Episode (matematikk)

I matematikk, en sekvens eller sekvens er en liste ( familie ) av finitely eller uendelig mange etter hverandre nummererte objekter (f.eks tall). Det samme objektet kan også vises flere ganger i en sekvens. Objektet med tallet , en sier også her: med indeksen , kalles -th medlem eller -th komponent av sekvensen. Endelige og uendelige sekvenser finnes i alle matematikkområder. Analyse handler primært om uendelige sekvenser, hvis vilkår er tall .

Hvis antall ord er en endelig sekvens, snakker man om en sekvens av lengde , av en betegnet sekvens eller av en - tuple . Sekvensen uten vilkår, hvis indeksområde er tomt, kalles en tom sekvens, 0-elementssekvens eller 0-tupel.

Eksempler

Kurver for de fem første medlemmene av funksjonssekvensen
5-tupler av hele tall
4-tupler av trigonometriske funksjoner
Sekvens av primtallene
Uendelig rekke med sett
Generell uendelig rekkefølge hvis vilkår indekseres fortløpende. Null er valgt her som start på indeksering.

Notasjon

Generelt, skriver man for en endelig sekvens , derfor , og for uendelig sekvenser , derfor . Det står for en hvilken som helst del av en sekvens; de runde parentesene oppsummerer dem i en sekvens, så vises indeksområdet (dette kan utelates hvis det er implisitt klart). I stedet for runde parenteser brukes noen ganger spisse (dvs. ); Semikolon kan brukes i stedet for komma hvis det er fare for forveksling med desimalseparatoren.

Forskjellen til settet med sekvensmedlemmer eller er at det avhenger av rekkefølgen på sekvensmedlemmene og at flere sekvensmedlemmer kan ha samme verdi.

Eksempel: Sekvensen (0, 1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, ...) har bildesettet (eller underliggende sett) {0, 1, 2, 4, 8, ...}. Sekvensen (1, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 8, ...) har samme mengde bilder. Verdien 0 forekommer flere ganger i begge sekvenser.

Formell definisjon

Formelt definert er en uendelig sekvens en kartlegging ,

som tildeler et sekvensmedlem fra måltallet til hver indeks fra settet med naturlige tall som brukes som indekssett . Imidlertid er valget av den første indeksen til slutt vilkårlig. I skolematematikk og vanligste brukstilfeller er settet med reelle tall det . Imidlertid vurderes for eksempel også sekvenser av sett og sekvenser av funksjoner .

For en endelig sekvens ( tuple ) med termer, er indeksen definert fra et endelig sett, vanligvis enten fra settet eller fra settet . Notasjonen brukes av og til for slike indekssett .

applikasjoner

Uendelige sekvenser kan konvergere mot en grense . Teorien om grenseverdier for uendelige sekvenser er et viktig analysegrunnlag , fordi det er basert på beregningen av grenseverdier for funksjoner , definisjonen av derivatet (differensialkvotient som grenseverdi for en sekvens av differenskvotienter) og Riemann integrerte konsept . Viktige sekvenser oppnås som koeffisienter i Taylor-serien av analytiske funksjoner . Noen elementære funksjoner fører til spesielle sekvenser, for eksempel tangensfunksjonenBernoullis tall eller den hyperbolske sekantenEulers tall . Metoden for fullstendig induksjon er et nyttig verktøy for å bevise konvergensen av en sekvens .

En serie er en spesiell tallrekke, hvorav det tredje medlemmet er summen av de første medlemmene i en annen tallrekke. For eksempel kommer serien (1, 3, 6, 10, 15, ...) fra sekvensen (1, 2, 3, 4, 5, ...). Serier brukes i mange områder av matematikken. Se også artikkelserien (matematikk) .

Lov om dannelse av en sekvens

Det er flere måter å spesifisere en sekvens på:

  • Navnet på alle sekvensmedlemmene (bare mulig for endelige sekvenser)
  • Funksjonsligning
  • linje
  • Rekursjon
  • algoritme

En endelig sekvens kan gis ved å navngi alle medlemmene i sekvensen. Dette er ikke mulig med en uendelig rekkefølge; i stedet må dannelsesloven for sekvensen kommuniseres i en annen form.

Sekvenser hvis formasjonslov kan kommuniseres som en funksjonell regel eller rekursjon kalles noen ganger vanlige sekvenser.

Spesifikasjon av innledende vilkår

Funksjonelle regler oppnådd som Lagrange-polynomer for ti forskjellige fortsettelser av sekvensen 1,2,3; kurvene viser løpet av polynomene

Oppgaven som er satt i noen etterretningstester for å fortsette en sekvens hvis første begrep er gitt, er problematisk fra et matematisk synspunkt. Uansett hvor mange innledende medlemmer, er ikke det videre løpet av en sekvens klart bestemt. Det er bare mer eller mindre plausible oppfølgere.

Eksempler:
  • Den gitte er 0, 1, 2, 3. Den mest sannsynlige er fortsettelsen 4, 5, 6, ..., dvs. sekvensen av alle naturlige tall. Fortsettelsen 0, 1, 2, 3, 0, ... er imidlertid også mulig, nemlig som den periodiske sekvensen av den minste positive resten av de naturlige tallene modulo 4. I en datamaskin er ofte hele tall 32 bits i to komplement , dvs. som de absolutt minste restene modulo 2 32 vist. Når du øker et register suksessivt, løper du gjennom sekvensen av tall 0, 1, 2, 3,…, 2147483647, −2147483648, −2147483647,…, −1 og fortsetter med jevne mellomrom.
  • For tallsekvensen 3, 1, 4, 1, 5 er en sannsynlig fortsettelse 1, 6, 1, 7, ... Andre vil gjenkjenne desimalrepresentasjonen av sirkelnummeret og foreslå fortsettelsen 9, 2, 6, .. ..

Den elektroniske leksikonet om tallsekvenser (OEIS) inneholder titusenvis av matematisk relevante sekvenser. Du kan søke etter en gitt delsekvens i den .

Spesifikasjon av en funksjonell regel

For mange, men på ingen måte alle konsekvenser, kan man bruke funksjonsregelen

gitt som en lukket ligning.

I de følgende eksemplene bruker vi indekser fra settet :

  • Sekvensen til de naturlige tallene 0, 1, 2, 3, ... Dette eksemplet er spesielt fordi verdiene til sekvensmedlem og indeks samsvarer. Den funksjonelle regelen er enkel
  • Sekvensen til oddetallene 1, 3, 5, 7, ... har funksjonsregelen
  • Sekvensen av krefter av to 1, 2, 4, 8, ...

Relaterte oppgaver

Problemet med å bestemme de opprinnelige vilkårene for en gitt funksjonell regel kan enkelt løses. Stadig tar verdiene , , osv, setter hver og en i funksjonen regelen og beregnet på denne måten, de etterfølgere , , etc. Formålet med dette lovforslaget er å gjøre et førsteinntrykk av kurset av en serie. Men vær forsiktig: For virkelig store indekser kan en sekvens gå en helt annen kurs enn det som var forventet etter de første ti eller hundre terminene. Eksempel: sekvensen som øker monotont, men deretter reduseres igjen, slik det kan kontrolleres ved å sette inn høyere krefter på ti.

På den annen side er den omvendte oppgaven med å bestemme en funksjonsregel for en gitt innledende periode mye vanskeligere. Strengt tatt kan det ikke være noen entydig løsning, fordi begynnelsen på hver episode kan fortsettes på forskjellige måter, som beskrevet ovenfor. I praksis vil denne oppgaven bli gitt bare for sekvenser hvis medlemmer , , og så i en rimelig forutsigbar måte ved indeksen er avhengig av. Følgende egenskaper kan kontrolleres i detalj:

  • Skifter sekvensen? I så fall kan du få riktig tegn fra en faktor i funksjonsspesifikasjonen. Eksempel: 0, −1, 2, −3, 4, ... har regelen .
  • Er følgende begreper brøkdeler? I så fall, konstruer funksjonelle regler for teller og nevner uavhengig av hverandre. Eksempel: 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... har regelen .
  • Øker (eller reduseres ) følgende begrep med konstante forskjeller ? I så fall har du en aritmetisk sekvens . Eksempel: 1, 3, 5, 7, ... har regelen .
  • Oppfyller forskjellene mellom påfølgende medlemmer en enklere dannelseslov enn de påfølgende medlemmene selv? I så fall kan sekvensen sees på som en serie (se nedenfor). Eksempel: For 1, 3, 6, 10, 15, ... er forskjellene 1, 2, 3, 4, ...
  • Er påfølgende medlemmer av serien i et konstant forhold til hverandre? I så fall har du en geometrisk sekvens . Eksempel: Sekvensen 100; 80; 64; 51,2; ... reduseres fra lenke til lenke med en faktor på 0,8; så regelen er .

Søket etter en funksjonsregel blir vanskeligere av det faktum at de første ett eller to elementene i sekvensen (for indeksene 0 og 1) ofte virker utenom det vanlige. Dette er fordi en summand 0, en faktor 1 eller en eksponent 0 eller 1 vanligvis ikke skrives ut, men beregnes umiddelbart. I forkortet form 1, 1, 3/4, 1/2, ... ovennevnte eksempel 1/1, 2/2, 3/4, 4/8, ... er funksjonsregelen vanskelig å se .

Spesifisert som en serie

En sekvens hvis -te ord er summen av de første begrepene i en annen sekvens kalles en serie :

Uttrykket skrevet ved hjelp av sumsymbolet er derfor en forkortelse for uttrykket . Ulike indekser skal brukes i og utenfor summeringssymbolet. Det at spesielle og ble valgt tilsvarer en utbredt konvensjon, men er ikke obligatorisk.

For å beregne som en spesifikk numerisk verdi, må en spesifikk numerisk verdi spesifiseres for indeksen . I motsetning til dette er ikke indeksen en verdi som skal spesifiseres (eksternt), men bestemmes av selve summeringsregelen. Som alltid blir gitt for den løpende indeksen suksessivt , beregnes verdiene 0, 1, ..., og summen av tilhørende , ....

Hver sekvens kan betraktes som en serie ved å lage en assosiert sekvens fra forskjellene i suksessive termer

konstruert. Sekvens og serier kan ikke skilles tydelig fra hverandre. De økonomenes tidsserier er faktisk konsekvenser. Imidlertid modellerer mange forklaringsmodeller ikke absolutte verdier, men deres endringer over tid, noe som taler for å forstå absolutte verdier som medlemmer av en serie.

Tolkningen av en sekvens som en serie gir konkret fordel hvis summeringen kan utføres for et hvilket som helst nummer . Oppsummeringsformler er for eksempel kjent for aritmetiske serier og geometriske serier .

Tolkningen av en uendelig rekkefølge som en serie gjør det lettere å bestemme om og i så fall til hvilken grenseverdi sekvensen konvergerer. Det er separate konvergenskriterier for uendelige serier . Omvendt kan man alltid konkludere fra konvergensen av en serie (dvs. i ovennevnte notasjon, konvergensen av ) at sekvensen til summandene (i ovennevnte notasjon, sekvensen ) konvergerer til null.

Spesifikasjon av en rekursjon

Dannelsesloven til en sekvens kan også spesifiseres rekursivt . For dette formålet kaller man innledende verdier (med ; for det meste er eller ), samt en regel hvordan et sekvensuttrykk kan beregnes ut fra de foregående vilkårene .

Det mest kjente eksemplet på en sekvens som kan beskrives mye lettere av en rekursjonsregel enn av en funksjonsregel, er Fibonacci-sekvensen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... For det er de to innledende betingelser er gitt og i tillegg rekursjonen regel

Den eksplisitte formelen til Moivre og Binet for vilkårene i sekvensen

er nært knyttet til det gyldne forholdet og det gyldne tallet . Merk at de alle er heltall, siden de merkelige kreftene til å trekke ut.

For noen sekvenser, omvendt, kan en rekursjonsregel utledes fra funksjonsregelen. For eksempel følger den for den geometriske sekvensen fra funksjonsregelen

rekursjonsregelen

Rekursjonen

definerer sekvensen av rasjonelle tall 2, 3/2, 17/12, ... som konvergerer til.

Spesifikasjon via en algoritme

For noen sekvenser er det en klart definert konstruksjonsregel ( algoritme ), men ingen funksjonell regel. Det mest kjente eksemplet er sekvensen av primtallene 2, 3, 5, 7, 11, ... De gamle grekerne (muligens også indianere) visste hvordan de skulle beregne flere og flere vilkår for denne sekvensen. En mulighet er å bruke silen til Eratosthenes . Det er imidlertid ingen metode for å spesifisere det første primtallet for en gitt uten først å bestemme hele sekvensen fra det første til det femte primtalet. Hvis man ikke ønsker å vite tiende eller hundre, men det tiende primtallet, øker dette beregningsinnsatsen betraktelig.

Lengden på den korteste algoritmen som produserer en sekvens kalles dens Kolmogorov-kompleksitet (noen ganger brukes dette begrepet i smal forstand bare for tegnsekvenser , dvs. endelige sekvenser med endelige målsett ). Det avhenger av hvilket programmeringsspråk som brukes; ifølge variasjonsteorien, varierer imidlertid lengdene for forskjellige språk bare med en språkavhengig additivskonstant.

Karakterisering av konsekvenser

I likhet med funksjoner kan tallsekvenser også preges av gradientadferd og bildeområde.

monotoni

begrep

En konsekvens er monotont økende, hvis det er det samme eller øker fra medlem til medlem, slik at hvis alle av de følgende gjelder: . Resultatet er strengt øker når øker fra sikt til sikt, slik at hvis alle av de følgende gjelder: . Begrepene monotont synkende og strengt monotont synkende defineres analogt. Begrepet monotoni er imidlertid ikke begrenset til reelle tall: ethvert ordnet sett tillater en meningsfull bruk av begrepet.

Bevis for monotoni

Hvis man mistenker at en sekvens ikke er monoton (eller strengt ensformig), setter man inn noen få indekser i funksjonsregelen, beregner de tilknyttede sekvensmedlemmene og håper å finne et moteksempel. Eksempel: Den sekvensen gitt ved ikke er monoton, fordi men .

Hvis man for eksempel mistenker at en sekvens er strengt ensformig, skriver man , vurderer funksjonsregelen på begge sider (ved å sette inn regelen i stedet for på høyre side ), og sjekker ulikheten som har oppstått ved å forenkle den ved hjelp av av ekvivalenstransformasjoner. Eksempel: lister som tilsvarer eller tilsvarer den virkelige påstanden .

Noen funksjonelle regler kan brytes ned i en sum av konstante termer og en kjent, enklere sekvens, hvor skråningsoppførselen allerede er kjent, ved hjelp av termtransformasjoner. Eksempel: . Hvis man vet at strengt monotont faller, kan man konkludere med at strengt monotont øker. Fordi begrepet 2 er konstant, øker det også strengt monotont.

Smal sinn

Den begrensede serien med tegnet barrierer.

begrep

En sekvens av reelle tall er oppover begrenset, hvis det er en øvre grense har, slik at for alle av de følgende gjelder: . Den minste øvre grensen til en sekvens kalles også dens supremum . Begrepene begrenset nedover, nedre grense og minimum er definert analogt. En sekvens som er avgrenset både oppover og nedover kalles avgrenset.

Bevis for begrensning og fastsettelse av en grense

Et bevis med moteksempel er ikke mulig her, for uansett hvor mange eksempler man ikke kan sikre at det ikke er noe veldig stort eller veldig lite tall som begrenser sekvensen.

Så det må antas at det er en grense. Nå brukes den aktuelle ulikheten, dvs. H. for en øvre grense . På venstre side av ulikheten blir funksjonsregelen brukt og deretter løst for. Dette vil gi deg (med litt hell) et resultat av skjemaet eller , hvor står for et begrep som er avhengig av. I det første tilfellet har det blitt funnet at sekvensen ikke er avgrenset oppover (uansett hvor stor den er, er det alltid mulig å finne en enda større som bryter ulikheten). I det andre tilfellet prøver man å finne en som er for . For dette blir alltid oppfylt, og beviset har således vært vellykket for at det er en øvre grense.

Også her kan verifiseringen gjøres lettere hvis funksjonsregelen kan brytes ned i en sum av enklere termer.

Andre

  • En sekvens hvis verdier er vekslende positive og negative kalles vekslende.
  • En sekvens hvis vilkår alle samsvarer, kalles en konstant sekvens.
  • En sekvens hvis medlemmer er enige om et visst element er stasjonær sekvens kalt
  • En sekvens som konvergerer til 0 kalles en null sekvens .
  • En sekvens kalles terminering hvis den er 0 fra et bestemt begrep, dvs. H. en stasjonær null sekvens.
  • En sekvens som består av repetisjoner av en endelig delsekvens kalles periodisk. Det er en periode lengde , og for all of gjelder følgende: . Delsekvens skal her forstås som en sekvens av i det valgte settet.

En interessant oppgave i kalkulus er å bestemme om en sekvens konvergerer, og til hvilken grense hvis den konvergerer . En uendelig rekkefølge som ikke konvergerer, kan likevel ha akkumuleringspunkter ( eksempel: sekvensen −1/2, 3/4, −5/6, 7/8, ... har akkumuleringspunkter −1 og 1). Spesielt har hver avgrenset sekvens i settet med reelle tall minst ett akkumuleringspunkt ( Bolzano-Weierstrass-teorem ).

Den nevnte karakteriseringen av en sekvens via dens gradientadferd og dens bildeområde kan bidra til å bestemme om og i så fall til hvilken grenseverdi den konvergerer. Monotonisitetskriteriet er spesielt nyttig her , ifølge hvilket en monotont økende, oppad begrenset sekvens i settet med reelle tall alltid konvergerer, hvorved grenseverdien tilsvarer dens overhode ( eksempel: sekvensen 0, 1/2, 2/3, 3/4, ... konvergerer mot deres supremum 1). Tilsvarende konvergerer en monotont fallende, nedadgående avgrenset sekvens mot det minste.

Karakteriseringskriteriene monotoni og begrensning kan generaliseres for alle sekvenser hvis målsett er bestilt . Konstant, stasjonær og periodisk sekvens kan defineres for ethvert målområde, konvergerende sekvenser for ethvert metrisk område som målområde.

Viktige konsekvenser

De fleste av de kjente tallsekvensene kan slås opp i On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) av Neil Sloane . I februar 2009 inneholdt denne databasen over 155 000 beskrivelser av tallsekvenser.

Andre tallsekvenser som ofte er nevnt, er for eksempel de konstante sekvensene med funksjonsregelen med et tall som er fast for alle og den harmoniske sekvensen definert av ( ) .

Aritmetiske sekvenser og serier

Den aritmetiske sekvensen

En aritmetisk sekvens er en sekvens med en konstant forskjell mellom påfølgende ord. Eksempler er de ofte brukte sekvensene av partallene 2, 4, 6, ... med funksjonsregelen

og oddetallene med funksjonsregelen

Generelt er den funksjonelle regelen

hvor betegner den konstante forskjellen.

Sekvenser som kan spores tilbake til aritmetiske sekvenser kalles høyere ordens aritmetiske sekvenser. Så rekkefølgen av trekantetall er en aritmetisk sekvens av 2. orden.

Episode:
1. Forskjellssekvens:
2. Forskjellssekvens:

Aritmetiske sekvenser - rekkefølge er nøyaktig de sekvensene som kan beskrives med en polynom- grad. Dette polynomet kan bli funnet ved Lagrange-interpolasjon fra et hvilket som helst antall termer i sekvensen. De trekantede tallene adlyder z. B. opplæringsloven .

Konsekvenser basert på kraftfunksjonen

En effektsekvens er en sekvens som strømfunksjonen gir vilkårene ( genererer funksjon )

Sekvensen til kvadratnummer : 0, 1, 4, 9, ... har funksjonsspesifikasjonen . Sekvensen av firkantede tall er også en aritmetisk sekvens av 2. orden, siden den kan forstås som en serie basert på sekvensen av oddetall.

Sekvensen til kubenumrene 0, 1, 8, 27, ... har regelen

hva du får for -te krefter av naturlige tall

kan generalisere, hvor et reelt tall kan være. Med en får sekvensen av kvadratrøttene til de naturlige tallene,

.

Med negative eksponenter skal det bemerkes at det ikke eksisterer. For eksempel er det ikke mulig å bruke og funksjonsregelen

følgende lenke til indeksen

å beregne. Du kan ekskludere indeks 0, slik at du kan begrense deg til indeks sett . Imidlertid er det ofte mer nyttig å la indeksen være uendret og i stedet bruke funksjonsregelen i

å endre. Da er de første ordene i sekvensen 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... På samme måte kan man sette opp en funksjonsregel for enhver eksponent :

Geometriske sekvenser

Den geometriske sekvensen

Akkurat som suksessive termer i en aritmetisk sekvens har en konstant forskjell, er det også vilkår i en geometrisk sekvens

suksessive lenker i et konstant forhold til hverandre . For eksempel med og resulterer i rekkefølgen av krefter på to

For eksempel, for de første ti begrepene, er sekvensen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 (hver periode er dobbelt så stor som den forrige). Denne sekvensen er spesielt viktig for konvertering av i datavitenskap som brukes binære tall i desimaltall (og omvendt). En geometrisk sekvens med konvergerer til null, slik som sekvens 1; 0,1; 0,01; ... til :

Hvis du får den trivielle sekvensen 1, 1, 1,…; hvis du kommer deg ut

den grunnleggende alternerende sekvensen 1, −1, 1, −1, ...

Et eksempel på den daglige bruken av den geometriske sekvensen er den like store innstillingen av den musikalske skalaen - de påfølgende elementene, her halvtone trinn, har et konstant frekvensforhold til hverandre.

Generaliseringer

I topologi er et nettverk en generalisering av en sekvens.

Som med funksjoner , i tillegg til sekvensene som er definert her med verdier i sett, kan du også definere sekvenser med verdier i en reell klasse , for eksempel sekvenser av sett eller grupper.

Sekvensrom

Sekvensrommene kan dannes fra sekvenser , som hovedsakelig brukes i funksjonell analyse for å konstruere eksempler.

litteratur

  • Bourbaki : Eléments de mathématique. Teorien om ensemblet . II / III. Paris 1970
  • Harro Heuser : Lærebok for analyse . Del 1. Teubner Verlag, Stuttgart

weblenker

Wikibooks: Math for Non-Freaks: Follow-up  - Learning and learning materials

Individuelle bevis

  1. M. Li, PMB Vitányi: Kolmogorov-kompleksitet og dets applikasjoner. I: Jan van Leeuwen (red.): Algorithms and Complexity (=  Handbook of Theoretical Computer Science , Volume A ). Elsevier, 1990, s. 187-254, her: s. 198.