numerisk matematikk

Den numeriske matematikken , også kort Numerikk kalt, er engasjert i en gren av matematikk i design og analyse av algoritmer for kontinuerlige matematiske problemer. Hovedapplikasjonen er den omtrentlige beregningen av løsninger ved hjelp av tilnærmelsesalgoritmer ved hjelp av datamaskiner .

oversikt

Interessen for slike algoritmer oppstår vanligvis av en av følgende årsaker:

  1. Det er ingen eksplisitt løsning på problemet (som for eksempel i Navier-Stokes-ligningene eller tre-kroppsproblemet ) eller
  2. løsningsrepresentasjonen eksisterer, men er ikke egnet for å beregne løsningen raskt, eller er i en form der beregningsfeil er veldig merkbare (for eksempel med mange kraftserier ).

Det skilles mellom to typer metoder: på den ene siden direkte, som gir den nøyaktige løsningen på et problem etter et endelig antall nøyaktige beregningstrinn, og på den andre siden tilnærmingsmetoder, som bare gir tilnærminger . En direkte metode er for eksempel den Gaussiske eliminasjonsmetoden , som gir løsningen på et lineært ligningssystem . Tilnærmingsmetoder inkluderer kvadraturformler , som omtrent beregner verdien av en integral, eller Newton-metoden , som iterativt gir bedre tilnærminger til null av en funksjon.

Siden løsningene bare kreves for begrenset nøyaktighet i applikasjoner, kan en iterativ metode også være mer nyttig når en direkte metode eksisterer hvis den gir tilstrekkelig nøyaktighet på kortere tid.

Ulike metoder sammenlignes i henhold til kjøretid , stabilitet og robusthet . Noen ganger er det imidlertid også (i motsetning til rent numeriske prosedyrer) seminumeriske prosedyrer som er bedre egnet til å løse visse problemklasser enn uspesialiserte numeriske løsninger.

historie

Ønsket om å kunne løse matematiske ligninger numerisk (også omtrent) har eksistert siden antikken . De gamle grekerne visste allerede problemer som de bare kunne løse omtrent, for eksempel beregning av områder ( integral calculus ) eller antall sirkler . I denne forstand kan Archimedes , som ga algoritmer for begge problemene, beskrives som den første viktige numerikeren.

Navnene på klassiske metoder viser tydelig at algoritmisk og tilnærmet tilgang til matematiske problemer alltid har vært viktig for å kunne bruke rent teoretiske utsagn fruktbart. Konsepter som konvergenshastighet eller stabilitet var også veldig viktige når man beregner for hånd. For eksempel gir høy konvergenshastighet håp om at beregningen vil bli gjort raskt. Og til og med Gauss la merke til at hans beregningsfeil i den Gaussiske eliminasjonsmetoden noen ganger hadde en katastrofal effekt på løsningen og gjorde den fullstendig ubrukelig. Han foretrakk derfor Gauss-Seidel-metoden , der feil lett kunne kompenseres for ved å utføre et ytterligere iterasjonstrinn.

For å gjøre den ensformige utførelsen av algoritmer enklere, ble det utviklet mekaniske beregningsmaskiner på 1800-tallet , og til slutt den første datamaskinen av Konrad Zuse på 1930-tallet . Den andre verdenskrig akselerert utviklingen dramatisk, og spesielt John von Neumann avansert tallverdier både matematisk og teknisk som en del av Manhattan Project . Den kalde krigens tid var dominert av militære applikasjoner som gjeninnføringsproblemer , men økningen i datakraft siden 1980-tallet har ført sivile applikasjoner til syne. Videre har behovet for raske algoritmer økt med økningen i hastighet. Forskning har vært i stand til å gjøre dette for mange problemer, og så har algoritmens hastighet forbedret seg med omtrent samme størrelsesorden som CPU- ytelse siden midten av 1980-tallet . I dag er numeriske metoder, for eksempel metoden for endelige elementer , til stede i alle tekniske eller vitenskapelige felt og er hverdagsverktøy.

Feilanalyse

Et aspekt ved analysen av algoritmer i numerikk er feilanalyse . Ulike typer feil spiller inn i en numerisk beregning : Når du beregner med flytende tall , vil det uunngåelig forekomme avrundingsfeil . Disse feilene kan reduseres, for eksempel ved å øke antall sifre, men de kan ikke elimineres helt, siden hver datamaskin i utgangspunktet bare kan stole på et endelig antall sifre.

Hvordan problemet reagerer på forstyrrelser i de opprinnelige dataene måles med tilstanden . Hvis et problem har en god tilstand, avhenger løsningen på problemet sensitivt av de opprinnelige dataene, noe som gjør en numerisk løsning vanskelig, spesielt siden avrundingsfeil kan tolkes som en forstyrrelse av de opprinnelige dataene.

Den numeriske metoden erstatter også det kontinuerlige matematiske problemet med et diskret, dvs. endelig, problem. Den såkalte diskretiseringsfeilen oppstår allerede , som estimeres og evalueres som en del av konsistensanalysen . Dette er nødvendig fordi en numerisk metode vanligvis ikke gir den eksakte løsningen.

Stabilitetsanalysen brukes til å evaluere hvordan slike feil øker når beregningen fortsettes .

Konsistensen og stabiliteten til algoritmen fører vanligvis til konvergens (se: Grenseverdi (funksjon) ).

Numeriske metoder

Det finnes et stort antall numeriske metoder og algoritmer for mange matematiske problemer, for eksempel optimalisering eller løsning av delvise differensialligninger . En kommentert samling av utvalgte numeriske prosedyrer finner du under Liste over numeriske prosedyrer .

litteratur

  • Wolfgang Dahmen , Arnold Reusken: Numerikk for ingeniører og naturforskere. Springer, Berlin et al. 2006, ISBN 3-540-25544-3 .
  • Peter Deuflhard , Andreas Hohmann: Numerisk matematikk. Volum 1: En algoritmisk orientert introduksjon. 3., revidert og utvidet utgave. de Gruyter, Berlin et al. 2002, ISBN 3-11-017182-1 .
  • Gene H. Golub , James M. Ortega: Scientific Computing and Differential Equations. En introduksjon til numerisk matematikk (= Berlin studieserie om matematikk. Volum 6). Heldermann, Berlin 1995, ISBN 3-88538-106-0 .
  • Martin Hanke-Bourgeois: Grunnleggende om numerisk matematikk og vitenskapelig databehandling. Teubner, Stuttgart et al., 2002, ISBN 3-519-00356-2 .
  • Martin Hermann : Numerisk matematikk. 2., revidert og utvidet utgave. Oldenbourg, München et al. 2006, ISBN 3-486-57935-5 .
  • Thomas Huckle, Stefan Schneider: Numerikk for informatikere. Springer, Berlin et al. 2002, ISBN 3-540-42387-7 .
  • Ernst Kausen : Numerisk matematikk med TURBO-PASCAL. Hüthig, Heidelberg 1989, ISBN 3-7785-1477-6 .
  • Gerhard Sacrifice: Numerisk matematikk for nybegynnere. En introduksjon for matematikere, ingeniører og informatikere. 5., revidert og utvidet utgave. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0413-6 .
  • Robert Plato: Numerisk matematikkompakt. Grunnleggende kunnskaper for studier og praksis. Vieweg, Braunschweig et al. 2000, ISBN 3-528-03153-0 .
  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerisk matematikk. 8. utgave. Teubner, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4 .

weblenker

Wiktionary: Numerics  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

  1. ↑ Lloyd N. Trefethen : Definisjonen av numerisk analyse. I: SIAM News. Nr. 25, 6. november 1992 ( PDF-fil , ≈ 228  KB ).
  2. ↑ Lloyd N. Trefethen skrev: “[…] vår sentrale oppgave er å beregne størrelser som vanligvis er uforutsigbare, fra et analytisk synspunkt og med lynets hastighet.” (Eller på engelsk: […] vårt sentrale oppdrag er å beregne størrelser som vanligvis ikke kan beregnes, fra et analytisk synspunkt, og å gjøre det med lynets hastighet .; i Definisjonen av numerisk analyse , SIAM , 1992, se også utdrag fra Google-bøker )