Vanlig differensialligning

En vanlig differensialligning (ofte forkortet GDGL eller ODE , engelsk vanlig differensialligning ) er en differensialligning der bare derivater av nøyaktig en variabel forekommer for en funksjon som blir søkt.

Mange fysiske , kjemiske og biologiske prosesser i naturen kan beskrives matematisk med slike ligninger, f.eks. B. radioaktiv nedbrytning , bevegelsesprosesser legemer, mange typer av vibrasjonsprosesser eller veksten oppførsel av dyrepopulasjoner . Vanlige differensialligninger brukes derfor ofte i vitenskapelige modeller for å analysere og simulere slike prosesser eller for å kunne komme med spådommer . I mange tilfeller kan ikke differensiallikningen løses analytisk . Man er derfor avhengig av numeriske metoder . Se hovedartikkel: Liste over numeriske metoder # Numerikk av ordinære differensialligninger .

Historisk utvikling

Historisk sett ble de første differensiallikningene brukt til å modellere bevegelsen til objekter. Spesielt bemerkelsesverdig er ligningene for bevegelse med konstant hastighet eller konstant akselerasjon. I år 1590 anerkjente Galileo Galilei sammenhengen mellom fallets kropp og fallhastighet, så vel som fallbanen og (fremdeles) formulerte loven om fritt fall ved hjelp av geometriske midler .

Da Isaac Newton også vurderte bevegelser med friksjon, som er proporsjonale med hastighetens størrelse eller kvadrat, ble han tvunget til å innføre differensialregning og formalismen til differensiallikninger som er vanlig i dag.

Med den nøyaktige formuleringen av begrepet grenseverdier , derivatet og det integrerte , satte Augustin Louis Cauchy endelig teorien om vanlige differensiallikninger på et solid grunnlag på 1800-tallet og gjorde den dermed tilgjengelig for mange vitenskap.

Den vitenskapelige interessen for differensiallikninger er i hovedsak basert på at de kan brukes til å lage komplette modeller på grunnlag av relativt enkle observasjoner og eksperimenter.

Bare noen få typer differensialligninger kan løses analytisk. Likevel kan kvalitative utsagn som stabilitet , periodisitet eller forgrening gjøres selv om differensiallikningen ikke kan løses eksplisitt. Et av de viktigste verktøyene for skalære differensiallikninger er argumenter som bruker en sammenligningsteori .

generell definisjon

Vær og vær en kontinuerlig funksjon. Da kalles ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} \ times \ left (\ mathbb {R} ^ {m} \ right) ^ {n + 1}, n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle f \ left (x, y, y ', y' ', \ dotsc, y ^ {(n)} \ right) = 0}$

et vanlig differensiallikningssystem - rekkefølgen av ligninger ( her er den uavhengige variabelen osv.). I tilfelle kalles dette en ordinær differensialligning i ordens ordning. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y '= {\ tfrac {dy} {dx}}}$${\ displaystyle m = 1}$ ${\ displaystyle n}$

Deres løsninger er noen ganger forskjellige funksjoner , som tilfredsstiller differensiallikningen i et intervall som skal bestemmes . Leter du etter en spesiell løsning, som er gitt og i tillegg ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {0} \ i I}$${\ displaystyle y_ {0}, \ dotsc, y_ {n-1} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle y (x_ {0}) = y_ {0}, \; y '(x_ {0}) = y_ {1}, \ dotsc, y ^ {(n-1)} (x_ {0}) = y_ {n-1}}$

er oppfylt, kalles dette det opprinnelige verdiproblemet .

Kan differensiallikningen løses for det høyest forekommende derivatet og har dermed form

${\ displaystyle y ^ {(n)} = f \ left (x, y, y ', y' ', \ dotsc, y ^ {(n-1)} \ right)}$,

så det kalles eksplisitt , ellers implisitt ; se også setningen til den implisitte funksjonen .

Om notasjonen

I litteraturen om vanlige differensiallikninger brukes to forskjellige notasjoner som standard. I den ene variasjonen, den uavhengige variabelen med kalt og derivatene av funksjonen ved å bruke , etc. Den andre skolen bruker en gå tilbake til Newton-notasjon. Den uavhengige variabelen er allerede gitt en betydning; er tiden. Løsninger blir da ofte merket med og derivatene etter tid blir notert som. Siden denne artikkelen ble redigert av representanter for begge skolene, kan begge notasjonene bli funnet igjen. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y ', y' '}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ dot {x}}, {\ ddot {x}}}$

Eksistens og unikhet

Noen få kriterier kan brukes til å bestemme om det i det hele tatt eksisterer en løsning. Differensiallikningen i seg selv er generelt ikke tilstrekkelig til å bestemme løsningen unikt.

For eksempel er den grunnleggende bevegelsessekvensen til alle svingende pendler den samme og kan beskrives ved en enkelt differensialligning. Selve forløpet av bevegelsen er imidlertid bestemt av den grense eller utgangstilstanden (e) (når var pendelen hit og hvor stor er den første avbøyning).

Den lokale løsbarheten til innledende verdiproblemer for ordinære førsteordens differensiallikninger er beskrevet av Picard-Lindelöfs teorem og Peanos teorem . I et andre trinn kan eksistensen av en lokal løsning brukes til å utlede eksistensen av en ikke-kontinuerlig løsning . Ved hjelp av teoremet om det maksimale eksistensintervallet , som bygger på dette, kan man av og til bevise globalitet fra denne ikke-kontinuerlige løsningen. Det unike blir oppnådd ved å anvende Gronwalls ulikhet .

Reduksjon av høyere ordens ligninger til første ordens systemer

Vanlige differensiallikninger av hvilken som helst rekkefølge kan alltid reduseres til et system med ordinære førsteordens differensiallikninger. Hvis en ordinær differensialligning har rekkefølgen , blir de innbyrdes avhengige funksjonene introdusert : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ dotsc, y_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} &: = y \\ y_ {2} &: = y '_ {1} \\ y_ {3} &: = y' _ {2} \\ & \ vdots \\ y_ {n} &: = y '_ {n-1} \\\ slutten {justert}}}$

Den eksplisitte differensialligningen - rekkefølgen for blir: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y '_ {n} = f (x, y_ {1}, \ ldots, y_ {n})}$

Så vi får et system med vanlige differensiallikninger av første orden: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle (y_ {1}, \ dotsc, y_ {n-1}, y_ {n}) '= (y_ {2}, \ dotsc, y_ {n}, f (x, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}))}$.

Omvendt kan man utlede en enkelt høyere ordens differensialligning fra noen differensiallikningssystemer.

Eksempler

• Et enkelt eksempel fra fysikk er forfallsloven :

${\ displaystyle {\ dot {N}} \ sim N}$

Dette betyr at hvis det er mange ustabile atomer, avhenger antallet råtnende atomer proporsjonalt av det totale antallet tilstedeværende atomer.${\ displaystyle N}$

• De newtonske bevegelsesligningene utgjør en viktig klasse av ytterligere differensialligninger :

${\ displaystyle m \ cdot {\ ddot {\ vec {r}}} (t) = {\ vec {F}} \ left ({\ vec {r}} (t), t \ right)}$

Ved å kjenne kraften som avhenger av tiden og posisjonen til en partikkel , gir disse ligningene uttalelser om bevegelsen til selve partikkelen.${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle F}$

• I tillegg til de enkle innbyrdes forholdene til endringer i en enkelt variabel, kan spådommer også gjøres for flere variabler i ett system. Grovt den Lotka-Volterra ligningene av økologi :

${\ displaystyle {\ dot {r}} = Z_ {r} rb-M_ {r} r}$

${\ displaystyle {\ dot {b}} = Z_ {b} b-M_ {b} rb}$

Dette systemet beskriver den tidsmessige endringen i rovdyrpopulasjonen og byttedyrpopulasjonen med konstant naturlig fødselsrate og dødsrate . Noen viktige egenskaper ved denne modellen kan oppsummeres i form av de såkalte Lotka-Volterra-reglene . Dette og lignende systemer er mye brukt i teoretisk biologi for å beskrive spredningsprosesser og i epidemimodeller.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle M}$

Spesielle typer differensiallikninger

Den mest kjente typen vanlige differensiallikninger er lineær differensialligning av rekkefølge med: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x) y ^ {(i)} (x) = b (x)}$for stødig .${\ displaystyle a_ {i} \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

Andre viktige typer vanlige differensialligninger er følgende:

• d'Alemberts differensialligning

${\ displaystyle y (x) = xg (y '(x)) + f (y' (x)) \,}$.

• Bernoullis differensialligning

${\ displaystyle y '(x) = f (x) y (x) + g (x) y ^ {\ alpha} (x) \,}$med .${\ displaystyle \ alpha \ neq 1}$

• Nøyaktig differensialligning

${\ displaystyle p \ left (x, y (x) \ right) + q (x, y (x)) y '(x) = 0 \,}$, der vektorfeltet har en potensiell funksjon.${\ displaystyle (p, q)}$

• Jacobians differensialligning

${\ displaystyle y '(x) = f \ left ({\ frac {ax + by (x) + c} {\ alpha x + \ beta y (x) + \ gamma}} \ right)}$.

• Første ordens lineære differensialligningssystem av ligninger${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ y '(x) = A (x) y (x) + b (x)}$for stødig og .${\ displaystyle A \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m \ times m}}$${\ displaystyle b \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m} \,}$

• Riccatic differensialligning

${\ displaystyle y '(x) = f (x) y ^ {2} (x) + g (x) y (x) + h (x) \,}$.

• Separabel differensialligning

${\ displaystyle y '(x) = f \ left (y (x) \ right) g (x) \,}$.

Autonome systemer

Et system med differensiallikninger kalles autonomt eller tidsinvariant hvis den beskrivende ligningen ikke er avhengig av den uavhengige variabelen . Dvs. hvis systemet er av formen ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f \ left (y, y ', y' ', \ dotsc, y ^ {(n)} \ right) = 0}$

er.

Et system med differensiallikninger

${\ displaystyle y '= f (y) \, \ y (0) = y_ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

betyr komplett hvis den globale løsningen for hver innledende verdi er helt definert og entydig. Dette er f.eks. B. tilfelle når lineært avgrenset og Lipschitz kontinuerlig . Det betegner denne (unikt bestemte globale) løsningen. Da den strømnings kalles differensialligningen , og deretter et dynamisk system dannes . ${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {m} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ varphi (\ cdot, y_ {0})}$${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle y '= f (y)}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ {m}, \ varphi)}$

Saken med plane autonome systemer er spesielt enkel å analysere . Ved hjelp av Poincaré-Bendixsons teorem kan man ofte bevise eksistensen av periodiske løsninger. Lotka-Volterra-modellen er et viktig autonomt system . ${\ displaystyle n = 1, \ m = 2}$

Siden Poincaré-Bendixson-teorien er sentralt basert på den jordanske kurvesetningen , er høyere dimensjonale analoger feil. Spesielt er det veldig vanskelig å finne periodiske løsninger av høyere-dimensjonale autonome systemer.

Metode for å løse lineære ordinære differensiallikninger med konstante koeffisienter

Mange dynamiske systemer fra teknologi, natur og samfunn kan beskrives ved vanlige differensialligninger. Mange fysiske problemer, som ved første øyekast ser veldig forskjellige ut, kan representeres formelt identisk med GDGL.

Et dynamisk system er en funksjonell enhet for prosessering og overføring av signaler, der inngangsvariabelen er definert som årsak og utgangsvariabel som et resultat av systemets tidsmessige overføringsadferd. Hvis inngangsvariabelen er en homogen GDGL, ellers er den en inhomogen GDGL. ${\ displaystyle u (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle u (t) = 0}$

Et dynamisk system oppfører seg lineært når effekten av to lineært overlagrede inngangssignaler er overlagret lineært på samme måte ved utgangen til systemet. En lineær GDGL inneholder funksjonen du leter etter, og dens derivater bare i første kraft. Det må ikke være noen produkter av den søkte funksjonen og dens derivater. Funksjonen du leter etter, må ikke vises i argumentene til trigonometriske funksjoner, logaritmer osv.

Et velkjent eksempel fra mekanikken er den lineære GDGL av annen orden av en dempet fjær pendel med fjærstivheten , masse og dempningskonstant . Inngangsvariabelen er: kraften , utgangsvariabelen er banen . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ ddot {x}} (t) + {\ frac {d} {m}} \ cdot {\ dot {x}} (t) + {\ frac {c} {m}} \ cdot x (t) = {\ frac {1} {m}} \ cdot F (t)}$.

Lineære tidsinvariante systemer kan beregnes ved hjelp av følgende metoder:

• Klassisk ved hjelp av den eksponentielle tilnærmingen ,
• Laplace transform ,
• Numerisk .

Løsning ved å bruke den eksponentielle tilnærmingen

Løsningen av en inhomogen GDGL består av den generelle løsningen av den homogene GDGL og en spesiell løsning (partikkelformet løsning) av den inhomogene GDGL. Derfor foregår løsningsprosessen til den inhomogene GDGL i to trinn, uavhengig av rekkefølgen. Den samlede løsningen er summen av de to løsningene:

• Den homogene løsningen på GDGL beskriver systematferden med startverdiene til systemminnet på det tidspunktet og inngangssignalet . For det dynamiske systemet betyr dette at det overlates til sine egne enheter og bare har ett utgangssignal. Den homogene løsningen av GDGL er null hvis alle utgangsbetingelser og deres derivater er null.${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle u (t) = 0}$${\ displaystyle y_ {0} = 0}$

• Den spesielle løsningen på GDGL beskriver overføringsadferden til for som tvungen bevegelse. Avhengig av systemrekkefølgen, må alle startbetingelser og deres derivater være null.${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle u (t) \ neq 0}$${\ displaystyle y_ {0} = 0}$

Hvis overføringsfunksjonen er gitt som en Laplace-transformert GDGL, er beregningen av systemutgangssignalet for et gitt inngangssignal alltid en bestemt løsning når du bruker den inverse Laplace-transformasjonen. Den spesielle løsningen av GDGL er vanligvis av primær interesse for kontrollteknikk.${\ displaystyle G (s)}$${\ displaystyle Y (s)}$${\ displaystyle U (s)}$

Ved hjelp av den eksponensielle tilnærmingen og den resulterende karakteristiske ligningen , kan høyere ordens GDGLer også løses. Denne eksponentielle tilnærmingen betraktes som en universell løsningsmetode for homogene GDGL-er av hvilken som helst rekkefølge med konstante koeffisienter.

Hvis en GDGL har ordre n, har løsningen n konstanter av integrasjon. For å gjøre dette må det gis n innledende betingelser.

Den Exponentialansatz gir derivater av formen: . ${\ displaystyle y (t) = e ^ {\ lambda \ cdot t}}$${\ displaystyle y ^ {(n)} (t) = \ lambda ^ {n} \ cdot e ^ {\ lambda \ cdot t}}$

Hvis disse relasjonene settes inn i den homogene GDGL, oppstår den karakteristiske ligningen som et polynom av nende rekkefølge for . Den homogene løsningen av en inhomogen differensialligning er således generelt tilfelle av reelle ulike nuller av det karakteristiske polynomet : ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ displaystyle y_ {H} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {1} \ cdot t} + C_ {2} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {2} \ cdot t} + \ cdots + C_ {n} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {n} \ cdot t}}$

En GDGL løses gjennom integrasjon. Hver integrasjon resulterer i integrasjonskonstanter , hvor antallet bestemmes av rekkefølgen på GDGL. Løsningen til en GDGL av den niende orden inneholder uavhengige konstanter av integrasjon. Disse skal bestemmes for en spesiell (spesiell) løsning av GDGL, avhengig av egenverdiene og gitt startbetingelser for overføringssystemet. ${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle n}$

Bestemmelsen av integrasjonskonstantene for systemer av høyere orden (> 2) er veldig tungvint. Ytterligere informasjon finner du i faglitteraturen.${\ displaystyle C_ {i}}$

Innledende verdiproblem og integrasjonskonstanter for en homogen 2. ordens GDGL

En homogen GDGL av nende rekkefølge har n startverdier. For den homogene ODE av andre orden med to forhåndsinnstillbare startverdier og koeffisientene, og beregnes når røttene til det karakteristiske polynomet er kjent. ${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle {\ dot {y}} _ {0}}$${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {2}}$

For hver utgangsbetingelse er det en ligning ( , ). ${\ displaystyle y_ {H} (0) = y_ {0}}$${\ displaystyle {\ dot {y}} _ {H} (0) = {\ dot {y}} _ {0}}$

Eksempel på en homogen GDGL med to reelle nuller og og innledende verdier ; : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} = - 0 {,} 5}$${\ displaystyle \ lambda _ {2} = - 1}$${\ displaystyle {\ dot {y}} _ {0} = 1}$${\ displaystyle y_ {0} = 1}$

Løsning av den homogene DGL 2. ordren: ${\ displaystyle y_ {H} (t)}$

${\ displaystyle y_ {H} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {- 0 {,} 5 \ cdot t} + C_ {2} \ cdot e ^ {- 1 \ cdot t}}$

Beregning av koeffisientene:

${\ displaystyle y_ {0} \ {\ xrightarrow {t = 0}} 1 = C_ {1} + C_ {2}}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} _ {0} {\ xrightarrow {d / dt}} 1 = C_ {1} \ cdot -0 {,} 5 \ cdot e ^ {- 0 {,} 5 \ cdot t} + C_ {2} \ times -1 \ times e ^ {- 1 \ times t}}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} _ {0} {\ xrightarrow {t = 0}} 1 = C_ {1} \ cdot -0 {,} 5 + C_ {2} \ cdot -1 = -0 { ,} 5 \ cdot C_ {1} -C_ {2}}$

Koeffisientene og kan bestemmes ut fra de to ligningene for og for . ${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle {\ dot {y}} _ {0}}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle C_ {1}}$${\ displaystyle C_ {2}}$

Merk: Den deriverte etter av IS . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle e ^ {- a \ cdot t}}$${\ displaystyle -a \ cdot e ^ {- a \ cdot t}}$

Tabell: De forskjellige typene løsninger på den kvadratiske ligningen , på grunn av størrelsen på diskriminanten , resulterer i tre forskjellige tilfeller av egenverdiene λ til GDGL som:

Løsning av den homogene lineære differensiallikningen av 2. orden med konstante koeffisienter	nullpunkt	Innledende verdiproblembestemmelse C1, C2
Radicand > 0: 2 ekte nuller ${\ displaystyle y_ {H} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {1} \ cdot t} + C_ {2} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {2} \ cdot t}}$	${\ displaystyle {\ lambda} _ {1; 2} = - {\ frac {a_ {1}} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ frac {{a_ {1}} ^ {2}} { 4}} - a_ {0}}}}$	${\ displaystyle C_ {1} = {\ frac {{\ dot {y}} _ {0} -y_ {0} \ cdot \ lambda _ {2}} {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2 }}} \,}$ ${\ displaystyle C_ {2} = y_ {0} -C_ {1} \,}$
Radicand = 0: 2 like nuller ${\ displaystyle y_ {H} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {1} \ cdot t} + C_ {2} \ cdot t \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {1} \ cdot t}}$	${\ displaystyle \ lambda = \ lambda _ {1; 2} = - {\ frac {a_ {1}} {2}}}$	${\ displaystyle C_ {1} = y_ {0} \,}$ ${\ displaystyle C_ {2} = {\ dot {y}} _ {0} -y_ {0} \ cdot \ lambda \,}$
Radicand <0: konjugerer komplekse nuller ${\ displaystyle y_ {H} (t) = e ^ {\ alpha \ cdot t} \ cdot [C_ {1} \ cdot \ cos (\ beta \ cdot t) + C_ {2} \ cdot \ sin (\ beta \ cdot t)]}$	${\ displaystyle {\ lambda} _ {1; 2} = \ alpha \ pm i \ cdot \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha = -a_ {1} / 2 \,}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ sqrt {a_ {0} - {\ frac {{a_ {1}} ^ {2}} {4}}}}}$	${\ displaystyle C_ {1} = {\ frac {{\ dot {y}} _ {0} - \ alpha \ cdot y_ {0}} {\ beta}}}$ ${\ displaystyle C_ {2} = y_ {0} \,}$

Beregningseksempel på løsningen av en 2. ordens GDGL med ekte nuller

* Homogen løsning av GDGL av en seriekobling av to PT1-elementer med startverdier.
* Spesiell løsning av GDGL for et inngangshopp.

Overføringsfunksjon til et dynamisk system som består av to PT1-elementer ${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {1} {(2 \ cdot s + 1) \ cdot (s + 1)}} = {\ frac {1} {2 \ cdot s ^ {2} +3 \ cdot s + 1}}}$ Tilknyttet systembeskrivende GDGL: ${\ displaystyle 2 \ cdot {\ ddot {y}} (t) +3 \ cdot {\ dot {y}} (t) + y (t) = u (t)}$ Den høyeste avledningen er valgfri: ${\ displaystyle {\ ddot {y}} (t) +1 {,} 5 \ cdot {\ dot {y}} (t) +0 {,} 5 \ cdot y (t) = 0 {,} 5 \ cdot u (t) \ qquad {\ text {koeffisienter:}} \ a_ {1} = 1 {,} 5 \ quad a_ {0} = 0 {,} 5 \ quad b_ {0} = 0 {,} 5 }$ Gitt: Tilfeldig valgte startverdier for energilagring (integratorer) ; ;${\ displaystyle y '_ {0} (t) = 1}$${\ displaystyle y_ {0} (t) = 1}$ Gitt: inngangsvariabelen er en standardisert trinnfunksjon for .${\ displaystyle u (t) = 1}$${\ displaystyle t> 0}$ Ønskes: Homogen løsning av GDGL og partikkeloppløsning :${\ displaystyle y_ {H} (t)}$${\ displaystyle y_ {p} (t)}$ For den homogene løsningen er satt.${\ displaystyle u (t) = 0}$ Beregnet i henhold til tabellen ovenfor for den homogene løsningen: Det er to virkelige nuller: ${\ displaystyle {\ lambda} _ {1} = - 0 {,} 5; \ quad {\ lambda} _ {2} = - 1}$ Beregnet: Integrasjonskonstantene beregnes i henhold til tabellen med ; .${\ displaystyle C_ {1} = 4}$${\ displaystyle C_ {2} = - 3}$ Analytisk homogen løsning i henhold til tabellen for to virkelige nuller: ${\ displaystyle y_ {H} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {1} \ cdot t} + C_ {2} \ cdot e ^ {{\ lambda} _ {2} \ cdot t} \ qquad \ to}$ det følger: Med de numeriske verdiene som er brukt, er den analytiske løsningen av den homogene GDGL: ${\ displaystyle {\ understreket {\ understrek {y_ {H} (t) = 4 \ cdot e ^ {- 0 {,} 5 \ cdot t} -3 \ cdot e ^ {- t}}}}}$ Partikkeloppløsning: Beregningen av systemresponsen til inngangs- og utgangsatferden ved hjelp av konvolusjonsintegralen er kompleks.${\ displaystyle y_ {p} (t)}$ Løsningen er enklere - som vist nedenfor - ved å bruke Laplace-transform.

Løsning ved hjelp av overføringsfunksjonen

Den generelle formen for en differensialligning med konstante koeffisienter for utgangsmengden og med inngangsmengden er: ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle u (t)}$

${\ displaystyle a_ {n} \ cdot y ^ {(n)} (t) + \ \ cdots \ + a_ {2} \ cdot {\ ddot {y}} (t) + a_ {1} \ cdot {\ punkt {y}} (t) + a_ {0} \ cdot y (t) = b_ {0} \ cdot u (t) + b_ {1} \ cdot {\ dot {u}} (t) + b_ { 2} \ cdot {\ ddot {u}} (t) + \ \ cdots \ + b_ {m} \ cdot u ^ {(m)} (t)}$.

Bruk av Laplace-differensieringsteorem til en GDGL resulterer i algebraiske ligninger med såkalte teller- og nevnerpolynomer. er den komplekse Laplace-variabelen som har en eksponent i stedet for rekkefølgen på et derivat. Den overføringsfunksjonen er definert som forholdet mellom utgangssignalet til inngangssignalet , hvor de opprinnelige verdiene i systemet er lik null. ${\ displaystyle s = \ delta + j \ cdot \ omega}$ ${\ displaystyle G (s)}$${\ displaystyle Y (s)}$${\ displaystyle U (s)}$

${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {b_ {m} s ^ {m} + \ dotsb + b_ {2} s ^ {2 } + b_ {1} s + b_ {0}} {a_ {n} s ^ {n} + \ dotsb + a_ {2} s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {0}}}}$.

Beregningen av tidsoppførselen til et overføringssystem fra overføringsfunksjonen utføres vanligvis for normaliserte inngangssignaler . For å beregne trinnresponsen med inngangssignalet blir begrepet multiplisert lagt til overføringsfunksjonen . Hvis sistnevnte ikke blir utført, oppnås impulsresponsen i stedet for trinnresponsen. ${\ displaystyle G (s)}$${\ displaystyle U (s)}$${\ displaystyle u (t) = 1 (t): = U (s): = {\ frac {1} {s}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {s}}}$

Overføringsfunksjon i polynomrepresentasjon, pol-null-representasjon og tidskonstantrepresentasjon:

Polene og nullene til overføringsfunksjonen er de viktigste parametrene for systematferden. Polene (nuller til nevnerpolynomet) er samtidig løsningen på systemet og bestemmer systemets tidsoppførsel. Nullene til tellerpolynomet påvirker bare amplitudene til systemresponsen.

${\ displaystyle {\ begin {align} G (s) & = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {b_ {m} s ^ {m} + \ dotsb + b_ {1} s + b_ {0}} {a_ {n} s ^ {n} + a_ {n-1} s ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {1} s + a_ {0}}} \\\\ & = k \ cdot {\ frac {(s-s_ {n1}) (s-s_ {n2}) \ dotsm (s-s_ {nm})} {(s-s_ {p1}) ( s-s_ {p2}) \ dotsm (s-s_ {pn})}} = K \ cdot {\ frac {(T_ {v1} \ cdot s + 1) (T_ {v2} \ cdot s + 1) \ cdots} {(T_ {1} \ cdot s + 1) (T_ {2} \ cdot s + 1) \ cdots}} \ end {justert}}}$

Løsningen oppnås ved delvis nedbrytning av produktrepresentasjonen til enkle tilsetningsbetingelser, som lett kan omdannes til tidsdomenet. Den delvise brøkdelingen av overføringsfunksjoner av høyere orden er ikke alltid lett, spesielt når det er komplekse konjugerte nuller.

Alternativt kan Laplace-transformasjonstabeller brukes, som inneholder de vanligste tilsvarende ligningene i tidsdomenet.

Partikkeloppløsning av 2. ordens GDGL ved hjelp av Laplace-transformasjonen

Den spesielle løsningen beskriver overføringsatferden til systemet som en funksjon av inngangssignalet og er vanligvis av primær interesse. Startbetingelsene og har verdien 0.${\ displaystyle u (t)}$${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle {\ dot {y}} _ {0}}$

Løsning av gitt GDGL 2. ordre:

${\ displaystyle {\ ddot {y}} (t) + a_ {1} \ cdot {\ dot {y}} (t) + a_ {0} \ cdot y (t) = b_ {0} \ cdot u ( t)}$.

Overføringsfunksjonen til et system oppstår i henhold til differensieringsteoremet ved å bytte de tidsavhengige vilkårene til en GDGL med Laplace-transformasjonen. Forutsetningen er at starttilstanden til systemet er null. Avhengig av graden av derivater av en funksjon y (t), oppstår følgende Laplace-transformasjoner Y (s) etter transformasjonen:

${\ displaystyle s ^ {2} \ cdot Y (s) + a_ {1} \ cdot s \ cdot Y (s) + a_ {0} \ cdot Y (s) = b_ {0} \ cdot U (s) }$

Med de transformerte vilkårene kan overføringsfunksjonen til det dynamiske systemet G (s) settes opp:

${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y} {U}} (s) = {\ frac {b_ {0}} {s ^ {2} + a_ {1} \ cdot s + a_ {0} }}}$

Polynomer av en overføringsfunksjon er delt inn i lineære faktorer (grunnleggende polynomer: monomial, binomial og trinomial) ved å bestemme nuller. Hvis numeriske verdier av koeffisientene til en 2. ordens overføringsfunksjon er tilgjengelige, kan polene (= nuller i nevneren til overføringsfunksjonen) bestemmes ved hjelp av den kjente formelen for å løse en blandet kvadratisk ligning.

På grunn av de forskjellige typene løsninger på polene, på grunn av størrelsen på radikanen til den kvadratiske ligningen, er det tre forskjellige tilfeller av egenverdiene (av polene ) til overføringsfunksjonen. Følgende er en samsvarstabell mellom s-området og tidsområdet for et transformert inngangshopp . ${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle s_ {pi}}$${\ displaystyle Y (s) = U (s) \ cdot G (s)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle u (t) = 1 (t) \ to \ U (s): = 1 / s}$

Følgende grunnleggende polynomer (binomaler og trinomier for komplekse konjugerte poler) oppstår avhengig av nuller. Løsningene til overføringen fungerer som trinnresponser i tidsdomenet er hentet fra en Laplace-transformasjonstabell:

Laplace-transformasjonstabellene kan gis i to former for produktrepresentasjon, hvor forskjellige faktorer a ₀ og K må tas i betraktning. Konverteringen av pol-null-representasjonen til tidskonstant-representasjonen er enkel, de er algebraisk identiske. . ${\ displaystyle T_ {i} = 1 / {s_ {pi}}}$

Pole-zero representasjon (stabilt system) og tidskonstant representasjon:

${\ displaystyle G (s) = {\ frac {a_ {0}} {(s + s_ {p1}) \ cdot (s + s_ {p2})}} = {\ frac {K} {(T_ {1 } \ cdot s + 1) \ cdot (T_ {2} \ cdot s + 1)}}}$

Tabell: Beregning av trinnresponsene til et 2. ordens overføringssystem avhengig av poltypene:${\ displaystyle y (t)}$

Trinnrespons PT2-element:
* 1): 2 virkelige poler,
* 2): 2 konjugerte komplekse poler.

f (s) 2. ordens overføringsfunksjon inngang hopp u (t) = 1: = multiplikasjon med 1 / s	f (t) Partikuløs løsning Trinnrespons i tidsdomenet	Bestemmelse av polene og fra polynomrepresentasjonen ${\ displaystyle s_ {p1}}$${\ displaystyle s_ {p2}}$
2 ekte stolper: ${\ displaystyle Y (s) = {\ frac {1} {s \ cdot (T_ {1} \ cdot s + 1) \ cdot (T_ {2} \ cdot s + 1)}}}$	${\ displaystyle y (t) = 1 - {\ frac {1} {T_ {1} -T_ {2}}} \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot \ left (T_ {1} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {T_ {1}}}} - {T_ {2} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {T_ {2}}}} \ høyre)}$	${\ displaystyle s_ {p1; 2} = - {\ frac {a_ {1}} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ frac {{a_ {1}} ^ {2}} {4}} - a_ {0}}}}$ ${\ displaystyle T_ {1} = - {\ frac {1} {s_ {p1}}} \ quad T_ {2} = - {\ frac {1} {s_ {p2}}}}$
2 identiske stolper: ${\ displaystyle Y (s) = {\ frac {1} {s \ cdot (T \ cdot s + 1) ^ {2}}}}$	${\ displaystyle y (t) = 1 - {\ frac {T + t} {T}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {T}}}}$	${\ displaystyle s_ {p1} = s_ {p2} = - {\ frac {a_ {1}} {2}}}$ ${\ displaystyle T = - {\ frac {1} {s_ {p}}}}$
Konjugerer komplekse stolper: ${\ displaystyle Y (s) = {\ frac {{\ omega _ {0}} ^ {2}} {s \ cdot (s ^ {2} +2 \ cdot D \ cdot \ omega _ {0} \ cdot s + {\ omega _ {0}} ^ {2})}} \ quad {\ text {eller:}}}$ ${\ displaystyle Y (s) = {\ frac {1} {s \ cdot (T ^ {2} \ cdot s ^ {2} +2 \ cdot D \ cdot T \ cdot s + 1)}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ text {undampet vinkelfrekvens}}, \ quad T = 1 / \ omega _ {0}}$	${\ displaystyle y (t) = 1 - {\ frac {1} {\ sqrt {1-D ^ {2}}}} \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot e ^ {- D \ cdot \ omega _ {0} \ cdot t} \ cdot \ sin (\ omega _ {d} \ cdot t + \ phi)}$ ${\ displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} \ cdot {\ sqrt {1-D ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ phi = \ arccos (D)}$	${\ displaystyle s_ {p1; 2} = - D \ cdot \ omega _ {0} \ pm j \ omega _ {0} \ cdot {\ sqrt {1-D ^ {2}}}}$ Demping D:${\ displaystyle \ quad -1 <D <1}$ ${\ displaystyle D = {\ frac {a_ {1}} {2 \ cdot {\ sqrt {a_ {0}}}}}}$

Hvis det gjelder de to virkelige nullene i ligningen for , vil en divisjon med null resultere , noe som ikke er tillatt. Nuller er allerede ansett som "forskjellige" nuller hvis de skiller seg i en teoretisk uendelig desimalplass for en verdi. ${\ displaystyle f (t) \ to T_ {1} = T_ {2}}$${\ displaystyle 1 / (T_ {1} -T_ {1})}$

Den generelle løsningen på en GDGL er et resultat av superposisjonen til systemresponsene på de innledende forholdene og på inngangssignalet:

${\ displaystyle y (t) = y_ {H} (t) + y_ {P} (t)}$

Den spesielle løsningen til GDGL refererer til det faktum at startverdiene er lik null og inngangssignalet er. Det kan bestemmes fra overføringsfunksjonen ved å underkaste differensiallikningen en Laplace-transformasjon. ${\ displaystyle y_ {0}; \ {\ dot {y}} _ {0}; \ {\ ddot {y}} _ {0} \ dots}$${\ displaystyle u (t) \ neq 0}$${\ displaystyle G (s)}$

Beregningseksempel på partikkeloppløsningen til en 2. ordens GDGL med transformasjonstabellen Laplace

Gitt: Inngangssignal: trinnfunksjon .${\ displaystyle U (s) = 1 / s}$ Overføringsfunksjon til systemet: ${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {1} {(2 \ cdot s + 1) \ cdot (s + 1)}} \ qquad T_ {1} = 2; \, T_ {2} = 1}$ Ønsket: Partikkelløsning for den gitte overføringsfunksjonen:${\ displaystyle y_ {P} (t)}$ Søkeord for transformasjonstabellen Laplace: ${\ displaystyle {Y (s)} = {\ frac {U (s)} {(2 \ cdot s + 1) \ cdot (s + 1)}} = {\ frac {1} {s \ cdot (2 \ cdot s + 1) \ cdot (s + 1)}} \ qquad T_ {1} = 2; \, T_ {2} = 1}$ Regnet ut: Den analytiske ligningen funnet for partikkeloppløsningen i henhold til transformasjonstabellen ved å angi koeffisientene er:${\ displaystyle f (t)}$ ${\ displaystyle y_ {p} (t) = 1 - {\ frac {1} {T_ {1} -T_ {2}}} \ cdot [T_ {1} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {T_ {1}}}} - T_ {2} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {T_ {2}}}}}}$. Numeriske verdier av tidskonstantene brukes: ${\ displaystyle {\ understreket {\ understrek {y_ {p} (t) = \ 1- [2 \ cdot {e ^ {- {\ frac {t} {2}}} - e ^ {- t}}] }}}}$. For en grafisk fremstilling av partikkeloppløsningen, se det nest siste bildet.

Merk: Hvis utgangsvariabelen til et overføringssystem inneholder vibrasjonskomponenter, oppstår komplekse trigonometriske ligninger fra transformasjonstabellene.

Løse lineære ordinære differensialligninger ved hjelp av numerisk beregning

Forskjellsprosedyre

Trinnresponser av et PT1-element av bakover- og fremoverforskjellkvotientmetodene

En lineær ordinær differensialligning (GDGL) med konstante koeffisienter, som beskriver et dynamisk system med et inngangssignal og et utgangssignal, blir konvertert til en differensligning i henhold til differansemetoden ved å erstatte differansekvotientene til GDGL med differenskvotienter .

En forskjellsligning er en numerisk løselig rekursiv beregningsregel for en diskret definert sekvens av nummererte påfølgende elementer eller støttepunkter ved et stort sett konstant intervall eller i tilfelle tidsavhengige systemer . ${\ displaystyle y_ {k}}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta t}$

Ved utveksling av differensialkvotienten med en differenskvotient oppstår automatisk den rekursive oppførselen til differensligningen, der, avhengig av rekkefølgen, hvert nåværende etterfølgerelement forholder seg til en eller flere tidligere etterfølgere. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y_ {k}}$

Den numeriske systemløsningen til systemet finner sted - med enkle forskjellsligninger - rekursivt (kaller seg selv) via mange beregningssekvenser i stort sett små konstante tidstrinn. Formen på den samlede løsningen er således i en tabell for verdiene som er søkt (støttepunkt, node) til en funksjonskurve over tid . ${\ displaystyle k = (0,1,2,3, \ dots, k _ {\ mathrm {max}})}$${\ displaystyle y _ {(k)}}$${\ displaystyle \ Delta t}$

Den enkleste og eldste en-trinns metoden er den eksplisitte Euler-metoden . Den ett-trinns fremgangsmåter innbefatter den implisitte Euler-metoden , forskjellen metode , Runge-Kutta metode , og Heun metode . I flertrinnsprosessen blir informasjonen dannet fra de tidligere beregnede støttepunktene.

Numerisk beregning av vanlige differensiallikninger i henhold til den normale kontrollformen for statens romrepresentasjon

Signalflytdiagram over det normale kontrollskjemaet for et PT2-svingningselement

Selv anvendelsen av differansemetoden for 2. ordens GDGL krever betydelig algebraisk innsats. Startverdier kan ikke behandles. ${\ displaystyle y_ {0}> 0}$

Ved hjelp av signalflytdiagrammet for tilstandsromrepresentasjonen # Normal kontrollform , kan GDGLer av dynamiske systemer av høyere orden enkelt løses. Den systembeskrivende GDGL er eksplisitt representert (ordnet i henhold til det høyeste derivatet y (t)) i et signalflytskjema, med antall derivater av y (t) som bestemmer antall integratorer.

Eksempel på en 2. ordens GDGL av et dynamisk system:

${\ displaystyle a \ cdot y '' (t) + b \ cdot y '(t) + c \ cdot y (t) = u (t); \ qquad \ qquad {\ text {u (t) = normalisert hopp 1 (t)}}}$

• Hvis ligningen inneholder to virkelige negative poler, er det to forsinkelseselementer (PT1-elementer).
• Hvis ligningen inneholder et komplekst konjugatpol, er det en vibrasjonslenke .${\ displaystyle PT2_ {kk}}$

For anvendelse av det normale kontrollskjemaet er den høyeste avledningen av GDGL igjen, og ligningen er delt av koeffisienten a.:

${\ displaystyle y '' (t) = {\ frac {b} {a}} \ cdot y '(t) + {\ frac {c} {a}} \ cdot y (t) = {\ frac {1 } {a}} \ cdot {u} (t)}$

Dette signalflytskjemaet til det normale kontrollskjemaet for hvilken som helst ordre kan enkelt beregnes numerisk. For hver avledning av GDGL, må en differens ligning av integrasjonen (I term) med de tilknyttede koeffisientene beregnes numerisk. Hver integrasjon av et derivat reduseres negativt til verdien av det høyeste derivatet med de tilknyttede koeffisientene som en tilstandsvariabel .

Hvis de opprinnelige verdiene er gitt, settes integratorene direkte til de opprinnelige verdiene, dvs. tabellrekkefølgen til de numerisk beregnede integratorene starter med de opprinnelige verdiene. Vanligvis er det der . ${\ displaystyle u (t) = 0}$

${\ displaystyle \ to}$ Se fullstendige detaljer med anvendelse av differensligning (differensmetode)

programvare

Noen CAS kan løse differensialligninger, f.eks. B.:

• Uttrykk inBar: desolve (y '= b * ya, y)
• Maple : dsolve
• SageMath : desolve
• Xcas : desolve (y '= k * y, y)

Se også

• Delvis differensialligning
• Innledende verdiproblem
• Grenseverdiproblem

litteratur

• Herbert Amann: Ordinære differensiallikninger , 2. utgave, Gruyter - de Gruyter lærebøker, Berlin New York, 1995, ISBN 3-11-014582-0
• Bernd Aulbach: Ordinære differensiallikninger , Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
• Harro Heuser: Ordinære differensiallikninger , Teubner, mars 2004, ISBN 3-519-32227-7
• Edward Lincey Ince: The Integration of Ordinary Differential Equations , Dover Publications, 1956, ISBN 0-486-60349-0
• Wolfgang Walter: Vanlige differensiallikninger , Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2

Individuelle bevis

1. ↑ May-Britt Kallenrode, Universitetet i Osnabrück, Institutt for fysikk: Forelesningsnotater “Matematikk for fysikere”, kapittel: “Ordinære differensiallikninger”, 611 sider, utgitt i 2007.
2. Iver Oliver Nelles, University of Siegen: Lecture Concept Measuring and Control Engineering I, Chapter: "Laplace Transformation", 446 sider fra 8. oktober 2009.
3. ↑ Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Lommebok for styringsteknikk med MATLAB og Simulink. 12. utgave. Verlag Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6 . Se kapittel: "Normale former for overføringssystemer"
4. ↑ Uttrykk i bar. Hentet 17. mai 2020 . 
5. ^ Dsolve - Maple Programming Help. Hentet 17. mai 2020 . 
6. ↑ Grunnleggende algebra og kalkulus - Sage Tutorial v9.0. Hentet 17. mai 2020 . 
7. ^ Symbolsk algebra og matematikk med Xcas. Hentet 17. mai 2020 .