og det er alltid et annet rasjonelt tall, for eksempel det aritmetiske gjennomsnittet${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}}$

${\ displaystyle {\ frac {ad + bc} {2bd}}}$

av disse to tallene, og dermed et hvilket som helst tall.

De rasjonale tallene ligger nært til tallinja , som er: Hver reelt tall (klart: hvert punkt på tallinjen) kan tilnærmes så nøyaktig som ønsket av rasjonale tall.

Til tross for tettheten i kan det ikke være noen funksjon som er kontinuerlig bare på de rasjonelle tallene (og diskontinuerlige på alle irrasjonelle tall ) - det fungerer omvendt (for begge utsagnene, se artikkelen Thomas funksjon ). ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \! \ setminus \! \ mathbb {Q}}$

Settet med rasjonelle tall er lik settet med naturlige tall, så det er tellbart . Med andre ord: det er en bijektiv kartlegging mellom og som tildeler et naturlig tall til hvert rasjonelt tall og omvendt. Cantors første diagonale argument og Stern-Brocot-treet gir slike bijektive bilder. (Eksistensen av sanne delmengder av lik makt er synonymt med uendelig kraft.) ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$

→ Et null- sett fra Lebesgue er et tellbart sett . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Divisjonsalgoritmer

Et rasjonelt tall i form av den ordnede par- teller / nevner representerer en inndeling som ikke er utført. Det rasjonelle tallet er beskrevet nøyaktig og uten tap av nøyaktighet og i ren matematikk er man ofte fornøyd med det. Men selv å sammenligne to rasjonelle tall er mye lettere hvis inndelingen i det minste delvis utføres som en inndeling med resten , noe som kan føre til et blandet tall .

En inndeling anses å være fullført når det rasjonelle tallet er utviklet til et visst grunnlag i et stedsverdisystem . Et bredt utvalg av algoritmer er designet for dette, som grovt kan deles inn i tre grupper:

• Skriftlig inndeling som en algoritme for manuell beregning
• Algoritmer for bruk i datamaskiner

• Faste (og små) heltallalgoritmer
• Algoritmer for heltall av hvilken som helst lengde

Eksempler på sistnevnte er

• den SRT divisjon ,
• den Goldschmidt divisjon og
• den Newton-Raphson divisjon .

De to sistnevnte metodene danner først en slags gjensidig verdi av nevneren, som deretter multipliseres med telleren. Alle prosesser er også egnet for korte divisjoner og brukes også der. SRT-divisjonen ble for eksempel opprinnelig implementert feil i delingsenheten til Pentium- prosessoren fra Intel .

Desimal brøk utvidelse

Hvert rasjonelt tall kan tildeles en utvidelse av desimalbrøk . Rasjonelle tall har en periodisk desimalbrøkutvikling, irrasjonelle , derimot, en ikke-periodisk (som også gjelder de -adiske brøkene til andre (fra forskjellige) tallbaser ( grunntall) ). En endelig (dvs. avsluttende) desimalfraksjonsutvidelse er bare et spesielt tilfelle av periodisk desimalfraksjonsutvidelse, ved at desimaltallet 0 eller periodisk gjentar seg etter endelig sifferrekkefølgen . Perioden (den repeterende delen) er markert (i mange land, men ikke internasjonalt ensartet) med en overlinje . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 10}$${\ displaystyle g \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$${\ displaystyle g-1}$

Eksempler er:

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}}}$	${\ displaystyle = 0 {,} {\ overline {3}}}$	${\ displaystyle = 0 {,} 33333 \ dotso}$	${\ displaystyle = \ left [0 {,} {\ overline {01}} \ right] _ {2}}$
${\ displaystyle {\ tfrac {9} {7}}}$	${\ displaystyle = 1 {,} {\ overline {285714}}}$	${\ displaystyle = 1 {,} 285714 \ 285714 \ dotso}$	${\ displaystyle = \ left [1 {,} {\ overline {010}} \ right] _ {2}}$
${\ displaystyle {\ tfrac {1} {5}}}$	${\ displaystyle = 0 {,} 2 {\ overline {0}} = 0 {,} 1 {\ overline {9}}}$	${\ displaystyle = 0 {,} 20000 \ dotso = 0 {,} 19999 \ dotso}$	${\ displaystyle = \ left [0 {,} {\ overline {0011}} \ right] _ {2}}$
${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$	${\ displaystyle = 0 {,} 5 {\ overline {0}} = 0 {,} 4 {\ overline {9}}}$	${\ displaystyle = 0 {,} 50000 \ dotso = 0 {,} 49999 \ dotso}$	${\ displaystyle = \ left [0 {,} 1 {\ overline {0}} \ right] _ {2} = \ left [0 {,} 0 {\ overline {1}} \ right] _ {2}}$
${\ displaystyle 1 = {\ tfrac {1} {1}}}$	${\ displaystyle = 1 {,} {\ overline {0}} = 0 {,} {\ overline {9}}}$	${\ displaystyle = 1 {,} 00000 \ dotso = 0 {,} 99999 \ dotso}$	${\ displaystyle = \ left [1 {,} {\ overline {0}} \ right] _ {2} = \ left [0 {,} {\ overline {1}} \ right] _ {2}}$

Den tilsvarende utviklingen i det binære systemet (basen ) er angitt i parentes . ${\ displaystyle g = 2}$

Den endelige desimal hhv. Binære brøkutvidelser er nettopp de som har minst to vesentlig forskjellige utvidelser (se også § Representasjon av rasjonelle tall ). De er blant steinbruddene hvis forkortede nevner i en makt stiger basen slik at den viktigste skillelinjen som skal oppnås. For å skille det fra følgende tilfeller med (og ikke-avsluttende utvikling) tildeles periodelengden til en slik avslutningsutvikling . ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle g ^ {r}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n | d}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle 0}$

I følge Eulers teorem har vi en nevner og en base som er koprim til den${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {> 1}}$${\ displaystyle g \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle g ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

med Eulers phi-funksjon . Periodelengden på er rekkefølgen på resten av klassen i enhetsgruppen til resten av klassen ring modulo . I følge Lagranges teorem, er en faktor i gruppens orden og derfor ikke større enn dette. Den Carmichael funksjon er definert som den maksimale element orden i , og er derfor også en divisor , og det gjelder for alle${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle 1 / n}$ ${\ displaystyle l: = \ operatorname {ord} _ {n} (g)}$ ${\ displaystyle \ left [g \ right]}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$${\ displaystyle \ varphi (n)}$${\ displaystyle g, n}$

${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {n} (g) \; | \; \ lambda (n) \; | \; \ varphi (n)}$.

Antallet

${\ displaystyle x: = (g ^ {l} -1) / n}$

er hel, og positiv , og de tall som er utviklet fra den basis stadig gjentas i den -adic representasjon av , det vil si: ${\ displaystyle <g ^ {l}}$${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 1 / n}$

${\ displaystyle x \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left (g ^ {l} \ right) ^ {- i} = {\ frac {x} {g ^ {l} -1 }} = {\ frac {1} {n}}}$

Den ovennevnte eksempel 1/3 har i bunnen av periodelengden og den sekvens av sifre , så vel som ved bunnen , periodelengden og nummersekvensen . ${\ displaystyle g = 10}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {3} (10) = 1}$${\ displaystyle x = {\ overline {3}}}$${\ displaystyle g = 2}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {3} (2) = 2}$${\ displaystyle x = {\ overline {01}} \;}$

For en gitt nevner oppstår periodelengden hvis basen er en primitiv rotmodul . Primitive røtter eksisterer bare hvis den primære restklassegruppen er syklisk, dvs. hvis . Ellers og periodelengden er en reell skiller av . ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle l: = \ operatorname {ord} _ {n} (g) = \ lambda (n) = \ varphi (n)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$${\ displaystyle n \ in \ {2,4, p ^ {r}, 2p ^ {r} \; \; | \; \; 2 <p \ in \ mathbb {P}; \; r \ in \ mathbb {N} \}}$${\ displaystyle \ lambda (n)}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ varphi (n) \ quad}$

Tabellen nedenfor bruker eksemplet på basene og gir et inntrykk av nevnerne der periodelengden (med en passende teller) er maks (fet skrift). For eksempel har desimalbrøkene av de gjensidige verdiene til primtallene periodelengden . For sammensatte tall er maksimumet ; de har verdier for og i kursiv. I verste fall er periodelengden i , mens lengden på tallet i -adisk tallsystem (også gitt i tabellen for sammenligning) er i. Den gjensidige verdien 1/802787 av primtallet 802787 krever minst 802786 bits i det dobbelte systemet og minst 401393 sifre i desimalsystemet - for mange til å vises her. ${\ displaystyle g = 2,3,5}$${\ displaystyle 10}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 7,17,19,23,29}$${\ displaystyle \ lambda (n) = \ varphi (n) = n-1 = 6,16,18,22,28}$${\ displaystyle n = 12.15,21,33,35}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {n} (g) \ leq \ varphi (n) / 2}$${\ displaystyle \ varphi (n)}$${\ displaystyle \ lambda (n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n)}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {len} _ {g} (n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ log n)}$

${\ displaystyle \ textstyle n}$	3.	5	7.	9	11	12.	13	15.	17.	19.	21	23	25	27	29	31	33	35	37	802787
${\ displaystyle \ textstyle \ varphi (n)}$	2	4. plass	Sjette	Sjette	10	4. plass	12.	8. plass	16	18.	12.	22	20.	18.	28	30.	20.	24	36	802786
${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (n)}$	2	4. plass	Sjette	Sjette	10	2	12.	4. plass	16	18.	Sjette	22	20.	18.	28	30.	10	12.	36	802786
${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {ord} _ {n} (2)}$	2	4. plass	3.	Sjette	10	-	12.	4. plass	8. plass	18.	Sjette	11	20.	18.	28	5	10	12.	36	802786
${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {len} _ {2} (n)}$	2	3.	3.	4. plass	4. plass	-	4. plass	4. plass	5	5	5	5	5	5	5	5	Sjette	Sjette	Sjette	20.
${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {ord} _ {n} (3)}$	-	4. plass	Sjette	-	5	-	3.	-	16	18.	-	11	20.	-	28	30.	-	12.	18.	401393
${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {len} _ {3} (n)}$	-	2	2	-	3.	-	3.	-	3.	3.	-	3.	3.	-	4. plass	4. plass	-	4. plass	4. plass	13
${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {ord} _ {n} (5)}$	2	-	Sjette	Sjette	5	2	4. plass	-	16	9	Sjette	22	-	18.	14. plass	3.	10	-	36	802786
${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {len} _ {5} (n)}$	1	-	2	2	2	2	2	-	2	2	2	2	-	3.	3.	3.	3.	-	3.	9
${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {ord} _ {n} (10)}$	1	-	Sjette	1	2	-	Sjette	-	16	18.	Sjette	22	-	3.	28	15.	2	-	3.	401393
${\ displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {len} _ {10} (n)}$	1	-	1	1	2	-	2	-	2	2	2	2	-	2	2	2	2	-	2	Sjette

S. a. den algoritme for -adic utvidelse av et rasjonalt tall for en vilkårlig basis . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g \ in \ mathbb {N} _ {> 1} \;}$

Se også

• Irrasjonelt nummer
• Rasjonell funksjon
• Verdsettelsesteori : -evaluering , -tall${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$
• Ordenstall

weblenker

Wikibooks: Mathematics for School${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}}$  - Sets of Numbers

Wiktionary: rasjonelt nummer  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle referanser og kommentarer

1. ↑ Eric W. Weisstein: Rational Number ( no ) Hentet 11 august 2020.
2. ↑ Kenneth Rosen: Diskret matematikk og dens applikasjoner , 6. Utgave, McGraw-Hill, New York, NY, ISBN 978-0-07-288008-3 , s. 105, 158-160.
3. ↑ Inndelingen av teller og nevner med en felles faktor kalles trunkering .
4. ↑ Multiplikasjonen av teller og nevner med samme heltall annet enn 0 kalles utvidelse .