geometri

René Descartes , La Géometrie (første utgave 1637)

Den geometri ( gamle greske γεωμετρία Geometria ionisk γεωμετρίη geometri , massen av jord 'Erdmessung', land Measurement ') er en gren av matematikk .

På den ene siden forstås geometri som to- og tredimensjonal euklidisk geometri , elementær geometri , som også undervises i matematikkundervisning - tidligere under begrepet romlig teori - og som omhandler punkter , rette linjer , plan , avstander , vinkler osv., så vel som de begrepene og metodene som ble utviklet i løpet av en systematisk og matematisk behandling av dette emnet.

På den annen side omfatter begrepet geometri en rekke store underområder av matematikk hvis forhold til elementær geometri er vanskelig å gjenkjenne for lekfolk . Dette gjelder spesielt det moderne begrepet geometri, som generelt betegner studiet av uforanderlige mengder.

Historie om den tyskspråklige geometralitteraturen

Den eldste bevarte geometri-avhandlingen på tysk kommer fra begynnelsen av 1400-tallet. Det er den såkalte Geometria Culmensis , som ble skrevet på vegne av stormesteren for den tyske ordenen Konrad von Jungingen i Culm- området og inneholder den latinske teksten, som i hovedsak er basert på Practica geometriae av Dominicus de Calvasio, i tillegg. som sin tyske oversettelse. Albrecht Dürer's Underweysung of measure with the zirckel and richtscheyt in planing lines and whole corporen from 1525 anses som den første trykte og uavhengige geometri-boken på tysk .

Fagområder

Geometrier

Bruken av flertall indikerer at begrepet geometri brukes i en veldig spesifikk forstand, nemlig geometri som en matematisk struktur hvis elementer tradisjonelt kalles punkter, rette linjer, plan ... og hvis forhold er regulert av aksiomer . Dette synspunktet går tilbake til Euklides , som prøvde å redusere setningene til det euklidiske plangeometrien til noen få postulater (dvs. aksiomer). Følgende liste er ment å gi en oversikt over de forskjellige geometrityper som passer inn i denne ordningen:

  • Projektiv geometri og affin geometri : Slike geometrier består for det meste av punkter og rette linjer, og aksiomene gjelder rette linjer som forbinder punkter og skjæringspunktene for rette linjer. Affine og projiserende geometrier kommer vanligvis i par: Tilsetting av avstandselementer gjør en affin geometri til en projiserende, og fjerning av en rett linje eller et plan med sine punkter gjør en to- eller tredimensjonal projektiv geometri til en affin . I viktige tilfeller kan punktene ordnes på en rett linje i affin geometri på en slik måte at halvlinjer og linjer kan defineres. I disse tilfellene kalles affin geometri og dens projiserende lukking 'arrangert'.
  • Euklidisk geometri : Dette betyr vanligvis geometrien avledet fra aksiomene og postulatene til Euklid. Fordi strukturen til teorien som ble overlevert siden Euklid fortsatt inneholdt hull, satte David Hilbert opp et aksiomsystem i sin Fundamentals of Geometry (1899 og mange andre utgaver) som han tydeligvis kunne bygge opp euklidisk geometri ned til isomorfisme. Dette kan da tydelig beskrives som det tredimensjonale reelle vektorområdet der punktene er representert av vektorene og de rette linjene av de sekundære klassene i de endimensjonale delområdene. Tøyning, stående oppreist, vinkler osv. Blir forklart som i den analytiske geometrien som er vanlig siden Descartes .
  • Absolutt geometri : er den vanlige understrukturen til euklidiske og ikke-euklidiske geometrier, dvs. H. settet med alle proposisjoner som kan bevises uten det parallelle postulatet.

I hver geometri er man interessert i de transformasjonene som ikke ødelegger bestemte egenskaper (dvs. deres automorfismer): For eksempel endrer verken et parallelt skifte eller en rotasjon eller refleksjon i en todimensjonal euklidisk geometri avstandene mellom punkter. Omvendt er enhver transformasjon som ikke endrer avstanden mellom punkter, en sammensetning av parallelle forskyvninger, rotasjoner og refleksjoner. Det sies at disse kartleggingen danner transformasjonsgruppen som tilhører et plan euklidisk geometri, og at avstanden mellom to punkter representerer en euklidisk invariant. I sitt Erlangen-program definerte Felix Klein geometri generelt som teorien om transformasjonsgrupper og deres invarianter (jf. Kartleggingsgeometri ); det er imidlertid på ingen måte den eneste mulige definisjonen. Geometrier og fremtredende invarianter er listet opp nedenfor:

  • Projektiv geometri : Invarianter er kollineariteten til poeng og det dobbelte forholdet (forholdet mellom delvise forhold ) på fire punkter i en rett linje (i det komplekse tallplanet på fire punkter; hvis disse ligger i en sirkel, er det reelt)
  • Affine geometri : Parallelliteten til rette linjer, delingsforholdet mellom tre punkter i en rett linje, arealforhold.
  • Likhetsgeometri , i tillegg til affin geometri, er ruteforhold og vinkler uforanderlige.
  • Ikke-euklidisk geometri : Kollineariteten til punkter, avstandene mellom punkter og vinklene er uforanderlige. Imidlertid passer de to ikke-euklidiske geometriene ikke inn i hierarkiet ovenfor.

Områder med matematikk som inngår i geometri

Følgende liste omfatter svært store og vidtrekkende områder innen matematisk forskning:

Geometri i skoler og klasser

Vanligvis brukes apparater som kompasser , linjaler og kvadrat , men også datamaskiner (se også: dynamisk geometri ) i geometriundervisning . Begynnelsen til geometriundervisning omhandler geometriske transformasjoner eller måling av geometriske størrelser som lengde , vinkel , areal , volum , forhold osv. Mer komplekse objekter som spesielle kurver eller koniske snitt forekommer også. Beskrivende geometri er den grafiske representasjonen av tredimensjonal euklidisk geometri i (todimensjonalt) plan.

setninger

Uttalelsene er formulert i setninger .

Grunnleggende setninger:

Betegnelser

Asteroiden (376) fikk navnet Geometria etter geometrien .

Se også

litteratur

weblenker

Commons : Geometry  - samling av bilder, videoer og lydfiler
Wiktionary: Geometry  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser
Wikiquote: Geometri  - Sitater

Individuelle bevis

  1. ^ Hubert LL Busard : Practica Geometriae av Dominicus de Clavasio. I: Archive History Exact Sciences. Volum 2, 1965, s. 520-575.
  2. Geometri Culmensis. I: Burghart Wachinger et al. (Red.): Den tyske litteraturen fra middelalderen. Forfatterens leksikon . 2., fullstendig revidert utgave, ISBN 3-11-022248-5 , bind 2: Comitis, Gerhard - Gerstenberg, Wigand. Berlin / New York 1980, kol. 1194 f.
  3. ^ Underveysung med sirkelen og Richtscheydt . Wikikilde