ligning
I matematikk, en likning er et utsagn om likestilling av to vilkår som er symbolisert ved hjelp av likhetstegnet ( "="). Formelt har en ligning formen
- ,
der begrepet kalles den venstre siden og begrepet kalles den høyre siden av ligningen. Ligninger er enten sanne eller tilfredse (for eksempel ) eller falske (for eksempel ). Hvis minst ett av vilkårene for variabler avhenger, er bare en form for uttrykk før; om ligningen er sann eller usann , avhenger av de spesifikke verdiene som brukes. Verdiene av de variable for hvilke ligning blir tilfredsstilt kalles løsninger av ligningen. Hvis to eller flere ligninger er gitt, snakker man om et ligningssystem , en løsning av det samme må tilfredsstille alle ligningene samtidig.
Typer ligninger
Likninger brukes i mange sammenhenger; følgelig er det forskjellige måter å dele ligningene på forskjellige aspekter. De respektive klassifiseringene er stort sett uavhengige av hverandre; en ligning kan falle i flere av disse gruppene. For eksempel er det fornuftig å snakke om et system med lineære partielle differensialligninger.
Klassifisering etter gyldighet
Identitetsligninger
Ligninger kan være generelt gyldige, dvs. de kan være sanne ved å sette inn alle variable verdier fra et gitt basissett eller i det minste fra et tidligere definert delsett derav. Den generelle gyldigheten kan enten bevises med andre aksiomer, eller den kan i seg selv antas som et aksiom.
Eksempler er:
- den pytagoreiske læresetning : er sant for rettvinklede trekanter , hvis den side motsatt den rette vinkelen ( hypotenusen ) og den katet betegner
- den assosiative loven : gjelder for alle naturlige tall og generelt for alle elementer i en gruppe (som et aksiom)
- den første binomialformelen : gjelder for alle reelle tall
- den Euler identitet : gjelder for alle reelle
I denne sammenhengen snakker man om en matematisk proposisjon eller lov. For å skille mellom ligninger som generelt ikke er gyldige, brukes kongruenstegnet ("≡") til identiteter i stedet for likhetstegnet.
Bestemme ligninger
Ofte er en oppgave å bestemme alle variabeltildelingene som ligningen blir sant for. Denne prosessen er kjent som å løse ligningen . For å skille mellom identitetsligninger , blir slike ligninger referert til som bestemmende ligninger . Settet av variable oppdrag som ligning er sann kalles oppløsning sett av ligningen. Hvis løsningssettet er det tomme settet , kalles ligningen uløselig eller utilfredsstillende.
Hvorvidt en ligning er løst eller ikke, kan avhenge av det grunnleggende settet som vurderes, for eksempel:
- ligningen er uløselig som en ligning over de naturlige eller rasjonelle tallene og har løsningen satt som en ligning over de reelle tallene
- ligningen er uløselig som en ligning over reelle tall og har løsningen satt som en ligning over de komplekse tallene
Når det gjelder å bestemme ligninger, vises det noen ganger variabler som ikke er søkt, men antas å være kjent. Slike variabler kalles parametere . For eksempel er formelen for å løse den kvadratiske ligningen
for ukjente ukjente og gitte parametere og
- .
Hvis du setter inn en av de to løsningene i ligningen, blir ligningen transformert til en identitet, dvs. blir en sann uttalelse for ethvert valg av og . For her er løsningene reelle, ellers komplekse.
Definisjonsligninger
Ligninger kan også brukes til å definere et nytt symbol. I dette tilfellet blir symbolet som skal defineres skrevet til venstre, og likhetstegnet blir ofte erstattet av definisjonstegnet (“: =”) eller skrevet over likhetstegnet “def”.
For eksempel, som er avledet av en funksjon i en posisjon av
Er definert. I motsetning til identiteter er ikke definisjoner utsagn; så de er verken sanne eller falske, bare mer eller mindre nyttige.
Divisjon til høyre
Homogene ligninger
En definerende formligning
kalles en homogen ligning . Hvis det er en funksjon , blir løsningen også kalt null for funksjonen. Homogene ligninger spiller en viktig rolle i løsningsstrukturen til lineære ligningssystemer og lineære differensiallikninger . Hvis høyre side av ligningen ikke er lik null, sies ligningen å være inhomogen.
Faste punktligninger
En definerende formligning
kalles fastpunktsligningen , og løsningen kalles ligningens faste punkt. Fastpunktssetninger sier mer presist om løsningene til slike ligninger .
Eigenverdige problemer
En definerende formligning
kalles egenverdiproblemet, der konstanten (egenverdien) og det ukjente (egenvektoren) søkes sammen. Eigenvalue-problemer har forskjellige anvendelsesområder i lineær algebra, for eksempel i analyse og spaltning av matriser , og i anvendelsesområder, for eksempel strukturell mekanikk og kvantemekanikk .
Klassifisering etter linearitet
Lineære ligninger
En ligning kalles lineær hvis den er i formen
kan bringes, hvor begrepet er uavhengig av og begrepet er lineært i , så
gjelder koeffisienter . Det er fornuftig å definere passende operasjoner, så det er nødvendig at og er fra et vektorrom, og løsningen blir søkt fra det samme eller et annet vektorrom .
Lineære ligninger er vanligvis mye lettere å løse enn ikke-lineære. Superposisjonsprinsippet gjelder lineære ligninger : Den generelle løsningen av en inhomogen ligning er summen av en bestemt løsning av den inhomogene ligningen og den generelle løsningen av den tilhørende homogene ligningen.
På grunn av lineariteten er det minst en løsning på en homogen ligning. Hvis en homogen ligning har en unik løsning, har en tilsvarende inhomogen ligning også høyst en løsning. En relatert, men mye mer inngående uttalelse i funksjonsanalyse er Fredholms alternativ .
Ikke-lineære ligninger
Ikke-lineære ligninger blir ofte differensiert etter type ikke-linearitet. Spesielt i skolematematikk blir følgende grunnleggende typer ikke-lineære ligninger behandlet.
Algebraiske ligninger
Hvis ligningsuttrykket er et polynom , snakker man om en algebraisk ligning. Hvis polynomet er minst grad to, kalles ligningen ikke-lineær. Eksempler er generelt gradslikninger av formen
eller tredjegradslikninger av formen
- .
Det er generelle løsningsformler for polynomligninger opp til grad fire .
Brøklige ligninger
Hvis en ligning inneholder et brøkuttrykk der det ukjente forekommer i det minste i nevneren , snakker man om en brøkligning, for eksempel
- .
Ved å multiplisere med hovednevneren, i eksemplet , kan brøkligninger reduseres til algebraiske ligninger. En slik multiplikasjon er vanligvis ikke en ekvivalenskonvertering, og det må gjøres en saksskille, i eksemplet er brøkligningen ikke inkludert i definisjonsområdet .
Rotligninger
Når det gjelder rotligninger, er det ukjente for eksempel minst en gang under en rot
Rotligninger er spesielle kraftligninger med en eksponent . Rotligninger kan løses ved at en rot isoleres og ligningen med roteksponenten (i eksemplet ) potenserer er. Denne prosessen gjentas til alle røttene er eliminert. Å øke til kraften til en jevnt nummerert eksponent representerer ikke en ekvivalenskonvertering, og det må derfor skilles mellom et tilsvarende tilfelle i disse tilfellene når løsningen bestemmes. I eksemplet fører kvadrering til den kvadratiske ligningen , hvis negative løsning er utenfor definisjonen til utgangsligningen.
Eksponensielle ligninger
I eksponensielle ligninger vises det ukjente minst en gang i eksponenten , for eksempel:
Eksponensielle ligninger kan løses ved å ta logaritmer . Omvendt kan logaritmiske ligninger - dvs. ligninger der det ukjente forekommer som et tall (argument for en logaritmisk funksjon) - løses ved eksponentiering .
Trigonometriske ligninger
Hvis de ukjente vises som et argument for minst en vinkelfunksjon , snakker man om en trigonometrisk ligning, for eksempel
Løsningene av trigonometriske ligninger blir vanligvis gjentatt periodisk , med mindre løsningssettet er begrenset til et bestemt intervall , for eksempel . Alternativt kan løsningene parametriseres av en heltallvariabel . For eksempel er løsningene til ovenstående ligning gitt som
- med .
Klassifisering i henhold til ukjente ukjente
Algebraiske ligninger
For å skille ligninger der et reelt tall eller en reell vektor søkes fra ligninger der det for eksempel søkes en funksjon, brukes begrepet algebraisk ligning noen ganger, men dette begrepet er ikke begrenset til polynomer . Denne måten å snakke på er imidlertid kontroversiell.
Diofantiske ligninger
Hvis man ser etter heltalløsninger av en skalarligning med heltallskoeffisienter, snakker man om en diofantisk ligning. Et eksempel på en kubisk diofantinligning er
- ,
av heltallene som tilfredsstiller ligningen blir søkt, her tallene .
Forskjell ligninger
Hvis det ukjente er en konsekvens , snakker man om en forskjellsligning. Et velkjent eksempel på en annenordens lineær forskjellsligning er
- ,
som løsning for startverdier og den Fibonacci sekvensen er.
Funksjonelle ligninger
Hvis det ukjente av ligningen er en funksjon som oppstår uten derivater, snakker man om en funksjonell ligning. Et eksempel på en funksjonell ligning er
- ,
hvis løsninger er nettopp de eksponensielle funksjonene .
Differensiallikninger
Hvis man søker en funksjon i ligningen som oppstår med derivater, snakker man om en differensialligning. Differensiallikninger er veldig vanlige når man modellerer vitenskapelige problemer. Det høyst forekommende derivatet kalles rekkefølgen på differensialligningen. Man skiller:
- vanlige differensiallikninger der det bare er derivater med hensyn til en enkelt variabel, for eksempel den lineære ordinære førsteordens differensialligning
- partielle differensiallikninger der partielle derivater forekommer i henhold til flere variabler, for eksempel den lineære transportligningen til første orden
- differensialalgebraiske ligninger der både algebraiske ligninger og differensiallikninger forekommer sammen, for eksempel Euler-Lagrange-ligningene for en matematisk pendel
- stokastiske differensiallikninger der både deterministiske og stokastiske derivative termer forekommer, for eksempel Black-Scholes-ligningen av finansmatematikk for modellering av verdipapirpriser
Integrerte ligninger
Hvis funksjonen du leter etter forekommer i en integral, snakker man om en integralligning. Et eksempel på en lineær integralligning av den første typen er
- .
Kjeder av ligninger
Hvis det er flere like tegn på en linje, snakker man om en ligningskjede . I en kjede av ligninger skal alle uttrykk atskilt med like tegn ha samme verdi. Hvert av disse uttrykkene må vurderes separat. For eksempel er ligningskjeden
falsk, fordi brutt ned i individuelle ligninger fører det til falske utsagn. På den annen side er det for eksempel sant
- .
Kjeder av ligninger kan tolkes meningsfullt , særlig på grunn av transitiviteten til likhetsforholdet. Kjeder av ligninger vises ofte sammen med ulikheter i estimater , for eksempel for
- .
Systemer av ligninger
Ofte vurderes flere ligninger som må oppfylles samtidig, og det blir søkt på flere ukjente samtidig.
Systemer med lineære ligninger
Et ligningssystem - det vil si et sett med ligninger - kalles et system med lineære ligninger hvis alle ligninger er lineære. For eksempel er
et system med lineære ligninger som består av to ligninger og tre ukjente og . Hvis både ligningene og de ukjente kombineres i tupler , kan et ligningssystem også forstås som en enkelt ligning for en ukjent vektor . I lineær algebra skrives for eksempel et ligningssystem som en vektorligning
med en matrise , det ukjente vektoren, og den høyre side , der er det matrise-vektoren produkt . I eksemplet ovenfor er
- , og .
Ikke-lineære ligningssystemer
Systemer med ligninger der ikke alle ligningene er lineære kalles ikke-lineære ligningssystemer. For eksempel er
et ikke-lineært ligningssystem med ukjente og . Det er ingen generelt gyldige løsningsstrategier for slike ligningssystemer. Ofte har man bare muligheten til å bestemme tilnærmede løsninger ved hjelp av numeriske metoder. En kraftig tilnærmingsmetode er for eksempel Newton-metoden .
En tommelfingerregel sier at det kreves samme antall ligninger som ukjente, slik at et ligningssystem kan løses unikt. Dette er imidlertid egentlig bare en tommelfingerregel, det gjelder til en viss grad reelle ligninger med reelle ukjente på grunn av hovedsetningen om implisitte funksjoner .
Løser ligninger
Analytisk løsning
Så langt det er mulig prøver man å finne den nøyaktige løsningen på en avgjørende ligning. De viktigste verktøyene er ekvivalensomregninger , ved hjelp av hvilke en ligning gradvis blir transformert til andre ekvivalente ligninger (dvs. som har samme sett med løsninger) til en ligning oppnås hvis løsning lett kan bestemmes.
Numerisk løsning
Mange ligninger, spesielt fra vitenskapelige applikasjoner, kan ikke løses analytisk. I dette tilfellet prøver man å beregne en omtrentlig numerisk løsning på datamaskinen. Slike prosedyrer er behandlet i numerisk matematikk . Mange ikke-lineære ligninger kan løses omtrent ved å tilnærme de ikke-lineariteter som forekommer i ligningen lineært og deretter løse de resulterende lineære problemene (for eksempel ved å bruke Newtons metode ). For andre problemklasser, for eksempel når man løser ligninger i uendelige dimensjonale rom, blir løsningen søkt i passende valgte endelige dimensjonale underområder (for eksempel i Galerkin-metoden ).
Kvalitativ analyse
Selv om en ligning ikke kan løses analytisk, er det likevel ofte mulig å komme med matematiske uttalelser om løsningen. Spesielt er spørsmål av interesse om en løsning i det hele tatt eksisterer, om den er unik, og om den kontinuerlig avhenger av ligningens parametere. Hvis dette er tilfelle, snakker man om et riktig utpekt problem . En kvalitativ analyse er også eller spesielt viktig for den numeriske løsningen av en ligning for å sikre at den numeriske løsningen faktisk gir en omtrentlig løsning av ligningen.
Se også
weblenker
- Statlig utdanningsserver Baden-Wuerttemberg - kompilering av typene ligninger som er relevante for Abitur med løsningstips og oppgaver
- Verden av matematiske ligninger. ( Memento 7. juni 2004 i Internet Archive ) Omfattende engelsk side.
- Ligning . I: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag og EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ).
- J. Pahikkala: ligning . I: PlanetMath . (Engelsk)
- Eric W. Weisstein : Ligning . På: MathWorld (engelsk).
- De 12 vakreste ligningene bbc.com
Individuelle bevis
- ^ Robert Recorde : Whetstone of Witte. London 1557, s. 238.
- ↑ Wolfgang Brauch: Matematikk for ingeniører / Wolfgang Brauch; Hans-Joachim Dreyer; Wolfhart Haacke. Blant de ansatte av Wolfgang Gentzsch . Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0073-4 , s. 40 .
- ↑ Hovedsidesligninger. (Ikke lenger tilgjengelig online.) Statlig utdanningsserver Baden-Württemberg, arkivert fra originalen 22. mai 2015 ; Hentet 8. mars 2011 . Info: Arkivkoblingen ble satt inn automatisk og har ennå ikke blitt sjekket. Kontroller original- og arkivlenken i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen.