Utvidelse av betalingsområde

I matematikk er en utvidelse av et tall (s) rekkevidde konstruksjonen av et nytt sett med tall fra et gitt tall, hovedsakelig for å generalisere visse algebraiske operasjoner , men også for å generalisere topologiske operasjoner , som i tilfelle reelle tall . Vanligvis blir antall rekkeviddeutvidelser bare fullført, fordi de verken er spesielt interessante eller spesielt vanskelige, men krever mye repetisjon og detaljert arbeid.

oversikt

Den vanlige rekkefølgen for utvidelsen av tallområdet er at de naturlige tallene utvides til hele tallene , hele tallene til de rasjonelle tallene , de rasjonelle tallene til de reelle tallene og de reelle tallene til de komplekse tallene , se for eksempel ( Lit .: Landau, 1948). Imidlertid ville andre prosedyrer også være mulige, for eksempel, i stedet for hele tallene, kunne man først konstruere positive rasjonelle tall og positive reelle tall og først deretter innføre negative tall. I tillegg er det andre rekkeviddeutvidelser som kvaternioner , hyperreale tall og surrealistiske tall .

Fremgangsmåte for utvidelser av betalingsområder

Definisjon av det nye nummerområdet

Det første trinnet i å utvide et tallområde er å konstruere et nytt sett fra det eksisterende nummersettet. For det meste er disse ordnet par , så hele tallene er definert som par av naturlige tall, de rasjonelle tallene som par av hele tall og de komplekse tallene som par av reelle tall. Et unntak er de reelle tallene, som vanligvis defineres som Cauchy-sekvenser av rasjonelle tall eller som Dedekind-kutt . I et andre trinn introduseres en ekvivalensrelasjon på dette nye settet, og de nye tallene defineres hver som en ekvivalensklasse . Valget av ekvivalensrelasjonen avhenger i hovedsak av operasjonen som skal utvides, så to par er definert i konstruksjonen av heltallene og som ekvivalente hvis de representerer samme forskjell : ${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1})}$${\ displaystyle (m_ {2}, n_ {2})}$

${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) \ sim (m_ {2}, n_ {2}): \ iff m_ {1} + n_ {2} = m_ {2} + n_ {1}}$,

i konstruksjonen av rasjonelle tall, to par og er definert som ekvivalente hvis de representerer samme kvotient : ${\ displaystyle (p_ {1}, q_ {1})}$${\ displaystyle (p_ {2}, q_ {2})}$

${\ displaystyle (p_ {1}, q_ {1}) \ sim (p_ {2}, q_ {2}): \ iff p_ {1} q_ {2} = p_ {2} q_ {1}}$,

og i konstruksjonen av de komplekse tall, to par og er definert som tilsvarende hvis de samsvarer komponent messig ${\ displaystyle (u_ {1}, v_ {1})}$${\ displaystyle (u_ {2}, v_ {2})}$

${\ displaystyle (u_ {1}, v_ {1}) \ sim (u_ {2}, v_ {2}): \ iff u_ {1} = u_ {2} {\ mbox {and}} v_ {1} = v_ {2}}$.

Ved konstruksjon av reelle tall, to cauchyfølge og er definert som tilsvarende om deres forskjell er en null sekvens: ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ sim (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}: \ iff \ lim _ {n \ to \ infty} | x_ {n} -y_ {n} | = 0}$.

Etter å ha definert den respektive relasjonen, må det fremdeles vises at denne relasjonen faktisk er en ekvivalensrelasjon, at den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

Definisjon av operasjonene i det nye nummerområdet

Det neste trinnet i en utvidelse av antall områder er å overføre de algebraiske operasjonene som er definert i det første settet, til det nye nummersettet. Operasjonen er opprinnelig definert for individuelle representanter for ekvivalensklassen; resultatet er da også den tilsvarende ekvivalensklassen. For eksempel kalles tillegg av hele tall

${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) + (m_ {2}, n_ {2}): = (m_ {1} + m_ {2}, n_ {1} + n_ {2})}$

og tillegg av rasjonelle tall som

${\ displaystyle (p_ {1}, q_ {1}) + (p_ {2}, q_ {2}): = (p_ {1} q_ {2} + p_ {2} q_ {1}, q_ {1 } q_ {2})}$

Er definert.

I detalj betyr det at resultatet av å legge til ekvivalensklassen representert med pluss ekvivalensklassen representert av er ekvivalensklassen representert av , det vil si ${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1})}$${\ displaystyle (m_ {2}, n_ {2})}$${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) + (m_ {2}, n_ {2})}$

${\ displaystyle [(m_ {1}, n_ {1})] _ {\ sim} + [(m_ {2}, n_ {2})] _ {\ sim}: = [(m_ {1} + m_ {2}, n_ {1} + n_ {2})] _ {\ sim}}$

der firkantede parenteser betegner ekvivalensklassene.

For at denne definisjonen faktisk skal gi mening, må det vises at operasjonene definert på denne måten er uavhengige av den respektive representanten for ekvivalensklassen, det vil si for eksempel

fra og følger det .${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) \ sim (j_ {1}, k_ {1})}$${\ displaystyle (m_ {2}, n_ {2}) \ sim (j_ {2}, k_ {2})}$${\ displaystyle (m_ {1}, n_ {1}) + (m_ {2}, n_ {2}) \ sim (j_ {1}, k_ {1}) + (j_ {2}, k_ {2} )}$

Deretter de respektive beregningslovene for den respektive matematiske strukturen som B. assosieringsloven og kommutativ lov for de nylig definerte operasjonene vises. I et ytterligere trinn kan det nå vises at det nye nummerområdet har egenskaper som manglet i det gamle. For eksempel, i motsetning til naturlige tall, danner hele tall en additiv gruppe , i særdeleshet, har hver hele tall en invers element med hensyn til tillegg, som kan defineres som følger:

${\ displaystyle - [(m_ {1}, n_ {1})] _ {\ sim}: = [(n_ {1}, m_ {1})] _ {\ sim}}$.

Når tallområdet utvides til de reelle tallene, kan det for eksempel vises at i motsetning til de rasjonelle tallene, er hver Cauchy-sekvens konvergent, og at hvert begrenset sett har et minimum og et overlegenhet .

Legge inn det gamle i det nye nummerområdet

Det siste trinnet består nå i å vise at det gamle nummerområdet er isomorf til en delmengde av det nye nummerområdet. For dette formålet er en injeksjonsfunksjon definert fra det gamle til det nye nummerområdet. For eksempel, når de naturlige tallene er innebygd i heltallene, tildeles det naturlige tallet ekvivalensklassen til paret . Nå må vi vise at denne funksjonen faktisk er en isomorfisme, det vil si for eksempel ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (n, 0)}$

${\ displaystyle f (m + n) = f (m) + f (n)}$

gjelder, så

${\ displaystyle (m + n, 0) \ sim (m, 0) + (n, 0)}$.

Det skal bemerkes at det gamle nummerområdet ikke bare er en delmengde av utvidelsen, men bare isomorf til en delmengde av utvidelsen. For eksempel, strengt tatt, er de naturlige tallene ikke en delmengde av hele tallene, men er bare isomorfe til en delmengde av hele tallene. I de fleste tilfeller spiller imidlertid ikke dette skillet en rolle, slik at uttalelser av den typen at ett sett med tall er en delmengde av et annet sett med tall er tillatte forenklinger.

Generaliseringer

Den grunnleggende prosedyren for utvidelse av nummerområdet finnes også i mer generelle tilfeller, så utvidelsen av hele tallene til de rasjonelle tallene er en konstruksjon av et kvotientfelt ; utvidelsen av de rasjonelle tallene til de reelle tallene tilsvarer fullføringen av en beregning eller mer generelt et enhetlig rom .

litteratur

• Edmund Landau : Fundamentals of Analysis Chelsea Publ. New York 1948

weblenker

• Sett med tall
• Skript for strukturen til betalingsområdene (PDF, tysk ) (285 kB)

Se også

• Utvidet reelt tall