Stedsverdisystem

Et prioritetssystem , posisjoneringssystem eller polyadisk nummernummer er et tallsystem der ( additiv ) verdien til et symbol fra sin posisjon er avhengig av plasseringen . For eksempel, i det mye brukte desimalsystemet, har tallet "1" verdien 1 for eksempelverdien "127" · 100, pluss verdien 2 for tallet "2" · 10 samt for "7" 7 · 1 - symbolene "1", "2" og "7" har en verdi som avhenger av hvor de er i tallet. Forutsatt en endelig tilførsel av symboler (vanligvis kalt sifre eller tall , i eksemplet "0" ... "9"), avhenger antallet sifre som kreves logaritmisk av størrelsen på tallet som vises - i motsetning til tilleggssystemer der dette forholdet ( asymptotisk , dvs. for veldig store tall) er lineært .

Den størrelsen antall forsyning spiller en avgjørende rolle. I desimalsystemet er tallområdet "0" til "9", dette er forskjellige symboler. I de viktige heltalssystemene er verdien av det viste tallet lik summen av produktene til den respektive sifferverdien med dens stedverdi , dvs. et polynom inn med verdiene til sifrene som koeffisienter ; i eksempel 127: ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle b}$

Numerisk verdi = "1" · 10 ² + "2" · 10 ¹ + "7" · 10 ⁰ .

Derfor, som et base- eller basenummer for systemet. Representasjonen av tall med referanse til en base kalles ofte deres -adiske representasjon (ikke forveksles med -adiske tall ). Ethvert heltall er egnet som grunnlag for et stedverdisystem.${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle b \ geq 2}$

Eksempler på posisjonsnotering er det vanligste i hverdagens desimal ( dek adisches system med basen 10), som ofte brukes i databehandlingen Dual System ( dy adisches system med base 2), den oktale (base 8), den heksadesimale system (med base 16) og sexagesimal system (base 60). Et eksempel på et tallsystem som ikke er et stedverdisystem, er det med romertall . Det er et tilleggssystem.

En binær klokke kan bruke lysdioder til å vise binære verdier . På bildet over er hver kolonne med lysdioder en BCD-koding av den tradisjonelle seksagesimale tidsrepresentasjonen .

historie

Systemet kommer opprinnelig fra India. Med sine verk spredte Adam Ries skriftlig aritmetikk ved hjelp av stedsverdisystemet i tysktalende land.

Enkle konsepter

I et stedverdisystem er tall representert ved hjelp av sifre og muligens tegn eller skilletegn . Verdien på et tall kommer fra ordningen av sifrene fra deres numeriske verdier og stedverdier.

Utgangspunkt

Totalt antall sifre kalles grunnlaget for stedsverdisystemet. Et stedsverdisystem med basen kalles også -adisk tallsystem . De vanligste basene er:${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$

• ${\ displaystyle b = 2}$: det doble systemet som brukes i digital teknologi
• ${\ displaystyle b = 10}$: vårt kjente desimalsystem
• ${\ displaystyle b = 16}$: det heksadesimale systemet viktig i databehandling .

For ytterligere -adiske tallsystemer som brukes i praksis, se avsnittet Felles baser . ${\ displaystyle b}$

Beholdning av sifre

I et stedsverdisystem brukes et tallsystem med nøyaktig forskjellige tall. I de vanligste siffersystemene står et siffer av typen gitt nedenfor for et heltall . Når du teller opp (dette tilsvarer tillegg av en), fortsetter sekvensen til sifferet med neste høyere verdi; med de få tilgjengelige sifrene vil bare noen få teltrinn være mulige. Derfor, når det gjelder det mest betydningsfulle sifferet, blir en lagt til det laveste sifferet og en til det neste høyeste sifferet. I tilfelle overgang til ledig stilling er dette forhåndsutfylt med null; hvis antall sifre ikke er begrenset, kan tellingen fortsette på ubestemt tid. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ in \ {0,1, \ ldots, b-1 \}}$

I de vanlige tallsystemer, blir de følgende sifre anvendt og tilordnet et siffer (for bedre differensiering, blir siffersymboler i fet og deres tilhørende verdier er trykt normalt):

• I det dobbelte systemet brukes de to sifrene 0 og 1 , og verdiene til tallene 0 og 1 tildeles dem.
• I desimalsystemet brukes de ti sifrene 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 og 9 , og verdiene til tallene fra 0 til 9 tildeles dem i konvensjonell rekkefølge.
• I det heksadesimale systemet brukes de seksten sifrene 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , A , B , C , D , E og F og verdiene til desimaltallene fra 0 til 15 er tildelt dem.

Hvis basen er veldig stor, er det vanligvis en kombinasjon av noen få sifre i et annet tallsystem. I sexagesimal-systemet er det vanlig å bruke et desimaltall fra 0 til 59 som et "siffer" i stedet for 60 forskjellige tegn. IP-adresser i IPv4-format består av 4 "sifre" som kan ha verdier fra 0 til 255 og er atskilt med en periode, for eksempel 192.0.2.42. En annen måte å tildele siffer til sifferverdi ble valgt for Base64- kodingen .

Noen ganger brukes andre symboler i stedet for tall; For eksempel, i elektronikk blir de to tilstandene i et dobbelt system ofte ikke beskrevet med 0 og 1 , men i stedet brukes h og l (for "høye" og "lave" spenningsverdier) (sjelden o og l for "på" og "lav").

Sted og betydning

Verdien på et tall kommer fra ordningen av sifrene i en sifferrekke. Hvert sted et siffer opptar eller er ment å innta i denne ordningen er et sted . Hvert siffer er tildelt en verdi som tilsvarer en kraft av basen. Posisjonen med lavest verdi er helt til høyre. I desimalsystemet, for eksempel når du representerer naturlige tall:

• Verdien av det første sifferet fra høyre ("enhets siffer") er .${\ displaystyle 10 ^ {0} = 1}$
• Verdien av det andre sifferet fra høyre ("ti siffer") er .${\ displaystyle 10 ^ {1} = 10}$
• Posisjonen til det tredje sifferet fra høyre (“hundrevis”) er , og så videre.${\ displaystyle 10 ^ {2} = 100}$

Det viser seg å være fordelaktig her å nummerere sifrene ikke fra ett, men fra null. På denne måten har den th posisjonen bare verdien . Negative eksponenter er også tillatt når de representerer rasjonelle tall. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle b ^ {i}}$

Representasjoner av forskjellige typer tall

Representasjon av naturlige tall

Naturlige tall er representert i -adisk representasjon av en endelig sekvens av sifre i formen ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {n} \ ldots \ mathbf {a} _ {2} \ mathbf {a} _ {1} \ mathbf {a} _ {0}}$

vist. Denne sekvensen av sifre blir nå tallet${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} \ cdot b ^ {i} = a_ {0} \ cdot b ^ {0} + a_ {1} \ cdot b ^ { 1} + a_ {2} \ cdot b ^ {2} + \ dotsb + a_ {n} \ cdot b ^ {n}}$

tilordnet, hvor er sifferverdien tilordnet sifferet. ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}}$

Det kan vises at for hvert naturlige tall er det en sekvens av sifre hvis tildelte verdi er. Generelt er det til og med flere episoder. Det er tilstrekkelig å sette tallet 0  = 0 foran steder med høyere verdi så ofte du vil . Hvis sekvenser med ledende 0 er forbudt, kan det vises at denne tildelingen til og med er en-til-en , dvs. for hvert naturlige tall er det nøyaktig en sekvens hvis tildelte verdi er. Som et unntak fra dette forbudet tildeles ikke tallet 0 den tomme sekvensen (dvs. sekvensen uten et eneste begrep), men sekvensen med nøyaktig ett siffer, nemlig den som verdien 0 er tildelt (dvs. 0 ) rundt dette nummer for å gjøre typografisk gjenkjennelig. ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z}$

Som et eksempel på den numeriske representasjonen som er gitt, bør du vurdere rekkefølgen av sifrene 694 i desimalsystemet ( ). Det står for: ${\ displaystyle b = 10}$

${\ displaystyle 4 \ cdot 10 ^ {0} +9 \ cdot 10 ^ {1} +6 \ cdot 10 ^ {2} = 694.}$

Sekvensen av sifrene 2B6 i det heksadesimale systemet ( ) står for med = 6 = 6; = B = 11; = 2 = 2. ${\ displaystyle b = 16}$${\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} \ cdot b + a_ {2} \ cdot b ^ {2}}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$

Så sekvensen 2B6 har verdien av desimaltallet

${\ displaystyle 6 + 11 \ cdot 16 + 2 \ cdot 16 ^ {2} = 6 + 176 + 512 = 694.}$

Følgelig har sifferrekkefølgen 1010110110 i det doble systemet ( ) verdien av desimaltallet ${\ displaystyle b = 2}$

${\ displaystyle 0 \ cdot 2 ^ {0} +1 \ cdot 2 ^ {1} +1 \ cdot 2 ^ {2} +0 \ cdot 2 ^ {3} +1 \ cdot 2 ^ {4} +1 \ cdot 2 ^ {5} +0 \ cdot 2 ^ {6} +1 \ cdot 2 ^ {7} +0 \ cdot 2 ^ {8} +1 \ cdot 2 ^ {9} = 2 + 4 + 16 + 32 + 128 + 512 = 694.}$

Representasjon av hele tall

I et system som består av en positiv base og et rent ikke-negativt sett med sifre, kan ikke negative tall vises. Et minustegn (" - ") blir lagt til slike systemer , som kan plasseres foran tallkonstantene. Dette går hånd i hånd med et lite tap av unikhet, siden tallet 0 kan skrives som et signert null i form +0, −0 eller ± 0. Representasjoner av andre tall enn 0 som ikke er foran med et minustegn tolkes som positive tall. Noen ganger vil du imidlertid understreke denne positiviteten (f.eks. Hvis tallet skal identifiseres som et trinn ). I slike tilfeller plasseres et pluss-tegn (“ + ”) foran skjermen .

Representasjon av rasjonelle tall

Notasjonen utvides til basens negative eksponenter ved å legge til de tilsvarende stedene til høyre for en separator som er lagt til for dette formålet i en sømløs sekvens. I tysktalende land (med unntak av Sveits) er dette kommaet  " , ", i engelsktalende land er det poenget " . "Felles. Verdiene til sifrene etter skilletegnet multipliseres med, hvorved posisjonen etter kommaet indikerer. For eksempel er det rasjonelle tallet 1 + 3/8 = 1.375 i det 2-adiske stedverdisystemet representert av tallsekvensen 1.011 . Det skal være sikkert ${\ displaystyle b ^ {- i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle 1 \ cdot 2 ^ {0} +0 \ cdot 2 ^ {- 1} +1 \ cdot 2 ^ {- 2} +1 \ cdot 2 ^ {- 3} = 1 + 0/2 + 1 / 4 + 1/8 = 1 + 3/8.}$

Etter å ha lagt til skilletegn kan mange rasjonelle tall være representert -adiske , men på ingen måte alle, fordi det kan skje at det kreves en uendelig rekke med desimaler for representasjon, som da er periodisk . Vanligvis er denne perioden markert med en linje tegnet over de gjentatte sifrene, som markerer lengden på perioden og tillater (endelig) skrift uten prikker. ${\ displaystyle b}$

Mens tallet 1/5 = 0,2 i desimalsystemet har den endelige sifersekvensen 0,2 , er dens representasjon i det dobbelte systemet periodisk:

0,00110011 ... ₂ = 0, 0011 ₂ .

I kontrast er tallsekvensen 0,1 i 3-adic (ternært) system det rasjonelle tallet 1 · 3 ^-1  = 1/3 at i desimalsystemet til en uendelig periodisk tallsekvens 0,333 ... = , 0 3 _des tilsvarer.

Forutsatt at 0 er et siffer og at det er et siffer for hvert heltall hvis verdi er kongruent til det (som alltid er tilfelle med standardsifersystemer), er det generelt sant at en brøkdel har en endelig -adisk representasjon hvis, etter avkorting, alle hovedfaktorene til nevneren er også hovedfaktorer for (at og ). (For en endelig fremstilling i desimalsystemet, må den forkortede nevneren derfor være et produkt av tallene to og fem. Akkurat da er brøkdelen en desimalbrøk i smalere forstand eller blir en ved å utvide den.) ${\ displaystyle {\ text {mod}} b}$ ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b =: p_ {1} ^ {\ nu _ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {\ nu _ {k}}}$${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {k} \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ nu _ {1}, \ ldots, \ nu _ {k} \ in \ mathbb {N}}$

Den endelige representasjoner danner den ring

${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {S}: = \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid \ exist i \ in \ mathbb {N} _ {0}: xb ^ {i} \ in \ mathbb {Z} \} = \ mathbb {Z} b ^ {\ mathbb {Z}}}$,

hvor står for settet med hovedfaktorer for . Når det gjelder disse rasjonelle tallene, har nevneren bare hoveddelere i en fullstendig forkortet brøkrepresentasjon . For hver ikke-tomme ligger underringen til (som seg selv) tett både i og i , dvs. H. ethvert reelt tall kan tilnærmes med vilkårlig presisjon ved hjelp av tall fra .${\ displaystyle S: = \ {p_ {1}, \ ldots, p_ {k} \} \ subset \ mathbb {P}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p_ {i} \ in S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {S}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {S}}$

Hvis man bare betrakter representasjoner av endelig lengde, betegner sifersekvensene 1 , 1,0 , 1000 i desimalsystemet alle det samme rasjonelle tallet 1 (for ikke å nevne representasjonene 01 , 0001 med ledende nuller). Disse uklarhetene kan undertrykkes ved å forby ledende og etterfølgende nuller. Men inkluder de uendelige representasjonene fra begynnelsen til systemet, så kommer den ikke-avsluttende representasjonen 1.000 ... = 1, 0 og utover den veldig forskjellige representasjonen av 0.999 ... = 0, 9 the (alle med verdien 1) lagt til, se artikkel 0.999… .

Vanligvis er det ikke frykt for misforståelser, slik at begge representasjoner kan tillates. Det unike er imidlertid f.eks. B. kreves for Z-kurven , som kartlegges injeksivt og hvor to sekvenser av sifre trykkes vekselvis i en. Poengene med diskontinuiteten til funksjonen er forresten nøyaktig argumentene som har en endelig -adisk representasjon.${\ displaystyle Z \, \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {1}}$ ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle b}$

Den -adiske representasjonen av en forkortet brøkdel med og relativt prime til basen har 0 for periodelengden, så den er endelig. Ellers er et element av primærrestklassen slik at det er (med som Eulers φ-funksjon ). Den forkortede brøkdelens -adiske periodelengde er da den minste eksponenten som er en divisor . (Se også avsnittet Algoritme for rasjonelle tall og artikkelen Rasjonelt nummer # Desimalbrøkutvidelse .) ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle q =: z / (m \ cdot n)}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {Z}, m = p_ {1} ^ {\ mu _ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {\ mu _ {k}}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle [b] \ in \ mathbb {Z} _ {n} ^ {*}}$${\ displaystyle b ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 {\ text {mod}} n}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {n} (b): = e> 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b ^ {e} -1}$

Representasjon av reelle tall

I prinsippet er reelle tall representert på samme måte som rasjonelle tall er representert ved b -adisk ekspansjon. Når det gjelder rasjonelle tall, gir dette en avslutning eller en uendelig periodisk sekvens av sifre.

Den b- adiske utvidelsen av et irrasjonelt tall (som π eller ) gir derimot alltid en uendelig, ikke-periodisk sekvens av sifre. Ved å utvide brøkdelen er en vilkårlig presis tilnærming til det irrasjonelle tallet mulig. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Som med rasjonelle tall med en uendelig periodisk sekvens av sifre, er en endelig representasjon for irrasjonelle tall mulig ved å innføre nye symboler, slik det ble gjort her for eksemplene π og . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Ikke desto mindre kan ikke alle reelle tall representeres som en endelig streng, selv med et hvilket som helst antall ekstra tegn, men endelige tall. Dette er fordi settet med reelle tall er utallige , men settet med alle endelige representasjoner med et endelig sett med tegn er bare tellbar .

Hvis imidlertid "representasjonen" av et reelt tall forstås å være sekvensen av sifre som følge av b -adisk utvidelse, så kan hvert reelle tall representeres som en (muligens uendelig) b -adisk brøk, selv om ikke alle en slik brøkdel kan faktisk skrives ned.

Formler

Beregning av en sifferverdi

Det siste sifferet i -adisk representasjon av et naturlig tall er resten av når du deler med . Denne hvilen er også gjennom uttrykket ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle nb \ left \ lfloor {\ frac {n} {b}} \ right \ rfloor}$

gitt; den gaussiske braketten betegner . Mer generelt er tallet dannet av de siste sifrene i resten av når du deler med . ${\ displaystyle \ lfloor {\ cdot} \ rfloor}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b ^ {k}}$

Henvisningstallet ved th posisjon (fra høyre mot enhetene sifret starter med null og til venstre progressivt tellet) et positivt reelt tall er ${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle z_ {k} = \ left \ lfloor {\ frac {x} {b ^ {k}}} \ right \ rfloor -b \ left \ lfloor {\ frac {x} {b ^ {k + 1} }} \ høyre \ rfloor.}$

Dette er et element i standard nummersett . Hvis du legger til negative , som den tilsvarende (negative) desimalplassen resulterer i, så har du det ${\ displaystyle z_ {k} \ in \ {0,1, \ dotso, b-1 \}}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {k = -n} ^ {\ infty} z _ {- k} b ^ {- k}}$

med en tilstrekkelig stor ${\ displaystyle n: = \ lfloor \ log _ {b} (x) \ rfloor.}$

Rasjonelle tallalgoritme

For rasjonell (og grunnlag ) kan formelen ovenfor være innebygd i følgende algoritme: ${\ displaystyle 0 <x = p / q <1}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {N} _ {> 1}}$

function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static Ziffernvorrat = "0123..."; // bis zum Zeichen mit dem Wert b–1
begin
  s = "";  // die zu bildende Zeichenkette
  pos = 0; // hier sind alle Stellen rechts vom Komma
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // die Nummer der Stelle mit dem Rest p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // Index z der Ziffer im Vorrat: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = bp − z*q;    // p ganzzahlig: 0 ≤ p < q
    if p = 0 then pl = 0; return (s); end if
    s = s.substring(Ziffernvorrat, z, 1);
          // Ziffer aus dem Ziffernvorrat dranhängen.
          // substring(s, 0, 1) ist die erste Ziffer nach dem Komma
    pos += 1;
  end while
  pl = pos - occurs[p]; // die Periodenlänge (0 < pl < q)
  // Markiere die Ziffern der Periode mit einem Überstrich:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

Den første linjen uthevet i gult tilsvarer den numeriske beregningen fra forrige avsnitt.

Følgende linje beregner den nye resten av delingen modulo nevneren . Den Gaussiske braketten forårsaker ${\ displaystyle p '}$${\ displaystyle q}$floor

${\ displaystyle bp / q-1 \; \; <\; \; z = \ lfloor bp / q \ rfloor \; \; \ leq \; \; bp / q.}$

Fra dette følger det og blir tatt sammen Siden alle rester dermed er heltall ikke-negative og mindre enn , dvs. det er bare mange forskjellige , må de gjentas i -løkken . Returnering av en rest bestemmes av eksistensen av det tilknyttede datafeltet . ${\ displaystyle bp-q <zq \; \ innebærer \; p ': = bp-zq <q}$${\ displaystyle zq \ leq bp \; \ impliserer \; 0 \ leq bp-zq =: p ',}$${\ displaystyle 0 \ leq p '<q.}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$while${\ displaystyle p}$ occurs[p]

Perioden for sifrene har samme lengde som resten av perioden. (For mer informasjon om periodelengden, se ovenfor .)

Beregning av antall sifre

Antall sifre i -adisk representasjon av et naturlig tall er ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$

${\ displaystyle a = {\ begin {cases} 1, & {\ text {if}} n = 0, \\\ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1, & {\ text {if} } n \ geq 1. \ end {cases}}}$

Legg til et siffer

• Hvis du legger til et siffer i -adisk representasjon av et tall helt til høyre , får du -adisk representasjon av tallet .${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n \ cdot b + z}$
• Hvis du derimot setter tallet foran til venstre , får du -adisk representasjon av tallet , hvor antall sifre er fra som nevnt ovenfor .${\ displaystyle z}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle z \ cdot b ^ {a} + n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$

Felles baser

• Det mest kjente og mest utbredte stedverdisystemet er desimalsystemet (ti system) med en base på 10 og sifrene 0 til 9 . Desimalsystemet kommer opprinnelig fra India. Den persiske matematikeren Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi brukte den i sin regnebok, som han skrev i det 8. århundre. Systemet ble introdusert i Europa allerede på 900-tallet, den gang uten null . Imidlertid fikk den ikke aksept før på 1100-tallet med oversettelsen av den nevnte regneboka til latin. BCD-koden brukes til å lagre desimaltall i datamaskinen .
• I det 17. århundre introduserte matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz det doble systemet (binært tallsystem) med dyadikere, dvs. stedverdisystemet med basen 2 og sifrene 0 og 1 . Dette brukes hovedsakelig i informasjonsteknologi , da logikken bare er basert på biter som enten er sanne eller falske eller 1 eller 0.
• Siden binære representasjoner av store tall er forvirrende, brukes ofte heksadesimale eller heksadesimale system, som fungerer med basen 16 (og sifrene 0 , 1 , ..., 9 , A , B , ..., F ). Heksadesimal og binær representasjon kan enkelt konverteres til hverandre, siden ett siffer med et heksadesimalt tall tilsvarer nøyaktig 4 sifre (= 1 nippel ) i et binært tall.
• I datateknologi, i tillegg til det binære og heksadesimale systemet, brukes det oktale systemet for base 8 (sifre 0 til 7 , tre binære sifre = ett oktalt siffer). Denne bruken avtar imidlertid siden ordlengdene på åtte bits som er vanlig i dag ikke kan konverteres til et helt antall sifre i det oktale systemet.
• Base 64 brukes også med Base64 (med en uvanlig symbolrekkefølge); basen 62 ved base62 med sifrene 0 til 9 , A til Z og a til z ; og noen ganger basen 32 med sifrene 0 til 9 og a til v under navnet Radix32 .
• Fra ca. 1100 f.Kr. I den indokinesiske regionen ble kulerabeller brukt, som er basert på et unarisk system . Men se ovenfor for det unære systemet i blokker på fem, som imidlertid er et tilleggssystem.
• Det det vigesimale tallsystemet system bruker 20 som en base. Det ble sannsynligvis opprettet fordi tærne også ble brukt til å telle i tillegg til fingrene, og var blant annet. vanlig i nesten alle mesoamerikanske kulturer. Det mest avanserte systemet av denne typen ble brukt av mayaene i den klassiske perioden for astronomiske beregninger og for visning av kalenderdatoer. Det var et spørsmål om et stedsverdisystem "med et hopp", for for det andre vises bare sifrene fra 1 til 18 for å nå 360 som tredjeplassverdien (omtrentlig lengde på solåret). Mayaene visste null og brukte det også i kalenderne sine .
• De indianerne i Sør-Amerika brukes tallsystemer basert på 4, 8 eller 16, fordi de regnet med hender og føtter, men inkluderte ikke tommelen.
• Den duodecimal Systemet er basert på 12. Vi finner det i beregningen med dusin og Gros og i den angelsaksiske målesystem (1 skilling = 12 pence) (se også gamle mål og vekt ). Den timers telling også har sin opprinnelse i dette system. I mange polyteistiske religioner var det 12 hovedguder, f.eks. B. i det gamle Egypt delt inn i tre høyeste guder og 3 × 3 tildelte guder. (De tre ble ansett som det perfekte tallet; se også Treenighet ).
• De Babylonians anvendes et tallsystem med grunn 60 ( seksagesimal system , se også Tidligere mål og vekt ).
• Et mulig tallsystem som kan forventes basert på base fem for folk som bare bruker en hånd til telling, er ennå ikke oppdaget. På bantoespråk er imidlertid navnene på tallene 6, 7, 8 og 9 ofte fremmede ord eller kan forstås som 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4, som indikerer et tallsystem basert på base 5.

  For eksempel:
  Swahili: 1 = moja, 2 = mbili, 3 = tatu, 4 = nne, 5 = tano, 6 = sita, 7 = saba, 8 = nane, 9 = kenda (arabisk: 6 = sitta, 7 = saba 'a)
  Tshitschewa: 1 = modzi, 2 = wiri, 3 = tatu, 4 = nai, 5 = sanu, 6 = sanu ndi-modzi, 7 = sanu ndi-wiri, 8 = sanu ndi-tatu, 9 = sanu ndi -nai
  

Quinary-systemet er spesielt uttalt i den søramerikanske Betoya: 1 = tey, 2 = cayapa, 3 = tozumba, 4 = cajezea, 5 = teente, 10 = caya duck, 15 = tozumba duck, 20 = caesea duck.

• Den Senär systemet er egnet til å telle opp til trettifem med 2 x 5 fingre. Språklige spor av et slikt system er svært sjeldne (for eksempel bretonsk 18 = triouec'h , omtrent "3 6er")
• Den tidligere antagelsen om at maoriene brukte et base 11-system anses nå som utdatert. Noen løp bruker base 18-systemet.

Konverteringer

Noen ganger trenger du konverteringer mellom stedsverdisystemer. Hvis desimalsystemet ikke er involvert, kan det brukes som et mellomtrinn. Følgende beregninger kan også utføres ved hjelp av en lommeregner, der tallene vanligvis bare er input og output i desimalsystemet.

Spesielt når tall skal konverteres fra ett system til et annet, er det vanlig og hensiktsmessig å identifisere sekvensen av sifre med et underskrift av basen til nummersystemet som brukes. Et manglende suffiks og suffikset ₁₀ står for den konvensjonelle desimalrepresentasjonen, eksplisitt også _des eller _dec . Suffikset ₂ eller _b identifiserer tall som er representert i binær og ₁₆ eller _{h i} heksadesimal. Videre antas standardtaksten som settet med sifre . Av og til blir den markerte sifersekvensen satt i firkantede parenteser. ${\ displaystyle _ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ {0,1, \ ldots, b-1 \}}$

Det er to hovedvarianter

• den itererte euklidiske divisjonen startet ved sifrene med lav betydning, og
• evaluering av sifferpolynomet, for eksempel i en type Horners ordning . Det minste antall multiplikasjoner kreves når du starter med det viktigste tallet.

Valget er best basert på hvilken prosedyre som lettest kan utføres på den eksisterende kalkulatoren.

Eksempel 1: Konvertering av en representasjon på base 10 til en representasjon på base 12

Et tall har desimalrepresentasjonen 4711. Vi ser etter dets representasjon i det tolv systemet .

For å få denne representasjonen deler man den gitte representasjonen trinn for trinn med den nye basen 12. De resterende restene gir representasjonen for base 12. Den første resten tilsvarer den laveste sifferverdien til den nye representasjonen som er søkt (i vårt tilfelle posisjonen ) , tilsvarer den andre resten den nest laveste sifferverdien (dvs. posisjonen ) osv. Den tilsvarende beregningen er derfor: ${\ displaystyle 12 ^ {0}}$${\ displaystyle 12 ^ {1}}$

• 4711 delt på 12 resultater i 392 resten 7 (tilsvarer sifferet for posisjonen i resultatet)${\ displaystyle 12 ^ {0}}$
• 0392 delt på 12 resultater i 032 resten 8 (tilsvarer sifferet for posisjonen i resultatet)${\ displaystyle 12 ^ {1}}$
• 0032 delt på 12 resultater i 002 resten 8 (tilsvarer sifferet for posisjonen i resultatet)${\ displaystyle 12 ^ {2}}$
• 0002 delt på 12 resultater i 000 resten 2 (tilsvarer sifferet for posisjonen i resultatet)${\ displaystyle 12 ^ {3}}$

Som en duodecimal representasjon av det gitte tallet får vi 2887. Konverteringen til andre stedsverdisystemer gjøres analogt.

Eksempel 2: Konvertering av en representasjon på base 16 til en representasjon på base 10

Angående det heksadesimale systemet med sifrene 0, 1,…, 9, A (verdi 10), B (verdi 11), C (verdi 12), D (verdi 13), E (verdi 14) og F (verdi 15) et tall som representerer MONKEY. Vi ser etter representasjonen av dette tallet i desimalsystemet.

For å få denne representasjonen multipliserer man de numeriske verdiene til den gitte representasjonen med de respektive stedverdiene og legger sammen resultatene. Den tilhørende fakturaen er derfor:

• 10 (A) ganger resulterer i 40960${\ displaystyle 16 ^ {3}}$
• 15 (F) ganger er 3840${\ displaystyle 16 ^ {2}}$
• 15 (F) ganger er 240${\ displaystyle 16 ^ {1}}$
• 14 (E) ganger er 14${\ displaystyle 16 ^ {0}}$

Som en desimalrepresentasjon av det gitte tallet får vi dermed . Konverteringen til andre stedsverdisystemer skjer analogt. ${\ displaystyle 40960 + 3840 + 240 + 14 = 45054}$

Eksempel 3: desimaler

Når det gjelder desimalsystemet, er et tall representert med 0,1. Vi ser etter representasjonen av dette tallet i det dobbelte systemet.

For å gjøre dette multipliseres brøkdelen flere ganger med basen til målsystemet. Hvis en verdi større enn 1 forekommer, legges hele tallet til antall desimaler, ellers legges et 0 til desimalene. Hvis et helt tall oppstår som et multiplikasjonsresultat, blir mengden etter desimaltegnet helt bestemt, men en periode vil ofte også forekomme.

Den tilhørende fakturaen er derfor:

• 0,1 ganger 2 resulterer i 0,2, så første desimal er 0
• 0,2 ganger 2 gir 0,4, så andre desimal er 0
• 0,4 ganger 2 resulterer i 0,8, så tredje desimal er 0
• 0,8 ganger 2 resulterer i 1,6, så fjerde desimal er 1
• 0,6 ganger 2 resulterer i 1,2, så den femte desimalen er 1
• 0,2 ganger 2 (trenger ikke utføres lenger fordi det har skjedd en periode)

Resultatet oppnådd er altså 0,0001100110011 ...

Balanserte verdisystemer

De balanserte systemene av betydning er spesielle. De har alltid en merkelig base og bruker både naturlige og negative sifferverdier, nemlig de fra settet . Ofte er de negative sifrene angitt med en understreking. Så z. For eksempel, i det balanserte ternære systemet, representeres et tall med sifrene 1 , 0 og 1 , som verdiene −1, 0 og 1 er tilordnet. ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ {- {\ tfrac {b-1} {2}}, \ dotsc, -1,0,1, \ dotsc, {\ tfrac {b-1} {2}} \}}$

Et balansert rangeringssystem har følgende egenskaper:

• Negativet for et tall oppnås ved å bytte hvert siffer med dets omvendte motstykke.
• Det første sifferet som er forskjellig fra 0 viser tegnet . Systemet kan klare seg uten et eget tegn.
• Avrunding til neste hele tall gjøres ved å bare kutte av kommaet.

Representasjonen av hele tallene er tydelig.

Men det er rasjonelle tall som ikke kan vises tydelig. For dette, vær det største sifferet og det minste, da f.eks. ${\ displaystyle \ mathbf {t}: = {\ tfrac {b-1} {2}}}$${\ displaystyle {\ understreke {\! \! \ mathbf {t} \! \!}}: = - \ mathbf {t}}$

${\ displaystyle 0 {,} {\ overline {\ mathbf {t}}} \; = \; 1 {,} {\ overline {\ understreket {\! \! \ mathbf {t} \! \!}}} \; = \; {\ frac {1} {2}}.}$

Leksikografisk rekkefølge

Med et positivt grunnlag er den vanlige rekkefølge relasjonen til de reelle tallene nært knyttet til den leksikografiske rekkefølgen av de -adiske tegnstrengene som representerer disse tallene . Mer nøyaktig: ${\ displaystyle b \ i \ mathbb {N} \! \ setminus \! \! \ {\! 1 \! \}}$${\ displaystyle b}$

• Det er en ordre homomorfi (en ordre bevar mapping) , som tilordner de tilfeldig (også uendelig lange) tegnstrenger i en -adic måte inn i en ekte intervall.${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle b}$
• For ikke -adisk system, er injeksjonsmiddel .${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ omega}$
• Hvilke reelle tall har flere representasjoner (flere arketyper) avhenger av sifferverdiene til det tilknyttede siffersystemet . Settet deres er en delmengde av de rasjonelle tallene, så det har tellbar kraft. Den ligger nær bildeintervallet.${\ displaystyle \ Sigma}$

Generaliseringer

Tallsystemer med blandede baser

En åpenbar generalisering er å velge forskjellige baser for de forskjellige sifferposisjonene. Man snakker da om tallsystemer med blandede baser. Et par interessante eksempler er:

• alternerende a eller b , der a og b er to forskjellige naturlige tall> 1
• 2 eller 3, men i den rekkefølgen at den "relativt nærmeste" tilnærmingen gjøres med produktet av de første k basene${\ displaystyle e ^ {k}}$
• de naturlige tallene> 1 blir brukt i rekkefølge som grunnlag ( "faktoriell basis" )

• primtallene i rekkefølge eller de (deretter gjentatte) primtallene som oppstår med hver neste høyere primtallseffekt (se også representasjon av de per-endte tallene med flere baser )

I de to siste tilfellene må man i utgangspunktet oppgi et uendelig antall forskjellige sifersymboler.

Datoformat som et tallsystem med blandede baser

Representasjonen av dato og klokkeslett har også tradisjonelt flere baser og tallsystemer. I den nåværende sammenhengen er det eneste eksemplet følgende representasjon, som er vanlig i det angelsaksiske språkområdet

[1-12] [1-31] ​​[0-9] ^{[2,4, *]} [1-12] [am, pm] [0-59] [0-59] [0-9] ^*

der rekkefølgen av år, måned og dag på den ene siden og halvdag og time på den annen side blir reversert i motsetning til rekkefølgen av forrang. Baser 2, 10, 12, 28-31 og 60 brukes her. Det er spesielt bemerkelsesverdig at grunnlaget for dagstallet er basert på verdien av månedstallet.

Ikke-naturlige tall som grunnlag

Basen trenger ikke nødvendigvis å være et naturlig tall. Alle (til og med komplekse) tall med et beløp større enn 1 kan brukes som grunnlag for et verdisystem. ${\ displaystyle b}$

Negative baser

Posisjonsnotasjon med negative baser med samarbeid med samme tallbeholdning som deres positive ekvivalenter, og kalles ofte Radix referert. De blir ofte identifisert med prefikset nega- , for eksempel negadecimal e, negabinary e, negaternary e, etc. plassverdisystem . ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle b \ leq -2}$${\ displaystyle -b \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle r: = | b |}$

Disse verdisystemene klarer seg uten et ekstra tegn. På den annen side krever representasjonene ofte ett siffer mer enn i det tilsvarende systemet med en positiv base. Videre er de aritmetiske operasjonene, spesielt den aritmetiske sammenligningen og dannelsen av den absolutte verdien, noe mer komplekse.

Hvis for eksempel antall sifre er minimalt , kan alle hele tall vises tydelig. Som med de positive basene, er det rasjonelle tall som ikke kan vises tydelig. Vær til det ${\ displaystyle \ {0,1, \ ldots, -b \! - \! \! 1 \}}$

${\ displaystyle T: = 0 {,} {\ overline {01}} _ {b} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} b ^ {- 2i} = {\ frac {1} {b ^ {2} -1}}}$

og det største sifferet da er begge ${\ displaystyle \ mathbf {t}: = - b \! - \! \! 1}$

${\ displaystyle 0 {,} {\ overline {0 \ mathbf {t}}} _ {b} = \ mathbf {t} T = {\ frac {-b \! - \! \! 1} {b ^ { 2} -1}} = {\ frac {1} {- b + 1}}}$

i tillegg til

${\ displaystyle 1 {,} {\ overline {\ mathbf {t} 0}} _ {b} = 1 + \ mathbf {t} bT = {\ frac {(b ^ {2} -1) + (- b \! - \! \! 1) b} {b ^ {2} -1}} = {\ frac {1} {- b + 1}}.}$

Den engelskspråklige artikkelen gir noen aritmetiske operasjoner .

Irrasjonelle baser

Hvis man vil representere alle reelle tall, må minimumsstørrelsen på tallsystemet (absolutte søyler og gaussiske parenteser ) være med et ikke-heltall eller irrasjonelt grunnlag . Noen av uttalelsene her om den endelige representasjonen av rasjonelle tall gjelder ikke slike generaliserte stedsverdisystemer. ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ lceil | b | \ rceil}$

Hvis for eksempel det gyldne forhold brukes som grunnlag og som et sett med sifre, representerer en endelig sekvens av sifre alltid et heltall eller et irrasjonelt tall i formen med rasjonelle . Ikke desto mindre har ikke alle slike tall et endelig representasjon. ${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$${\ displaystyle \ left \ {0.1 \ right \}}$${\ displaystyle s + t \ cdot {\ sqrt {5}}}$${\ displaystyle s, t}$

En annen representasjon basert på det gyldne forholdet er Zeckendorf-representasjonen , der imidlertid ikke kreftene til , men Fibonacci-tallene brukes som stedverdier. ${\ displaystyle \ Phi}$

Ikke-reelle baser

Det første tallsystemet som ikke representerer et komplekst tall som to separate sifersekvenser - en for den virkelige delen og en for den imaginære delen - men snarere et komplekst tall som en ensifret sekvens var det "quater-imaginære" systemet foreslått av D Knuth i 1955. Den har som base og 0 , 1 , 2 , 3 som sifre. Det er for eksempel og . Se også den engelske artikkelen en: Quater-imaginary base . ${\ displaystyle 2 \ mathrm {i}}$${\ displaystyle -1 = 103_ {2 \ mathrm {i}}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} = 10 {,} 2_ {2 \ mathrm {i}}}$

Et annet system ble foreslått av S. Khmelnik i 1964 og arbeidet for digitale maskiner. Den har som base og 0 , 1 som sifre. For eksempel er og . Se også den engelske artikkelen en: Complex base systems . ${\ displaystyle \ mathrm {i} -1}$${\ displaystyle -1 = 11101 _ {\ mathrm {i} -1}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} = 11 _ {\ mathrm {i} -1}}$

p- store tall

Stedsverdisystemene som presenteres her er basert på konvergens i forhold til beregningen av den vanlige arkimediske absoluttverdien. Den uendelige serien - som her alltid konvergerer "til høyre" med basens små krefter (eksponenter ) - er da reelle (eller komplekse) tall. Men det er også beregninger for de rasjonelle tallene som er basert på ikke-arkimediske mengdefunksjoner og tillater en veldig lik notasjon med en base og et sett med sifre. Den uendelige serien - som også alltid konvergerer der, nemlig til "venstre" ved konvensjon for stormaktene (eksponenter ) - er p- store tall . ${\ displaystyle \ searrow - \! \ infty}$${\ displaystyle \ nearrow + \! \ infty}$

Selv om endelige -adiske uttrykk samsvarer med den samme tallsekvensen i (da også endelig) -adisk representasjon, er det alvorlige forskjeller til (Archimedean) systemene som presenteres her. De viktigste er: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p =: b}$

1. De -adiske representasjonene er alltid (reversible) unike.${\ displaystyle p}$
2. Et skilt er ikke nødvendig. Representasjonen av som en uendelig sum er .${\ displaystyle -1}$${\ textstyle -1 = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (p-1) \ cdot p ^ {i}}$
3. En -adic ring ikke kan arrangeres .${\ displaystyle p}$
4. Er nedbrytbart, dvs. ikke et primtall, så inneholder -adic- ringen null divisorer (som alle har ikke- avsluttende representasjoner). Detaljer i Profinite # 10-adic Numbers .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$
5. De ikke- avsluttende seriene i begge systemene representerer tallobjekter med helt forskjellige aritmetiske egenskaper. De periodiske seriene blant dem representerer rasjonelle tall i begge systemene.
6. Alle algoritmer for de grunnleggende aritmetiske operasjonene starter til høyre med de små eksponentene (muligens negative, men ) og, som krefter og bærer, løper i samme retning til venstre til de store eksponentene. Hvis fakturaen blir kansellert, kan størrelsen på feilen angis umiddelbart.${\ displaystyle> - \! \ infty}$

Ytterligere tekster

Artikkelen Divisibility forklarer hvordan det i representasjonen av stedsverdisystemer i visse tilfeller kan gjenkjennes om ett tall er en skiller av et annet. Den Cantor normale form generaliserer representasjon av tallene på plass verdi system på ordenstall .

Berlin-klokken viser et applikasjonseksempel .

litteratur

• Donald Knuth : Kunsten med dataprogrammering . 3. Utgave. teip 2 . Addison-Wesley, Boston 1998, ISBN 0-201-89684-2 , Positional Number Systems, pp. 194-213 (engelsk). 
• Marko Petkovšek: Tvetydige tall er tette . I: American Mathematical Monthly . teip 97 , nr. 5. mai 1990, s. 408-411 , doi : 10.2307 / 2324393 . 

weblenker

Wiktionary: stedverdisystem  - forklaringer på betydninger, ordopprinnelse, synonymer, oversettelser

• Online omformer for forskjellige nummersystemer ( JavaScript )
• Konverter for baser 2, 8, 10 og 16
• "Grandpas" -system av betydning for den tyrolske barneskolelæreren Anton Haag
• Video: Posisjonssystemer (del 1) . Pedagogisk universitet Heidelberg (PHHD) 2012, gjort tilgjengelig av Technical Information Library (TIB), doi : 10.5446 / 19902 .
• Video: Posisjonssystemer (del 2) . Pedagogisk universitet i Heidelberg (PHHD) 2012, gjort tilgjengelig av Technical Information Library (TIB), doi : 10.5446 / 19903 .

Referanser og kommentarer

1. ↑ Saken betyr et sett av sifre som består av et enkelt element, slik at den eneste mulige særtrekk mellom to representasjoner er deres lengde. I beste fall fører dette til det unære systemet , et ikke så kraftig representasjonssystem, som ikke regnes som et stedverdisystem, siden verdien på et siffer alltid er den samme uavhengig av dets posisjon.${\ displaystyle b = 1}$
2. ↑ DIN 1333, kap. 8. plass
3. ↑ ^{a b} DIN 1333 , tall , 1992, kap. 10.1
4. ↑ ^{a b} Tallsystemer med negative tallverdier er også interessante, spesielt balanserte stedverdisystemer . Systemene av David W. Matula (sitert fra # Knuth1, s. 210f ) er ganske eksotiske .
   Imidlertid inneholder de alle null, siden ellers ikke kan vises selve null, og en ødelagt skjerm skiller seg fra det eksakte tallet med mer enn den minste stedverdien.
5. ↑ En notasjon av denne typen, med verdien synkende fra venstre til høyre , har blitt beholdt i databehandling i Big-Endian- format .
6. ↑ I tilfelle av en er ikke den diskrete verdi ring med blande sammen hvilke også er tett i hvis trykt vurdering, men for helt annen gjennomføring , nemlig p -adischen tall ledninger.${\ displaystyle S = \ {p \}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {\ {p \}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} = \ mathbb {Z} _ {S '}}$${\ displaystyle S ': = \ mathbb {P} \ setminus \ {p \}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$
7. ↑ Dette fenomenet oppstår med hver basen og hver "rimelig" tallsystem. For se seksjonen #Lexicographical order , for seksjonen #Negative baser , hver med eksempler for tall med flere representasjoner.${\ displaystyle b \ in \; \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$${\ displaystyle b> 0}$${\ displaystyle b <0}$
8. ↑ Det er veldig likt med Hilbert-kurven .
9. ↑ Målet ditt er 0 og dermed også tallene med flere representasjoner.
10. ^ ^{A b c} Levi Leonard Conant: The Number Concept . Etext, Project Gutenberg (engelsk)
11. ↑ Likevel injektiv, hvis begrenset til den Kleenian konvolutt (tegnstrenger med endelig lengde).${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$
12. ↑ Petkovšek s. 408
13. ↑ Som ovenfor med makten til to, kan en slik fremstilling forstås som et "spesielt tilfelle" av en ab- adic.
14. ↑ Hvis hver posisjon er tildelt sitt eget nummer (eller flere), blir resultatet et tilleggssystem .
15. ↑ Basert på sykluser i den virkelige verden brukes bare dag, måned og år ( uforlikeligheten kompenseres med betydelig organisatorisk innsats (f.eks. Ved å innføre et skuddår ). Alle andre idiosynkratiske fremstillinger er menneskelige gjenstander med en ekstraordinær varighet.
16. ^ Donald Knuth : Et imaginært tallsystem . I: Kommunikasjon av ACM . 3, nr. 4, april 1960.
17. ↑ SI Khmelnik: Spesialisert digital datamaskin for operasjoner med komplekse tall . I: Spørsmål om radioelektronikk (på russisk) . XII, nr. 2, 1964.

Denne versjonen ble lagt til listen over artikler som er verdt å lese 23. januar 2006 .