Symmetrisk matrise

Symmetri mønster av en symmetrisk (5 × 5) matrise

I matematikk, en symmetrisk matrise er en kvadratisk matrise hvis innganger er speilsymmetriske i forhold til hoveddiagonalen . En symmetrisk matrise tilsvarer derfor den transponerte matrisen .

Den summen av to symmetriske matriser, og hver skalar multiplum av en symmetrisk matrise er igjen symmetrisk. Settet med symmetriske matriser av fast størrelse danner derfor et underområde av det tilhørende matriksrommet . Hver firkantet matrise kan tydelig skrives som summen av en symmetrisk og en skjev-symmetrisk matrise . Det produkt av to symmetriske matriser er symmetrisk hvis og bare hvis de to matrisene pendle . Produktet av en hvilken som helst matrise med dens transponering resulterer i en symmetrisk matrise.

Symmetriske matriser med reelle oppføringer har en rekke andre spesielle egenskaper. En ekte symmetrisk matrise er alltid selvtilstøtende , den har bare virkelige egenverdier, og den er alltid ortogonalt diagonaliserbar . I generelt, disse egenskapene ikke gjelder for komplekse symmetriske matriser; tilsvarende motstykker er det hermitiske matriser . En viktig klasse av virkelige symmetriske matriser er positive bestemte matriser der alle egenverdier er positive.

I lineær algebra brukes symmetriske matriser for å beskrive symmetriske bilineære former . Den representasjon matriks av en selv adjungerte kartlegging med hensyn på en ortonormal basis er også alltid symmetrisk. Lineære ligningssystemer med en symmetrisk koeffisientmatrise kan løses effektivt og numerisk stabilt . Videre brukes symmetriske matriser i ortogonale projeksjoner og i polær nedbrytning av matriser.

Symmetriske matriser har anvendelser i blant annet geometri , analyse , grafteori og stokastikk .

Tett knyttet til matriser er andreordens tensorer , som er et viktig matematisk hjelpemiddel innen naturvitenskap og ingeniørfag, spesielt i kontinuummekanikk , se #Symmetriske tensorer .

definisjon

En firkantet matrise over en kropp kalles symmetrisk hvis den er innført ${\ displaystyle A = (a_ {ij}) \ in K ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle a_ {ij} = a_ {ji}}$

for gjelder. En symmetrisk matrise er derfor speil-symmetrisk med hensyn til dens hoveddiagonal , det vil si at den gjelder ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, n}$

${\ displaystyle A = A ^ {T}}$,

hvor betegner den transponerte matrisen . ${\ displaystyle A ^ {T}}$

Eksempler

Eksempler på symmetriske matriser med reelle oppføringer er

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \ end {pmatrix}}}$.

Vanligvis symmetriske matriser ha den størrelse , og struktur ${\ displaystyle 2 \ times 2}$${\ displaystyle 3 \ times 3}$${\ displaystyle 4 \ times 4}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & c \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} a & b & c & d \\ b & e & f & g \\ c & f & h & i \\ d & g & i & j \ end {pmatrix}}}$.

Klasser av symmetriske matriser av alle størrelser er blant andre

• Diagonale matriser , spesielt standardmatriser ,
• faste firkantede matriser, for eksempel firkantede nullmatriser og enkeltmatriser ,
• Hankel-matriser der alle motdiagonaler har konstante oppføringer, f.eks. Hilbert-matriser ,
• bisymmetriske matriser som er symmetriske med hensyn til både hoveddiagonalen og den motsatte diagonalen.

kjennetegn

Innganger

Med en symmetrisk matrise er det bare oppføringene på og under diagonalen som må lagres

På grunn av symmetrien er en symmetrisk matrise tydelig preget av sine diagonale oppføringer og oppføringene under (eller over) diagonalene. En symmetrisk matrise har derfor på det meste ${\ displaystyle A \ in K ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ tfrac {n (n-1)} {2}}}$

${\ displaystyle n + {\ frac {n (n-1)} {2}} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}$

forskjellige oppføringer. Til sammenligning kan en ikke-symmetrisk matrise ha opptil forskjellige oppføringer, dvs. nesten dobbelt så mange for store matriser. Det er derfor spesielle lagringsformater for lagring av symmetriske matriser i datamaskinen som benytter seg av denne symmetrien.${\ displaystyle (n \ ganger n)}$${\ displaystyle n ^ {2}}$

Total

Den summen av to symmetriske matriser er alltid symmetrisk igjen, fordi ${\ displaystyle A + B}$${\ displaystyle A, B \ in K ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle (A + B) ^ {T} = A ^ {T} + B ^ {T} = A + B}$.

På samme måte er produktet av en symmetrisk matrise med en skalar igjen symmetrisk. Siden nullmatrisen også er symmetrisk, danner settet med symmetriske matriser et underområde${\ displaystyle cA}$${\ displaystyle c \ in K}$${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle \ operatorname {Symm} _ {n} = \ {A \ in K ^ {n \ times n} \ mid A ^ {T} = A \}}$

av matrisen . Dette delrom har den dimensjon , karakterisert ved at standard-formene , og , i en basisform. ${\ displaystyle K ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {n ^ {2} + n} {2}}}$ ${\ displaystyle E_ {ii}}$${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$${\ displaystyle E_ {ij} + E_ {ji}}$${\ displaystyle 1 \ leq i <j \ leq n}$

Demontering

Hvis egenskapen til kroppen ikke er lik 2, kan en hvilken som helst kvadratmatrise skrives unikt som summen av en symmetrisk matrise og en skjev-symmetrisk matrise av ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle M \ in K ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle M = A + B}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} (M + M ^ {T})}$   og   ${\ displaystyle B = {\ frac {1} {2}} (MM ^ {T})}$

å bli stemt. De skjev-symmetriske matrisene danner da også et undervektorrom av matriksrommet med dimensjon . Hele det dimensjonale rommet kan følgelig uttrykkes som en direkte sum${\ displaystyle \ operatorname {Skew} _ {n}}$${\ displaystyle {\ tfrac {n ^ {2} -n} {2}}}$${\ displaystyle n ^ {2}}$${\ displaystyle K ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle K ^ {n \ times n} = \ operatorname {Symm} _ {n} \ oplus \ operatorname {Skew} _ {n}}$

av mellomrommene til symmetriske og skjev-symmetriske matriser.

produkt

Det produkt av to symmetriske matriser er i alminnelighet ikke symmetriske igjen. Produktet av symmetriske matriser er symmetrisk hvis og bare hvis og pendler , dvs. hvis holder, for da resulterer det ${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle A, B \ in K ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle AB = BA}$

${\ displaystyle (AB) ^ {T} = B ^ {T} A ^ {T} = BA = AB}$.

Spesielt for en symmetrisk matrise er alle dens krefter med og derfor også dens matriseeksponentielle igjen symmetriske. For enhver matrise er både matrisen og matrisen alltid symmetrisk. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {k}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle e ^ {A}}$${\ displaystyle M \ in K ^ {m \ times n}}$${\ displaystyle m \ times m}$${\ displaystyle MM ^ {T}}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle M ^ {T} M}$

sammenfallende

Enhver matrise som er kongruent til en symmetrisk matrise er også symmetrisk fordi den holder ${\ displaystyle B \ in K ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A \ in K ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle B ^ {T} = (S ^ {T} AS) ^ {T} = S ^ {T} A ^ {T} S = S ^ {T} AS = B}$,

hvor er den tilhørende transformasjonsmatrisen. Matriser som ligner på en symmetrisk matrise, trenger imidlertid ikke nødvendigvis å være symmetriske også. ${\ displaystyle S \ in K ^ {n \ times n}}$

Omvendt

Hvis en symmetrisk matrise er inverterbar , er dens inverse også symmetrisk igjen, fordi den holder ${\ displaystyle A \ in K ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (A ^ {- 1}) ^ {T} = (A ^ {T}) ^ {- 1} = A ^ {- 1}}$.

For en vanlig symmetrisk matrise derfor alle krefter er med symmetrisk igjen. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {- k}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$

Ekte symmetriske matriser

Symmetriske matriser med reelle oppføringer har en rekke andre spesielle egenskaper.

normalitet

En ekte symmetrisk matrise er alltid normal fordi den holder ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle A ^ {T} A = AA = AA ^ {T}}$.

Hver ekte symmetrisk matrise pendler med transponeringen. Imidlertid er det også vanlige matriser som ikke er symmetriske, for eksempel skjev-symmetriske matriser.

Selvtilknytning

En ekte symmetrisk matrise henger alltid sammen , fordi den holder med det virkelige standard skalære produktet${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle Axe, y \ rangle = (Ax) ^ {T} y = x ^ {T} A ^ {T} y = x ^ {T} Ay = \ langle x, Ay \ rangle}$

for alle vektorer . Det omvendte er også sant, og hver ekte selvtilhørende matrise er symmetrisk. Betraktet som en kompleks matrise, er en ekte symmetrisk matrise alltid Hermitian fordi den holder ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle A ^ {H} = {\ bar {A}} ^ {T} = A ^ {T} = A}$,

hvor den tilgrensende matrisen til og den konjugerte matrisen skal være. Dermed er ekte symmetriske matriser også selvtilknyttede med hensyn til det komplekse standard skalære produktet . ${\ displaystyle A ^ {H}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ bar {A}}}$${\ displaystyle A}$

Eigenverdier

Enhetssirkelen (blå) blir transformert til en ellipse (grønn) av en ekte symmetrisk (2 × 2) matrise. Halvaksene til ellipsen (rød) tilsvarer mengden av egenverdiene til matrisen.

De Verdiene til en ekte symmetrisk matrise , dvs. de løsninger til egenverdiligning , alltid er ekte. Nemlig , et kompleks av eigenverdi med den tilsvarende egenvektor , deretter avgis det komplekse egen adjointness av${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle Ax = \ lambda x}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda \ langle x, x \ rangle = \ langle x, \ lambda x \ rangle = \ langle x, Ax \ \ rangle = \ langle Ax, x \ rangle = \ langle \ lambda x, x \ rangle = { \ bar {\ lambda}} \ langle x, x \ rangle}$.

Etter for er må den holde og egenverdien må derfor være reell. Av dette følger det at den tilknyttede egenvektoren kan velges for å være reell. ${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle \ neq 0}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle \ lambda = {\ bar {\ lambda}}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle x}$

Multiplikasjoner

I hver ekte symmetrisk matrise samsvarer de algebraiske og geometriske multiplene av alle egenverdier. Hvis nemlig er egenverdi av med geometriske, multiplisitet , så er det en ortonormal basis av den eigenspace av som kan suppleres med til en ortonormal basis av den totale plassen . Med den ortogonale basiske transformasjonsmatrisen oppnås den transformerte matrisen ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {k} \}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ {x_ {k + 1}, \ ldots, x_ {n} \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle S = (x_ {1} \ mid \ cdots \ mid x_ {n})}$

${\ displaystyle C = S ^ {- 1} AS = S ^ {T} AS = \ left ({\ begin {array} {c | c} \ lambda I & 0 \\\ hline 0 & X \ end {array}} \ right )}$

som en blokk diagonal matrise med blokkene og . For oppføringene av med , nemlig med selvtilknytningen av og ortonaliteten til basisvektorene${\ displaystyle \ lambda I \ in \ mathbb {R} ^ {k \ times k}}$${\ displaystyle X \ in \ mathbb {R} ^ {(nk) \ times (nk)}}$${\ displaystyle c_ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ min \ {i, j \} \ leq k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ displaystyle c_ {ij} = \ langle x_ {i}, Ax_ {j} \ rangle = \ langle Ax_ {i}, x_ {j} \ rangle = \ lambda \ langle x_ {i}, x_ {j} \ rangle = \ lambda \ delta _ {ij}}$,

hvor betegner den Kronecker delta . Siden det antas at det ikke er egenvektorer for egenverdien til , kan det ikke være en egenverdi av . I følge bestemmelsesformelen for blokkmatriser har matrisen derfor egenverdien nøyaktig med algebraisk mangfold, og på grunn av likheten mellom de to matrisene, med den .${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle x_ {k + 1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$

Diagonaliserbarhet

Siden algebraiske og geometriske multipler av alle egenverdier samsvarer i en ekte symmetrisk matrise, og siden egenvektorer alltid er lineært uavhengige av forskjellige egenverdier , kan det dannes et grunnlag for fra egenvektorer av . Derfor er en ekte symmetrisk matrise alltid diagonaliserbar , det vil si at det er en vanlig matrise og en diagonal matrise slik at ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle D \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle S ^ {- 1} AS = D}$

gjelder. Matrisen har egenvektorene som kolonner, og matrisen har egenverdiene assosiert med disse egenvektorene på diagonalen . Ved permutering av egenvektorene kan rekkefølgen på de diagonale oppføringene velges som ønsket. Derfor er to virkelige symmetriske matriser lik hverandre hvis og bare hvis de har de samme egenverdiene. Videre kan to virkelige symmetriske matriser diagonaliseres samtidig hvis og bare hvis de pendler. ${\ displaystyle S = (x_ {1} \ mid \ cdots \ mid x_ {n})}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n})}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$${\ displaystyle D}$

Orthogonal diagonaliserbarhet

I en symmetrisk matrise er egenvektorene (blå og fiolett) med forskjellige egenverdier (her 3 og 1) vinkelrett på hverandre. Ved hjelp av matrisen strekkes blå vektorer med en faktor på tre, mens lilla vektorer holder lengden.

Egenvektorene for to forskjellige egenverdier av en ekte symmetrisk matrise er alltid ortogonale . Det er sant igjen med selvtilknytningen av${\ displaystyle x_ {i}, x_ {j}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ neq \ lambda _ {j}}$${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ langle x_ {i}, x_ {j} \ rangle = \ langle \ lambda _ {i} x_ {i}, x_ {j} \ rangle = \ langle Ax_ {i}, x_ {j} \ rangle = \ langle x_ {i}, Ax_ {j} \ rangle = \ langle x_ {i}, \ lambda _ {j} x_ {j} \ rangle = \ lambda _ {j} \ langle x_ {i}, x_ {j} \ rangle}$.

Siden og ble antatt å være annerledes, følger det deretter . Derfor kan en ortonormal basis des dannes fra egenvektorer av . Dette betyr at en ekte symmetrisk matrise til og med kan diagonaliseres ortogonalt, det vil si at det er en ortogonal matrise som ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {j}}$${\ displaystyle \ langle x_ {i}, x_ {j} \ rangle = 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle S ^ {T} AS = D}$

gjelder. Denne representasjonen danner grunnlaget for den viktigste aksetransformasjonen og er den enkleste versjonen av spektralsetningen .

Parametere

På grunn av diagonaliserbarheten til en ekte symmetrisk matrise, gjelder følgende for sporet${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {spur} (A) = \ lambda _ {1} + \ ldots + \ lambda _ {n}}$

og for deres determinant tilsvarende

${\ displaystyle \ det (A) = \ lambda _ {1} \ cdot \ ldots \ cdot \ lambda _ {n}}$.

Den rang av en ekte symmetrisk matrise er lik antallet av egenverdiene ikke er lik null, det vil si med den Kronecker delta

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (A) = n- \ left (\ delta _ {\ lambda _ {1}, 0} + \ ldots + \ delta _ {\ lambda _ {n}, 0} \ right) }$.

En ekte symmetrisk matrise er inverterbar hvis og bare hvis ingen av dens egenverdier er null. Den spektrale normen til en ekte symmetrisk matrise er

${\ displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ max \ {| \ lambda _ {1} |, \ ldots, | \ lambda _ {n} | \}}$

og dermed lik matrisens spektrale radius . Den Frobeus-norm resulterer fra normalitet i henhold til

${\ displaystyle \ | A \ | _ {F} = {\ sqrt {\ lambda _ {1} ^ {2} + \ ldots + \ lambda _ {n} ^ {2}}}}$.

Definitivitet

Hvis er en ekte symmetrisk matrise, blir uttrykket ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle Q_ {A} (x) = x ^ {T} Ax = \ langle x, Ax \ rangle}$

kalt med firkantet form av . Avhengig av om den er større enn, større enn eller lik, mindre enn eller mindre enn eller lik null for alle , kalles matrisen positiv bestemt, positiv semidefinit, negativ bestemt eller negativ semidefinit. Kan ha både positive og negative tegn, det kalles ubestemt. Definiteten til en ekte symmetrisk matrise kan bestemmes ut fra tegnene på dens egenverdier. Hvis alle egenverdier er positive, er matrisen positiv bestemt, hvis de alle er negative, er matrisen negativ bestemt, og så videre. Den triple består av antall positive, negative og null egenverdiene til en reell symmetrisk matrise kalles underskrift av matrisen. I følge Sylvesters treghetsteori bevares signaturen til en ekte symmetrisk matrise under kongruenstransformasjoner . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Q_ {A} (x)}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Q_ {A} (x)}$${\ displaystyle A}$

Anslag

I følge Courant-Fischers teorem , gir Rayleigh-kvotienten estimater for den minste og den største egenverdien til en virkelig symmetrisk matrise av formen. ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle \ min \ {\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n} \} \ leq {\ frac {\ langle x, Ax \ rangle} {\ langle x, x \ rangle}} \ leq \ max \ {\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n} \}}$

for alle med . Likhet gjelder nøyaktig når en egenvektor er på den respektive egenverdien. Den minste og største egenverdien til en ekte symmetrisk matrise kan følgelig bestemmes ved å minimere eller maksimere Rayleigh-kvotienten. Gerschgorin-sirklene , som har form av intervaller for ekte symmetriske matriser, gir en ytterligere mulighet for å estimere egenverdier . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle x}$

Hvis det er to virkelige symmetriske matriser med egenverdier og sortert i synkende rekkefølge , gir Fan-ulikheten estimatet ${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ geq \ ldots \ geq \ lambda _ {n}}$${\ displaystyle \ mu _ {1} \ geq \ ldots \ geq \ mu _ {n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {spur} (AB) \ leq \ lambda _ {1} \ mu _ {1} + \ ldots + \ lambda _ {n} \ mu _ {n}}$.

Likhet oppfylles hvis matriser og kan diagonaliseres samtidig på en ordnet måte, det vil si hvis en ortogonal matrise eksisterer slik at og holder. Fan-ulikheten representerer en innstramming av Cauchy-Schwarz-ulikheten for Frobenius-skalarproduktet og en generalisering av omorganiseringsulikheten for vektorer.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle S \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A = S \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}) S ^ {T}}$${\ displaystyle B = S \ operatorname {diag} (\ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {n}) S ^ {T}}$

Komplekse symmetriske matriser

Demontering

Nedbrytningen av det komplekse matriksrommet som den direkte summen av mellomrommene til symmetriske og skjev-symmetriske matriser ${\ displaystyle {\ mathbb {C}} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle {\ mathbb {C}} ^ {n \ times n} = \ operatorname {Symm} _ {n} \ oplus \ operatorname {Skew} _ {n}}$

representerer en ortogonal sum med hensyn til Frobenius skalarprodukt, det holder nemlig

${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle _ {F} = \ operatorname {spur} (A ^ {H} B) = \ operatorname {spur} ({\ bar {A}} B) = \ operatorname {spur} (B {\ bar {A}}) = \ operatorname {spur} ((B {\ bar {A}}) ^ {T}) = - \ operatorname {spur} (A ^ {H} B) = - \ langle A, B \ rangle _ {F}}$

for alle matriser og som den følger av. Ortogonaliteten til nedbrytningen gjelder også tilsvarende for det virkelige matriksrommet . ${\ displaystyle A \ in \ operatorname {Symm} _ {n}}$${\ displaystyle B \ in \ operatorname {Skew} _ {n}}$${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle _ {F} = 0}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n \ times n}}$

spektrum

Når det gjelder komplekse matriser , har symmetrien ingen spesiell effekt på spekteret . En kompleks symmetrisk matrise kan også ha ikke-reelle egenverdier. For eksempel har den komplekse symmetriske matrisen ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \ end {pmatrix}} \ in \ mathbb {C} ^ {2 \ times 2}}$

de to egenverdiene . Det er også komplekse symmetriske matriser som ikke kan diagonaliseres. For eksempel har matrisen ${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = 1 \ pm i}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \ end {pmatrix}} \ in \ mathbb {C} ^ {2 \ times 2}}$

den eneste egenverdien med algebraisk mangfold to og geometrisk mangfold en. Generelt er til og med hvilken som helst kompleks kvadratisk matrise ligner til en kompleks symmetrisk matrise. Derfor har ikke spekteret til en kompleks symmetrisk matrise noen spesielle egenskaper. Den komplekse motstykket til ekte symmetriske matriser er, når det gjelder matematiske egenskaper, Hermitiske matriser . ${\ displaystyle \ lambda = 0}$

Faktorisering

Enhver kompleks symmetrisk matrise kan brytes ned av Autonne-Takagi faktorisering${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle U ^ {T} AU = D}$

spaltes til en enhetlig matrise , en ekte diagonal matrise og transponere av . Oppføringene i den diagonale matrisen er entallverdiene til , dvs. kvadratrøttene til egenverdiene til .${\ displaystyle U \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle D = \ operatorname {diag} (\ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {H} A}$

bruk

Symmetriske bilineære former

Hvis det er et -dimensjonalt vektorrom over kroppen , kan hver bilineær form defineres av representasjonsmatrisen etter å ha valgt et grunnlag for${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle b \ kolon V \ ganger V \ til K}$${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle A_ {b} = (b (v_ {i}, v_ {j})) \ in K ^ {n \ times n}}$

beskrive. Hvis den bilineære formen er symmetrisk , dvs. hvis den gjelder alle , er også representasjonsmatrisen symmetrisk. Omvendt definerer hver symmetrisk matrise ved hjelp av ${\ displaystyle b (v, w) = b (w, v)}$${\ displaystyle v, w \ in V}$${\ displaystyle A_ {b}}$${\ displaystyle A \ in K ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle b_ {A} (x, y) = x ^ {T} Ay}$

en symmetrisk bilinær form . Hvis en ekte symmetrisk matrise også er positiv, representerer den et skalarprodukt i det euklidiske rommet . ${\ displaystyle b_ {A} \ kolon K ^ {n} \ ganger K ^ {n} \ til K}$${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle b_ {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Selvtilhørende kartlegginger

Hvis et -dimensjonalt ekte skalarproduktrom , så kan hver lineær kartlegging baseres på valget av et ortonormalt grunnlag for gjennom kartleggingsmatrisen${\ displaystyle (V, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle f \ kolon V \ til V}$${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle A_ {f} = (a_ {ij}) \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

representerer, hvor for er. Kartleggingsmatrisen er nå symmetrisk hvis og bare hvis kartleggingen er selvtilstøtende . Dette følger av ${\ displaystyle f (e_ {j}) = a_ {1j} e_ {1} + \ ldots + a_ {nj} e_ {n}}$${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle A_ {f}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ langle f (v), w \ rangle = (A_ {f} x) ^ {T} y = x ^ {T} A_ {f} ^ {T} y = x ^ {T} A_ {f } y = x ^ {T} (A_ {f} y) = \ langle v, f (w) \ rangle}$,

hvor og er. ${\ displaystyle v = x_ {1} e_ {1} + \ ldots + x_ {n} e_ {n}}$${\ displaystyle w = y_ {1} e_ {1} + \ ldots + y_ {n} e_ {n}}$

Anslag og refleksjoner

Ortogonale nedbrytninger er beskrevet av symmetriske matriser

Er igjen et -dimensjonalt reelt skalarproduktrom og er et -dimensjonalt underområde av , der koordinatvektorene er et ortonormalt grunnlag for , så er den ortogonale projeksjonsmatrisen på dette underområdet ${\ displaystyle (V, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {k}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle A_ {U} = x_ {1} x_ {1} ^ {T} + \ ldots + x_ {k} x_ {k} ^ {T} \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n} }$

som summen av symmetriske rang-en-matriser også symmetriske. Den ortogonale projeksjonsmatrisen på det komplementære rommet er også alltid symmetrisk på grunn av representasjonen . Ved å bruke projeksjonen og hver vektor kan være i gjensidig ortogonale vektorer og demontere. Den refleksjon matrise på en underrom er også alltid symmetrisk. ${\ displaystyle U ^ {\ bot}}$${\ displaystyle A_ {U ^ {\ bot}} = I-A_ {U}}$${\ displaystyle A_ {U}}$${\ displaystyle A_ {U ^ {\ perp}}}$${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle u ^ {\ perp} \ i U ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle I-2A_ {U}}$${\ displaystyle U}$

Systemer med lineære ligninger

Å finne løsningen på et lineært ligningssystem med en symmetrisk koeffisientmatrise er forenklet hvis symmetrien til koeffisientmatrisen brukes. På grunn av symmetrien kan koeffisientmatrisen uttrykkes som et produkt${\ displaystyle Ax = b}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = LDL ^ {T}}$

skriv med en nedre trekantmatrise med alle på diagonalen og en diagonal matrise . Denne nedbrytningen brukes for eksempel i den kolde nedbrytningen av positivt bestemte symmetriske matriser for å beregne løsningen av ligningssystemet. Eksempler på moderne metoder for den numeriske løsningen av store lineære ligningssystemer med sparsomme symmetriske koeffisientmatriser er CG-metoden og MINRES-metoden . ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle D}$

Polær spaltning

Hver kvadratmatrise kan også brukes som et produkt ved hjelp av den polære nedbrytningen${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle A = QP}$

en ortogonal matrise og en positiv semidefinit symmetrisk matrise . Matrisen er kvadratroten til . Hvis det er vanlig, så er positivt bestemt, og den polære nedbrytningen er tydelig med . ${\ displaystyle Q \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A ^ {T} A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q = AP ^ {- 1}}$

applikasjoner

geometri

Quadrics kan beskrives ved symmetriske matriser

Et kvadratisk i -dimensjonalt euklidisk rom er settet med nuller til et kvadratisk polynom i variabler. Hver kvadrikk kan dermed brukes som et punktsett av skjemaet ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle Q = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid x ^ {T} Ax + 2b ^ {T} x + c = 0 \ right \}}$

er beskrevet, hvor med en symmetrisk matrise, og er. ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A \ neq 0}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$

Analyse

Karakteriseringen av de kritiske punktene i en to ganger kontinuerlig differensierbar funksjon kan gjøres ved hjelp av den hessiske matrisen${\ displaystyle f \ colon D \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle H_ {f} (x) = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} (x) \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

bli laget. I følge Schwarz's teorem er den hessiske matrisen alltid symmetrisk. Avhengig av om det er positivt bestemt, negativt bestemt eller ubestemt, er det et lokalt minimum , et lokalt maksimum eller et sadelpunkt på det kritiske punktet . ${\ displaystyle H_ {f} (x)}$${\ displaystyle x}$

Grafteori

En ikke-rettet kantvektet graf har alltid en symmetrisk tilknytningsmatrise

Den naboskapsmatrisen av en urettet kant - vektet graf med noden settet er via ${\ displaystyle A_ {G}}$ ${\ displaystyle G = (V, E, d)}$ ${\ displaystyle V = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}}$

${\ displaystyle A_ {G} = (a_ {ij}) \ i {\ bar {\ mathbb {R}}} ^ {n \ times n}}$   Med   ${\ displaystyle a_ {ij} = {\ begin {cases} d (e) & {\ text {falls}} ~ e = \ {v_ {i}, v_ {j} \} \ i E \\\ infty & {\ text {ellers}} \ end {cases}}}$

gitt og dermed også alltid symmetrisk. Matriser avledet fra adjacency-matrisen ved summering eller eksponentiering, slik som Laplace-matrisen , rekkevidden til matrisen eller avstandsmatrisen , er deretter symmetriske. Analysen av slike matriser er gjenstand for spektralgrafteori .

Stokastikk

Hvis en tilfeldig vektor består av reelle tilfeldige variabler med endelig varians , er den tilknyttede kovariansmatrisen${\ displaystyle X = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$

${\ displaystyle \ Sigma _ {X} = \ left (\ operatorname {Cov} (X_ {i}, X_ {j}) \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

matrisen til alle parvise kovarianter av disse tilfeldige variablene. Siden for hold er en kovariansmatrise alltid symmetrisk. ${\ displaystyle \ operatorname {Cov} (X_ {i}, X_ {j}) = \ operatorname {Cov} (X_ {j}, X_ {i})}$${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, n}$

Symmetriske tensorer

Tensorer er et viktig matematisk hjelpemiddel innen naturvitenskap og ingeniørfag, spesielt i kontinuummekanikk , for i tillegg til den numeriske verdien og enheten inneholder de også informasjon om retninger i rommet. Komponentene i tensoren refererer til tupler av basisvektorer som er koblet av det dyadiske produktet “⊗”. Alt som er skrevet ovenfor om ekte symmetriske matriser som helhet kan overføres til symmetriske tensorer av andre orden. Spesielt har de også reelle egenverdier og parvise ortogonale eller ortogoniserbare egenvektorer. For symmetriske positive bestemte tensorer av andre orden, defineres også en funksjonsverdi analog med kvadratroten til en matrise eller til den matriseeksponentielle , se også formelsamlingen Tensalgebra # Symmetriske og positive bestemte tensorer .

Koeffisientmatrise av symmetriske tensorer 2. nivå

Uttalelsene om oppføringene i matrisene kan ikke bare overføres til tensorer, for med sistnevnte er de avhengige av det grunnleggende systemet som brukes. Bare med hensyn til standardgrunnlaget - eller mer generelt et ortonormalt grunnlag - kan andreordens tensorer identifiseres med en matrise. For klarhets skyld er den generelle representasjonen begrenset til det virkelige tredimensjonale vektorrommet, ikke minst på grunn av dets spesielle relevans i naturvitenskap og ingeniørvitenskap.

Hver andre ordens tensor kan være med hensyn til to vektorbaser og som en sum ${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {1,2,3}}$${\ displaystyle {\ vec {b}} _ {1,2,3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T ^ {ij} {\ vec {a}} _ {i} \ otimes {\ vec {b}} _ { j}}$

skal skrives. Under transposisjonen byttes vektorene ut i det dyadiske produktet . Den transponerte tensoren er altså

${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {\ top} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T ^ {ij} {\ vec {b}} _ {j} \ otimes {\ vec { a}} _ {i} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T ^ {ji} {\ vec {b}} _ {i} \ tid {\ vec {a}} _ {j }}$

En mulig symmetri er ikke lett gjenkjennelig her; i alle fall er tilstanden ikke tilstrekkelig for bevis. Betingelsen gjelder imidlertid på et ortonormalt grunnlag ê _1,2,3${\ displaystyle T ^ {ij} = T ^ {ji}}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T_ {ij} {\ hat {e}} _ {i} \ otimes {\ hat {e}} _ {j } = {\ begin {pmatrix} T_ {11} & T_ {12} & T_ {13} \\ T_ {21} & T_ {22} & T_ {23} \\ T_ {31} & T_ {32} & T_ {33} \ end {pmatrix}} _ {{\ hat {e}} _ {i} \ otimes {\ hat {e}} _ {j}}}$

Her kan symmetrien leses fra koeffisientmatrisen: ${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ mathbf {T} ^ {\ top}}$

${\ displaystyle T_ {ik} = T_ {ki}, \ quad i, k = 1,2,3}$

Dette gjelder også et generelt, ikke-ortonormalt, kontravariant grunnlag ĝ ^1,2,3 :

${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T_ {ij} {\ hat {g}} ^ {i} \ otimes {\ hat {g}} ^ {j }, \ quad \ mathbf {T} ^ {\ top} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T_ {ij} {\ hat {g}} ^ {j} \ tid {\ hat { g}} ^ {i} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T_ {ji} {\ hat {g}} ^ {i} \ tid {\ hat {g}} ^ {j} }$

Hvis begge tensorer skal være like, følger også symmetrien til koeffisientmatrisen her . I ovenstående form kalles tensoren kovariant. Den motstridende tensoren bruker det dobbelte grunnlaget , slik at . For ham følger symmetrien til koeffisientmatrisen som med den kovariante tensoren. Begge basene brukes i blandet variant tensor ${\ displaystyle T_ {ij} = T_ {ji}, \; i, j = 1,2,3}$${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ textstyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T ^ {ij} {\ hat {g}} _ {i} \ otimes {\ hat {g}} _ {j}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {T} = & \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {T ^ {i}} _ {j} {\ hat {g}} _ { i} \ otimes {\ hat {g}} ^ {j}, \\\ mathbf {T} ^ {\ top} = & \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {T ^ {i} } _ {j} {\ hat {g}} ^ {j} \ otimes {\ hat {g}} _ {i} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {T ^ {j} } _ {i} {\ hat {g}} ^ {i} \ otimes {\ hat {g}} _ {j} =: \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {T_ {i} } ^ {j} {\ hat {g}} ^ {i} \ otimes {\ hat {g}} _ {j} \ end {aligned}}}$

Tensors begge er identiske vil si , de indekser og av denne grunn for symmetriske tensors den ene over den andre kan gjøres: . Så har du det ${\ displaystyle {T ^ {j}} _ {i} = {T_ {i}} ^ {j}}$${\ displaystyle {T ^ {i}} _ {j} = {T_ {j}} ^ {i} = T_ {j} ^ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T_ {j} ^ {i} {\ hat {g}} _ {i} \ tid {\ hat {g} } ^ {j}, \ quad \ mathbf {T} ^ {\ top} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T_ {j} ^ {i} {\ hat {g}} ^ { j} \ otimes {\ hat {g}} _ {i} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} T_ {i} ^ {j} {\ hat {g}} ^ {i} \ ganger {\ hat {g}} _ {j}}$

Den blandede variantkoeffisientmatrisen er generelt ikke symmetrisk i den blandede variantensensoren. Det samme gjelder tilsvarende for symmetriske blandingsvariantensorer av formen . ${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {T_ {i}} ^ {j} {\ hat {g}} ^ {i} \ otimes {\ hat { g}} _ {j}}$

Invarians av symmetriegenskapen

Symetrien til en tensor påvirkes ikke av grunnendringer. Dette kan sees fra det faktum at vektorinvariananten , som utelukkende bestemmes av den skjev-symmetriske delen og bare er nullvektoren for symmetriske tensorer , er uendelig i forhold til grunnendringer.

Mengde en tensor

Størrelsen på en tensor, definert med Frobenius-normen

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {T} \ right \ |: = {\ sqrt {\ mathrm {Sp} (\ mathbf {T} ^ {\ top} \ cdot \ mathbf {T})}}$,

kan være representert for symmetriske tensorer med hovedinvarianter : ${\ displaystyle \ mathrm {I} _ {1,2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {I} _ {1}: = & \ mathrm {Sp} (\ mathbf {T}) \\\ mathrm {I} _ {2}: = & {\ frac {1} {2}} \ left [\ mathrm {Sp} {(\ mathbf {T})} ^ {2} - \ mathrm {Sp} (\ mathbf {T} \ cdot \ mathbf {T}) \ høyre ] = {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathrm {I} _ {1} ^ {2} - \ mathrm {Sp} (\ mathbf {T} ^ {\ top} \ cdot \ mathbf { T}) \ høyre) \\ = & {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathrm {I} _ {1} ^ {2} - {\ left \ | \ mathbf {T} \ right \ |} ^ {2} \ right) \\\ Rightarrow \ quad \ left \ | \ mathbf {T} \ right \ | = & {\ sqrt {\ mathrm {I} _ {1} ^ {2} -2 \ , \ mathrm {I} _ {2}}};; \ end {justert}}}$

Symmetri av høyere ordens tensorer

Selv med tensorer på et høyere nivå byttes basisvektorene i de dyadiske produktene under transponering. Imidlertid er det flere muligheter for å tillate basisvektorene, og det er følgelig forskjellige symmetrier for høyere nivåstensorer. I tilfelle av en fjerde-ordens tensor, byttes den i-vektoren ut mot den k-th-vektoren ved notasjonen , for eksempel ${\ displaystyle {\ stackrel {4} {\ mathbf {A}}}}$${\ displaystyle {\ stackrel {4} {\ mathbf {A}}} {} ^ {\ stackrel {ik} {\ top}}}$

${\ displaystyle {\ stackrel {4} {\ mathbf {A}}} = \ sum _ {i, j, k, l = 1} ^ {3} A_ {ijkl} {\ hat {e}} _ {i } \ otimes {\ hat {e}} _ {j} \ otimes {\ hat {e}} _ {k} \ otimes {\ hat {e}} _ {l} \ quad \ rightarrow \ quad {\ stackrel { 4} {\ mathbf {A}}} {} ^ {\ stackrel {13} {\ top}} = \ sum _ {i, j, k, l = 1} ^ {3} A_ {ijkl} {\ hat {e}} _ {k} \ otimes {\ hat {e}} _ {j} \ otimes {\ hat {e}} _ {i} \ otimes {\ hat {e}} _ {l}}$

Når du transponerer " ^⊤ " uten å spesifisere posisjonene, byttes de to første vektorene ut mot de to siste vektorene:

${\ displaystyle {\ stackrel {4} {\ mathbf {A}}} {} ^ {\ top} = \ sum _ {i, j, k, l = 1} ^ {3} A_ {ijkl} {\ hat {e}} _ {k} \ otimes {\ hat {e}} _ {l} \ otimes {\ hat {e}} _ {i} \ otimes {\ hat {e}} _ {j}}$

Symmetrier eksisterer når tensoren er enig med den på en eller annen måte transponert form.

Individuelle bevis angående tensorer

1. ^ H. Altenbach: Kontinuummekanikk . Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5 , pp. 22 . 
2. ↑ For begrepene kovariant og kontravariant, se konvektive koordinater eller krumlinjære koordinater .
3. ↑ Wolfgang Werner: Vektorer og tensorer som universelt språk i fysikk og teknologi . Tensoralgebra og tensoranalyse. teip 1 . Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7 , s. 203 , doi : 10.1007 / 978-3-658-25272-4 . 
4. ^ W. Ehlers: Tillegg til forelesningene, teknisk mekanikk og høyere mekanikk . 2014, s. 25 ( uni-stuttgart.de [PDF; åpnet 17. januar 2018]). 

Se også

• Persymmetrisk matrise , en matrise som er symmetrisk om sin kontradiagonale
• Sentralsymmetrisk matrise , en matrise som er punkt-symmetrisk med hensyn til sentrum
• Symmetrisk operator , en generalisering av symmetriske matriser til uendelige dimensjoner
• Symmetrisk ortogonalisering , en ortogonaliseringsmetode for å løse generaliserte egenverdiproblemer
• Formelsamling tensoralgebra , med formler for symmetriske tensorer

weblenker

• TS Pigolkina: Symmetrisk matrise . I: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ). 
• Eric W. Weisstein : Symmetrisk matrise . På: MathWorld (engelsk).
• Tommel: Symmetrisk matrise . I: PlanetMath . (Engelsk)

Individuelle bevis

1. ^ Christoph W. Überhuber: Computer numerics . teip 2 . Springer, 1995, s. 401 f . 
2. ↑ Howard Anton, Chris Rorres: Elementær lineær algebra: applikasjonsversjon . John Wiley & Sons, 2010, s. 404-405 . 
3. ↑ Jonathan M. Borwein, Adrian S. Lewis: Convex Analyse og ikke-lineær optimalisering: Teori og eksempler . Springer, 2010, ISBN 978-0-387-31256-9 , pp. 10 . 
4. ^ Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis . Cambridge University Press, 2012, s. 271 . 
5. ^ Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis . Cambridge University Press, 2012, s. 153 . 

litteratur

• Gerd Fischer : Lineær algebra. (En introduksjon for førsteårsstudenter). 13. reviderte utgave. Vieweg, Braunschweig et al. 2002, ISBN 3-528-97217-3 .
• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis . Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6 . 
• Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerisk matematikk. 5. reviderte utgave. Teubner, Stuttgart et al. 2004, ISBN 3-519-42960-8 .