Heltall

Den bokstaven Z med en dobbel linje
står for settet med hele tall
Hele tallene (ℤ) er en del av rasjonelle tall (ℚ), som igjen er en del av de reelle tallene (ℝ). De inneholder selv de naturlige tallene (ℕ).

De tall (også heltall , Latin numeri integri ) er en forlengelse av de naturlige tall .

Hele tallene inkluderer alle tall

..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

og inneholder dermed alle naturlige tall så vel som deres additive inverser . Den sett av hele tall er vanligvis betegnes av brev med dobbeltlinje ( “Z” står for det tyske ordet “tall”). Det alternative symbolet er nå mindre vanlig; en ulempe med dette dristige ansiktssymbolet er at det er vanskelig å vise for hånd. Den Unicode av tegnet er U + 2124 og har formen ℤ.

Ovenstående liste over hele tallene viser også deres naturlige rekkefølge i stigende rekkefølge. Den tallteori er den grenen av matematikken som omhandler egenskapene til heltall.

Representasjonen av hele tall i datamaskinen gjøres vanligvis av datatypen heltall .

Heltallene blir ofte introdusert i femte til syvende klasse i matematikkklassen.

eiendommer

ringe

Hele tallene danner en ring med hensyn til addisjon og multiplikasjon , dvs. det vil si at de kan legges til, trekkes fra og multipliseres uten begrensning . Beregningsregler som kommutativ lov og assosierende lov for addisjon og multiplikasjon gjelder, og fordelingslovene gjelder også .

På grunn av eksistensen av subtraksjon kan lineære ligninger være av formen

med naturlige tall og alltid løses: . Hvis man begrenser seg til settet med naturlige tall, er ikke alle slike ligninger løselige.

Abstrakt betyr dette at hele tallene danner en kommutativ enhetsring . Det nøytrale tilleggselementet er 0, det additive omvendte elementet for er , det nøytrale multiplikasjonselementet er 1.

ordning

Settet med heltall er fullstendig orden

 .

Med andre ord kan du sammenligne to hele tall. Man snakker om

positivt ,     ikke-negativ ,
negativ og ikke-positiv

hele tall. Selve tallet 0 er verken positivt eller negativt. Denne ordren er kompatibel med de aritmetiske operasjonene, dvs. H .:

Er og er så .
Er og er så .

Ved hjelp av ordningen fungerer skiltfunksjonen

og mengdefunksjonen

definere. De henger slik

sammen.

Mektighet

I likhet med settet med naturlige tall er også settet med hele tall tellbare .

Hele tallene danner ikke et felt , fordi z. B. ligningen ikke kan løses i. Den minste kroppen som inneholder er de rasjonelle tallene .

Euklidisk ring

En viktig egenskap for heltall er eksistensen av divisjon med en rest . På grunn av denne egenskapen er det alltid en største felles faktor for to hele tall , som kan bestemmes ved hjelp av den euklidiske algoritmen . I matematikk kalles det den euklidiske ringen . Den teorem av den unike Primtallfaktorisering i .

Konstruksjon fra de naturlige tallene

Dersom settet av naturlige tall er gitt, da de hele tall kan konstrueres som et tallområde forlengelse:

Følgende ekvivalensforhold er definert på settet med alle par av naturlige tall :

hvis

Tillegg og multiplikasjon på er definert av:

er nå settet med alle ekvivalensklasser .

Tillegg og multiplikasjon av par induserer nå veldefinerte lenker til , som skal danne en ring.

Den vanlige rekkefølgen på heltall er definert som

hvis .

Hver ekvivalensklasse har i tilfelle en unik representant for skjemaet hvor , og i tilfelle en unik representant for skjemaet hvor .

De naturlige tallene kan legges inn i ringen av hele tall ved å kartlegge det naturlige tallet til ekvivalensklassen representert av. Vanligvis blir de naturlige tallene identifisert med bildene, og ekvivalensklassen representert med er betegnet med.

Hvis et naturlig tall er forskjellig fra , blir ekvivalensklassen representert med betegnet som et positivt heltall, og ekvivalensklassen representert med er betegnet som et negativt heltall.

Denne konstruksjonen av heltallene fra de naturlige tallene fungerer også hvis i stedet for settet , dvs. uten , blir tatt som startsett. Da er det naturlige tallet i ekvivalensklassen av og det for .

relaterte temaer

  • En konstruksjon som ligner konstruksjonen av hele tall fra naturlige tall er generelt mulig for kommutative semigrupper. I denne forstand, det er Grothendieck konsernet fra .
  • De gaussiske tallene og Eisenstein-tallene er to forskjellige utvidelser av heltall til sett med komplekse tall.
  • Den endelige fullføringen av gruppen av hele tall dannes som den (projiserende eller) omvendte grensen for alle endelige faktorgrupper av og representerer totaliteten av de endelige heltallene . Det er kjent under symbolet .

weblenker

Wiktionary: heltal  - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

  1. Jeff Miller: Tidligste bruk av symboler for tallteori. 29. august 2010. Hentet 20. september 2010 .