Representasjonsteori

I representasjonsteorien blir elementer av grupper eller, mer generelt, av algebras kartlagt på lineære kartlegginger av vektorrom ( matriser ) ved hjelp av homomorfismer .

Representasjonsteori har anvendelser på nesten alle områder av matematikk og teoretisk fysikk . En representasjonsteori fra Robert Langlands var et viktig skritt for Andrew Wiles bevis på Fermats store teori , og representasjonsteori ga også den teoretiske bakgrunnen for prediksjonen om at det eksisterer kvarker . Representasjonen ved hjelp av matriser er også ofte nyttig for den rent algebraiske undersøkelsen av grupper eller algebraer.

Typer representasjoner

Klassisk handlet representasjonsteori om homomorfismer for grupper og vektorrom (der den generelle lineære gruppen angir ovenfor ), se

Representasjonsteorien om ringer og algebraer anses som mer generelt, som inneholder representasjonsteorien for grupper som et spesielt tilfelle (fordi hver representasjon av en gruppe induserer en representasjon av grupperingen )

I fysikk, i tillegg til de diskrete gruppene av faststoffysikk , er representasjoner av Lie-grupper spesielt viktige, for eksempel når det gjelder den roterende gruppen og gruppene i standardmodellen . Her krever man også at representasjoner skal være glatte homomorfier , se

De Lizzie settene tilveiebringe en korrespondanse mellom representasjoner av Lie grupper og de induserte representasjoner av dens Lie algebra . For representasjonsteorien til Lie algebras se

Lie-algebraer er ikke assosiative, og det er derfor deres representasjonsteori ikke er et spesielt tilfelle av representasjonsteorien om assosiative algebraer. Men man kan tildele hver Lie-algebra sin universelle omsluttende algebra , som er en assosiativ algebra.

Med Banach - * - algebraer som C * -algebraer eller gruppealgebraer blir Hilbert-rom naturlig brukt som vektorrom for representasjoner av disse algebraene , se

Enkle konsepter

I det følgende vil en gruppe, løgngruppe eller algebra og en representasjon av , dvs. en gruppe, løgngruppe eller algebrahomomorfisme inn i algebraen til de lineære kartleggingen av et vektorrom (hvis bilde i tilfelle av grupper eller løgngrupper Isomorfismer ligger selvfølgelig til og med i).

Den vektor romdimensjon av en dimensjon av utpekt. Endedimensjonale representasjoner kalles også matriserepresentasjoner , fordi hvert element kan skrives som en matrise ved å velge en vektorromsgrunnlag . Injiserende fremstillinger kalles trofaste .

To representasjoner og kalles ekvivalente hvis det er en vektorromisomorfisme med for alle . Man skriver også forkortet for dette . Den således definerte ekvivalensen er en ekvivalensrelasjon på klassen av alle representasjoner. Konseptualiseringene i representasjonsteorien er utformet på en slik måte at de beholdes når man bytter til en tilsvarende representasjon, dimensjon og troskap er første eksempler.

Delvis representasjoner

Vær en representasjon. Et underområde kalles invariant (mer presist -variant), hvis for alle .

Det er det tilsynelatende

igjen en representasjon av , som kalles begrensningen av til og betegnes med.

Hvis et underområde er for komplementært og også er uforanderlig, gjelder følgende , der ekvivalensen formidles av isomorfismen .

Direkte summer

Are og to representasjoner, så definert

igjen en representasjon av , med komponentmessig drift av den direkte summen , dvs. for alle . Denne representasjonen kalles den direkte summen av og og betegner den med .

Denne konstruksjonen kan generaliseres for direkte summer av et hvilket som helst antall sommerer. Er en familie av representasjoner, så også

.

Ureduksjonsevne, fullstendig reduserbarhet, reduksjon

En representasjon kalles irredusibel hvis det ikke er andre invariante underområder av bortsett fra og . For en tilsvarende karakterisering, se Schurs Lemma . En representasjon sies å være fullstendig reduserbar hvis den tilsvarer en direkte sum av irredusible representasjoner. “Produktet” (bedre: tensorprodukt ) av to (irredusible) representasjoner er generelt reduserbare og kan “reduseres” i henhold til komponenter i de irredusible representasjonene, med spesielle koeffisienter som f.eks. B. Clebsch-Gordan-koeffisientene for vinkelmomentfysikk oppstår. Dette er et spesielt viktig aspekt for anvendelser i fysikk.

historie

På 1700- og 1800-tallet skjedde representasjonsteori og harmonisk analyse (i form av nedbrytning av funksjoner i multiplikative tegn ) abelske grupper som , eller for eksempel i forbindelse med Euler-produkter eller Fourier-transformasjoner . Ved å gjøre det jobbet man ikke med representasjonene, men med deres multiplikative tegn. I 1896 definerte Frobenius først (uten å eksplisitt henvise til representasjoner) et begrep med multiplikative tegn også for ikke-abelske grupper, Burnside og Schur utviklet deretter definisjonene sine på grunnlag av matriksrepresentasjoner, og Emmy Noether ga til slutt den nåværende definisjonen, hovedsakelig ved hjelp av lineære kart. et vektorrom, som senere muliggjorde undersøkelsen av uendelige dimensjoner som kreves i kvantemekanikken.

Rundt 1900 ble representasjonsteorien for symmetriske og vekslende grupper utarbeidet av Frobenius og Young. I 1913 beviste Cartan Theorem of Most Weight , som klassifiserer de irredusible representasjonene av komplekse semi-enkle Lie-algebraer. Schur observert i 1924 at man kan bruke invariant integrasjon for å forlenge den representasjon teorien om endelige grupper til kompakte grupper. Weyl deretter utviklet representasjon teorien av kompakte, tilkoblede Lie grupper. Eksistensen og unikheten til Haar-tiltaket , som bevist av Haar og von Neumann, tillot at denne teorien ble utvidet til å omfatte kompakte topologiske grupper tidlig på 1930-tallet. Videre utvikling gjaldt da anvendelsen av representasjonsteori for lokalt kompakte grupper som Heisenberg-gruppen i kvantemekanikk, teorien om lokalt kompakte abeliske grupper med anvendelser i algebraisk tallteori (harmonisk analyse på Adelen ) og senere Langlands-programmet .

litteratur

  • Etingof, Golberg, Hensel, Liu, Schwendner, Vaintrob, Yudovina: Introduction to Representation Theory . AMS, 2011. ISBN 978-0-8218-5351-1 .
  • Roe Goodman, Nolan R. Wallach: Symmetri, representasjoner og invarianter. (= Graduate Texts in Mathematics. 255). Springer, Dordrecht 2009, ISBN 978-0-387-79851-6 .
  • Brian C. Hall: Løgnegrupper, Lie-algebraer og representasjoner. En elementær introduksjon. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9 .
  • Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representasjoner av kompakte Lie-grupper. (= Graduate Texts in Mathematics. 98). Oversatt fra det tyske manuskriptet. Korrigert opptrykk av 1985-oversettelsen. Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-13678-9 .
  • JL Alperin, Rowen B. Bell: Grupper og representasjoner. (= Graduate Texts in Mathematics. 162). Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94525-3 .
  • William Fulton, Joe Harris: Representasjonsteori. Et første kurs. (= Graduate Texts in Mathematics. 129). Lesing i matematikk. Springer-Verlag, New York 1991, ISBN 0-387-97527-6 ; 0-387-97495-4
  • VS Varadarajan: Løgnegrupper, Lie-algebraer og deres representasjoner. (= Graduate Texts in Mathematics. 102). Opptrykk av 1974-utgaven. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 0-387-90969-9 .
  • James E. Humphreys: Introduksjon til Lie-algebraer og representasjonsteori. (= Graduate Texts in Mathematics. 9). Andre opplag, revidert. Springer-Verlag, New York / Berlin 1978, ISBN 0-387-90053-5 .
  • Charles W. Curtis: Pionerer innen representasjonsteori: Frobenius, Burnside, Schur og Brauer. (= Matematikkens historie. 15). American Mathematical Society, Providence, RI / London Mathematical Society, London 1999, ISBN 0-8218-9002-6 .

weblenker

Om historien om representasjonsteori:

  • Anthony W. Knapp: Grupperepresentasjoner og harmonisk analyse fra Euler til Langlands. I: Notices of the American Mathematical Society. 43, 4, 1996, del 1 ; 43, 5, 1996, del 2 .

Individuelle bevis

  1. Introduksjon til Knapp ( op.cit. )
  2. Del 2 av Knapp (op.cit.)