geometri
Den geometri ( gamle greske γεωμετρία Geometria ionisk γεωμετρίη geometri , massen av jord 'Erdmessung', land Measurement ') er en gren av matematikk .
På den ene siden forstås geometri som to- og tredimensjonal euklidisk geometri , elementær geometri , som også undervises i matematikkundervisning - tidligere under begrepet romlig teori - og som omhandler punkter , rette linjer , plan , avstander , vinkler osv., så vel som de begrepene og metodene som ble utviklet i løpet av en systematisk og matematisk behandling av dette emnet.
På den annen side omfatter begrepet geometri en rekke store underområder av matematikk hvis forhold til elementær geometri er vanskelig å gjenkjenne for lekfolk . Dette gjelder spesielt det moderne begrepet geometri, som generelt betegner studiet av uforanderlige mengder.
Historie om den tyskspråklige geometralitteraturen
Den eldste bevarte geometri-avhandlingen på tysk kommer fra begynnelsen av 1400-tallet. Det er den såkalte Geometria Culmensis , som ble skrevet på vegne av stormesteren for den tyske ordenen Konrad von Jungingen i Culm- området og inneholder den latinske teksten, som i hovedsak er basert på Practica geometriae av Dominicus de Calvasio, i tillegg. som sin tyske oversettelse. Albrecht Dürer's Underweysung of measure with the zirckel and richtscheyt in planing lines and whole corporen from 1525 anses som den første trykte og uavhengige geometri-boken på tysk .
Fagområder
Geometrier
Bruken av flertall indikerer at begrepet geometri brukes i en veldig spesifikk forstand, nemlig geometri som en matematisk struktur hvis elementer tradisjonelt kalles punkter, rette linjer, plan ... og hvis forhold er regulert av aksiomer . Dette synspunktet går tilbake til Euklides , som prøvde å redusere setningene til det euklidiske plangeometrien til noen få postulater (dvs. aksiomer). Følgende liste er ment å gi en oversikt over de forskjellige geometrityper som passer inn i denne ordningen:
- Projektiv geometri og affin geometri : Slike geometrier består for det meste av punkter og rette linjer, og aksiomene gjelder rette linjer som forbinder punkter og skjæringspunktene for rette linjer. Affine og projiserende geometrier kommer vanligvis i par: Tilsetting av avstandselementer gjør en affin geometri til en projiserende, og fjerning av en rett linje eller et plan med sine punkter gjør en to- eller tredimensjonal projektiv geometri til en affin . I viktige tilfeller kan punktene ordnes på en rett linje i affin geometri på en slik måte at halvlinjer og linjer kan defineres. I disse tilfellene kalles affin geometri og dens projiserende lukking 'arrangert'.
- Euklidisk geometri : Dette betyr vanligvis geometrien avledet fra aksiomene og postulatene til Euklid. Fordi strukturen til teorien som ble overlevert siden Euklid fortsatt inneholdt hull, satte David Hilbert opp et aksiomsystem i sin Fundamentals of Geometry (1899 og mange andre utgaver) som han tydeligvis kunne bygge opp euklidisk geometri ned til isomorfisme. Dette kan da tydelig beskrives som det tredimensjonale reelle vektorområdet der punktene er representert av vektorene og de rette linjene av de sekundære klassene i de endimensjonale delområdene. Tøyning, stående oppreist, vinkler osv. Blir forklart som i den analytiske geometrien som er vanlig siden Descartes .
- Ikke-euklidisk geometri : Geometrier hvis egenskaper på mange måter er analoge med euklidisk geometri, men der postulatet til paralleller (også kjent som aksiomet til paralleller) ikke gjelder. Det skilles mellom elliptiske og hyperbolske geometrier.
- Absolutt geometri : er den vanlige understrukturen til euklidiske og ikke-euklidiske geometrier, dvs. H. settet med alle proposisjoner som kan bevises uten det parallelle postulatet.
I hver geometri er man interessert i de transformasjonene som ikke ødelegger bestemte egenskaper (dvs. deres automorfismer): For eksempel endrer verken et parallelt skifte eller en rotasjon eller refleksjon i en todimensjonal euklidisk geometri avstandene mellom punkter. Omvendt er enhver transformasjon som ikke endrer avstanden mellom punkter, en sammensetning av parallelle forskyvninger, rotasjoner og refleksjoner. Det sies at disse kartleggingen danner transformasjonsgruppen som tilhører et plan euklidisk geometri, og at avstanden mellom to punkter representerer en euklidisk invariant. I sitt Erlangen-program definerte Felix Klein geometri generelt som teorien om transformasjonsgrupper og deres invarianter (jf. Kartleggingsgeometri ); det er imidlertid på ingen måte den eneste mulige definisjonen. Geometrier og fremtredende invarianter er listet opp nedenfor:
- Projektiv geometri : Invarianter er kollineariteten til poeng og det dobbelte forholdet (forholdet mellom delvise forhold ) på fire punkter i en rett linje (i det komplekse tallplanet på fire punkter; hvis disse ligger i en sirkel, er det reelt)
- Affine geometri : Parallelliteten til rette linjer, delingsforholdet mellom tre punkter i en rett linje, arealforhold.
- Likhetsgeometri , i tillegg til affin geometri, er ruteforhold og vinkler uforanderlige.
- Euklidisk geometri ; ytterligere invarianter er avstandene mellom punkter og vinkler.
- Ikke-euklidisk geometri : Kollineariteten til punkter, avstandene mellom punkter og vinklene er uforanderlige. Imidlertid passer de to ikke-euklidiske geometriene ikke inn i hierarkiet ovenfor.
Områder med matematikk som inngår i geometri
Følgende liste omfatter svært store og vidtrekkende områder innen matematisk forskning:
- Elementær geometri
- Den differensialgeometri er den gren av geometrien i hvilke spesielle metoder for analyse og topologi blir brukt. Den elementære differensialgeometri , den differensialtopologi , den Riemann geometri og teorien for Lie grupper er av differensialgeometri, blant annet subregioner.
- Algebraisk geometri . Det kan også sees på som et felt av algebra. Siden Bernhard Riemann har hun også brukt kunnskap fra funksjonsteori. Underområder av algebraisk geometri inkluderer for eksempel teorien om algebraiske grupper , teorien om abelske varianter eller også torisk og tropisk geometri .
- Konveks geometri , som egentlig ble grunnlagt av Hermann Minkowski.
- Syntetisk geometri fortsetter den klassiske tilnærmingen til "ren" geometri ved å bruke abstrakte geometriske objekter (punkter, rette linjer) og deres forhold (skjæringspunkt, parallellitet, ortogonalitet ...) i stedet for algebraiske objekter (koordinater, morfismer ...). Den forekomst struktur er en av de mest generelle tilnærminger her i dag. Eksempler på ikke-lineære forekomststrukturer er Benz-flyene .
- Computational Geometry ( beregningsgeometri ).
- Diskret geometri , som inneholder kombinatorisk geometri som et ytterligere, eldste underområde og tar for seg polyhedra, fliser , pakninger av plan og rom, matroider , i delområdet av endelig geometri med innfallskonstruksjoner , blokkplaner og lignende.
Geometri i skoler og klasser
Vanligvis brukes apparater som kompasser , linjaler og kvadrat , men også datamaskiner (se også: dynamisk geometri ) i geometriundervisning . Begynnelsen til geometriundervisning omhandler geometriske transformasjoner eller måling av geometriske størrelser som lengde , vinkel , areal , volum , forhold osv. Mer komplekse objekter som spesielle kurver eller koniske snitt forekommer også. Beskrivende geometri er den grafiske representasjonen av tredimensjonal euklidisk geometri i (todimensjonalt) plan.
setninger
Uttalelsene er formulert i setninger .
Grunnleggende setninger:
- Theorem of Pythagoras og avledet av det cosinus-setningen og den trigonometriske Pythagoras
Betegnelser
Asteroiden (376) fikk navnet Geometria etter geometrien .
Se også
litteratur
- HSM Coxeter : Introduksjon til geometri .
- HSM Coxeter, L. Greitzer: Geometry Revisited .
- Euklid : Elementene .
- Georg Glaeser : Geometri og dens applikasjoner innen kunst, natur og teknologi . 2. utgave. Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2007), ISBN 3-8274-1797-X
- David Hilbert : Fundamentals of Geometry
- Max Koecher , Aloys Krieg : nivågeometri . 3. Utgave. Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49327-3
- Hans Schupp: Elementarge Geometry , UTB Schoeningh, Paderborn (1977), ISBN 3-506-99189-2
- Georg Ulrich, Paul Hoffmann: Geometri for selvlæring . 5 bind. 26. utgave. C. Bange Verlag, Hollfeld (1977), ISBN 3-8044-0576-2 (bind 1)
- M. Wagner: Geometriens ABC . 2. utgave. CC Buchners Verlag, Bamberg (1920)
weblenker
- Litteratur om geometri i katalogen til det tyske nasjonalbiblioteket
- Geometrisk bevis for videregående trinn 1 statlig utdanningsserver Baden-Württemberg
- Intervju (67 MB; AVI ) om emnet geometri med Hans-Joachim Vollrath
- John B. Conway , Peter Doyle, Jane Gilman , Bill Thurston : Geometry and the Imagination
Individuelle bevis
- ^ Hubert LL Busard : Practica Geometriae av Dominicus de Clavasio. I: Archive History Exact Sciences. Volum 2, 1965, s. 520-575.
- ↑ Geometri Culmensis. I: Burghart Wachinger et al. (Red.): Den tyske litteraturen fra middelalderen. Forfatterens leksikon . 2., fullstendig revidert utgave, ISBN 3-11-022248-5 , bind 2: Comitis, Gerhard - Gerstenberg, Wigand. Berlin / New York 1980, kol. 1194 f.
- ^ Underveysung med sirkelen og Richtscheydt . Wikikilde