Stokastikk

Den stokastisk (fra gammelgresk στοχαστικὴ τέχνη stochastikē Techne , latin ars conjectandi 'kunst av formodning , sats art') er matematikk sjanse eller matematikk data og mulighet , så en gren av matematikken og har en fellesbetegnelse hvilke områder Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk sammen.

Sannsynlighetsteori gir vilkårene for matematiske modelleringsprosesser der tilfeldige hendelser forekommer. På dette grunnlag gir matematisk statistikk metoder for å bestemme modellparametere fra observasjonsdata og for å kunne komme med uttalelser om hensiktsmessigheten av modelleringen. Stokastisk betyr like mye som tilfeldig . Vi beskriver en hendelse som tilfeldig hvis dens forekomst i prinsippet ikke kan forutsies.

De historiske aspektene ved sannsynlighetsteorien er presentert i artikkelen History of Probability .

oversikt

Stokastikken er i sin tur delt inn i mange delområder. En liten oversikt over de viktigste områdene finner du her:

Ren stokastikk

Statistikk:

Applikasjoner:

Stochastics undersøker matematisk modellering av tilfeldige hendelser og brukes derfor i praktisk talt alle empiriske fagområder. Eksempler er: strategier for pengespill , risikoanalyse ved overbooking av skip / fly / hotell, avgjørelse i tilfelle tilfeldige prosesser, statistisk evaluering av studier innen medisin eller medisinforskning, problemer med klimaforskning , kvalitetskontroll , værmeldinger ( regnsannsynlighet er 70%), beregning av forsikringspremier, studie av køer og optimalisering av trafikklyskontroll i trafikken, modeller for spredning av sykdommer, meningsmålinger, porteføljeanalyse eller markedsføringsstrategier i banker, modellering av varigheten av telefonsamtaler, antall nødvendige lossebroer til en containerterminal eller spørsmål om kvantefysikk.

Sannsynligheter og tilfeldige eksperimenter

I sannsynlighetsteori undersøker man tilfeldige prosesser med faste sannsynligheter spesifisert som kjent og studerer lovene om tilfeldige hendelser. Sannsynligheter representerer prognoser . På den ene siden bør det gjøres prognoser for utfallet av fremtidige hendelser, på den andre siden bør det vurderes hvor vanlig eller uvanlig en hendelse er. Prognoser som ikke fungerer, må revideres.

En prognose forstås å bety:

Forutsigelser (sannsynligheter) for forekomst av en hendelse E oppnås:

  • fra Laplace-eksperimenter (se nedenfor). Denne tilnærmingen er rent teoretisk. Forutsigelser som Laplace-sannsynligheter kommer fra fornuften før eksperimentet.
  • i tilfelle et tilfeldig eksperiment som kan gjentas et hvilket som helst antall ganger, som et estimat fra de observerte relative frekvensene for forekomst av E og deres utvikling når antall forsøk økes ( hyppig sannsynlighet ). I dette tilfellet er den absolutte frekvensen , dvs. antall vellykkede forsøk, delt med antall forsøk som er gjort. Denne tilnærmingen er empirisk . Forutsigelser gjøres etter å ha utført så mange lignende eksperimenter som mulig. Det meste av tiden undervurderes minimum antall forsøk som kreves for et realistisk estimat. Med en binomial fordeling kan det vises at en Laplace-kube må ha mer enn 5555 repetisjoner, men i verste fall må andre tilfeldige enheter mer enn 10.000 repetisjoner være for å oppnå en relativ frekvens i rundt 95% av slike lange testserier. fra den ukjente sannsynligheten med ikke mer enn 1% prosent. Hvis du ikke vet noe om fordelingen av tilfeldige resultater, er det nødvendig med betydelig flere forsøk.
  • som et subjektivt mål på den personlige overbevisningsgraden om at E vil forekomme ( subjektiv sannsynlighet ). Denne tilnærmingen er teoretisk. Prognosene er basert på vår egen erfaring og er formet av våre egne ønsker.

Spesifikasjon av sannsynligheter

Sannsynligheter er representert med bokstaven . Dette minner om den latinske sannsynligheten , som ble den franske sannsynligheten og den engelske sannsynligheten . Denne notasjonen ble introdusert av Laplace . I sine publikasjoner skiller han mellom mulighet, det vi nå kaller relativ frekvens, og sannsynlighet.

Sannsynligheter har ikke en enhet, men er tall mellom 0 og 1 , hvor 0 og 1 også er tillatte sannsynligheter. Derfor kan de gis som prosenter (20%), desimaler ( ), brøkdeler ( ), odds (2 av 10 eller 1 av 5) eller forhold (1 til 4) (alle disse detaljene beskriver samme sannsynlighet).

Ofte oppstår misforståelser hvis det ikke skilles mellom "til" og "fra": "1 til 4" betyr at den ønskede hendelsen blir oppveid av 4 uønskede hendelser. Dette gjør en kombinert fem hendelser av hvilken som er hva du er, så "1 av 5".

Laplace eksperimenter

Laplace-eksperimenter, oppkalt etter matematikeren Pierre-Simon Laplace , er tilfeldige eksperimenter der følgende to punkter er oppfylt:

  • Det er bare et begrenset antall mulige testresultater.
  • Alle mulige utfall er like sannsynlige.

Enkle eksempler på Laplace-eksperimenter er å kaste den ideelle terningen, kaste en ideell mynt (bortsett fra at den kan holde seg på kanten) og tegne lotterinummer.

Sannsynligheten for forekomst av hendelsen E i et Laplace-eksperiment beregnes i henhold til ligningen

Begrensninger av integritet, system av aksiomer

Grunnleggende antagelser om stokastikk er beskrevet i Kolmogorov-aksiomene ifølge Andrei Kolmogorov . Av disse og deres implikasjoner kan det konkluderes med at:

Sannsynligheten for hendelsen , som inkluderer alle mulige resultater av eksperimentet, er :

Sannsynligheten for en umulig hendelse er :

Alle sannsynligheter er mellom null og en, inkludert:

Sannsynligheten for forekomst av en hendelse E og for forekomsten av motbegivenheten (ikke forekomst av hendelsen) utgjør en:

I et komplett system av hendelser (for dette må de alle være parvis sammen og deres foreningssett må være likt ) er summen av sannsynlighetene lik :

Sannsynligheter null og én - umulige og visse hendelser

Hvis en hendelse er umulig, så har den sannsynligheten 0. Omvendt, fra sannsynligheten 0 kan det bare konkluderes med at hendelsen er umulig hvis det bare er et endelig antall forskjellige testresultater. For tilfeldige eksperimenter med et uendelig antall testresultater, illustrerer dette moteksemplet: I et tilfeldig eksperiment tegnes ethvert reelt tilfeldig tall mellom 0 og 1. Det antas at hvert tall er like sannsynlig - det vil si at den enhetlige fordelingen over intervallet antas. Så for hvert enkelt tall fra intervallet er sannsynligheten for å bli tegnet 0, siden det er uendelig mange tall i dette intervallet. Et hvilket som helst tall fra tegningen er imidlertid mulig. En umulig hendelse i sammenheng med dette eksemplet er tegningen av 2, dvs. forekomsten av den elementære hendelsen .

Hvis en hendelse er sikker på å inntreffe, så har den sannsynlighet 1. Et eksempel på en bestemt hendelse når du ruller en sekssidig matrise er hendelsen "ingen syv vil bli rullet" eller "et tall mellom 1 og 6 vil bli rullet". Motsatt kan det bare konkluderes ut fra sannsynlighet 1 at hendelsen definitivt vil inntreffe hvis det bare er et endelig antall testresultater. For tilfeldige forsøk med et uendelig antall resultater, illustrerer det dette moteksemplet: Du kaster terningen til en "6" oppstår for første gang. Sannsynligheten for at "6" vil komme opp på et tidspunkt er 1, men det er på ingen måte sikkert at "6" må komme opp en gang.

Sannsynlighetsteori

Kombinatorikk

Kombinatorikk er en gren av matematikk som tar for seg spørsmål om endelige sett. I urnemodellen kan bestemmelsen av antall muligheter for valg og ordning av gjenstander representeres og illustreres. Hvis vi vurderer å trekke baller fra en urne som inneholder kuler , kan det identifiseres fire grunnleggende problemer:

  • Trekke uten å erstatte trukket baller, tar hensyn til rekkefølgen. Spesielt tilfelle: alle baller er tegnet .
  • Trekke uten å erstatte trukkede baller uansett rekkefølge
  • Å trekke ved å erstatte den trukkede ballen umiddelbart etter å ha dratt, med tanke på sekvensen,
  • Trekke med erstatning av den trukkede ballen umiddelbart etter trekking, uavhengig av rekkefølge.

I moderne kombinatorikk omformuleres disse problemene som kartlegginger, slik at oppgaven med kombinatorikk i det vesentlige kan være begrenset til å liste opp disse kartleggingen.

statistikk

Statistikk er en sannsynlighetsteoribasert metode for å analysere kvantitative data. På den måten kombinerer hun empiriske data med teoretiske modeller. Statistikk kan deles inn i beskrivende statistikk (beskrivende statistikk) og evaluativ statistikk (sluttstatistikk). Beskrivende statistikk brukes til å samle inn data på tilfeldige variabler, vise fordelingen av frekvenser grafisk og karakterisere dem ved hjelp av mål for plassering og spredning. Dataene er hentet fra et tilfeldig utvalg som er ment å gi informasjon om fordelingen av egenskapene som er undersøkt i en populasjon. Ved vurdering av statistikk prøver man å trekke konklusjoner om populasjonen ut fra dataene i et utvalg. Uttalelser innhentes som alltid er knyttet til en viss grad av usikkerhet. Denne usikkerheten estimeres ved bruk av sannsynlighetsberegningsmetoder. Estimering av sannsynligheter og testing av hypoteser er typiske oppgaver for evaluering av statistikk.

Spill teori

Spillteori er en moderne gren av matematikk med ulike forhold til andre vitenskaper. Den tar for seg å analysere systemer med flere aktører (spillere, agenter). Spillteori prøver blant annet å utlede den rasjonelle beslutningsatferden i sosial konkurranse og konfliktsituasjoner. Det er en matematisk teori om konfliktsituasjoner. Stokastikkene spiller inn forskjellige steder. For det første i spill som Battle of the Sexes , der den beste mulige strategien er å ta en beslutning tilfeldig. På den annen side handler spillteori også om systemene der aktørene ikke kjenner den komplette situasjonen, dvs. de har ikke fullstendig informasjon . Da må de velge en optimal spillstrategi basert på gjetningene sine.

Flere termer fra stokastikk, eksempler

Se også eksempler på bruk

weblenker

Wiktionary: Stochastics  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Referanser og fotnoter

  1. Ulrich Krengel: Introduksjon til sannsynlighetsteori og statistikk. Vieweg Verlag, Braunschweig 1991, ISBN 3-528-27259-7 , SV
  2. A. Buchter, W. Henn: elementare Stochastik . Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-22250-2 , pp. Teksting .
  3. Kurt Nawrotzki: Lærebok for stokastikk. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt 1994, ISBN 3-8171-1368-4 , s. 7.
  4. Schüler-Duden: Die Mathematik II. Duden-Verlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-04273-7 .
  5. ruhr-uni-bochum.de
  6. mathematik.de
  7. Wolfgang Riemer: Stokastiske problemer fra et elementært synspunkt . BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-14791-1 , s. 19 .
  8. A. Buchter, W. Henn: elementare Stochastik . Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-22250-2 , pp. 150 .
  9. Helmut Wirths: Stokastikkundervisning på videregående. BoD, Norderstedt 2020, ISBN 978-3-7526-2218-8 , s. 78.
  10. A. Buchter, W. Henn: elementare Stochastik . Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-22250-2 , pp. 139-151 .
  11. ^ Friedrich Barth, Rudolf Haller: Stochastics videregående kurs. Ehrenwirth Verlag, München, ISBN 3-431-02511-0 , s. 42.
  12. PS de Lapace: Théorie analytique of probabiltés. 1812, sitert fra Robert Ineichen
  13. ^ Ivo Schneider: Utviklingen av sannsynlighetsteori fra begynnelsen til 1933. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988, ISBN 3-534-08759-3 , s. 145.
  14. Robert Ineichen: Terning og sannsynlighet. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg / Berlin / Oxford 1996, ISBN 3-8274-0071-6 , s.4 .
  15. A. Buchter, W. Henn: elementare Stochastik . Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-22250-2 , pp. 153 .
  16. A. Buchter, W. Henn: elementare Stochastik . Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-22250-2 , pp. 137 .
  17. ^ Hans Christian Reichel: Sannsynlighet og statistikk. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1987, ISBN 3-209-00736-5 , s. 64.
  18. ^ Studenter: Die Mathematik II. Dudenverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich, ISBN 3-411-04273-7 .
  19. ^ Friedrich Barth, Rudolf Haller: Stochastics videregående kurs. Ehrenwirth Verlag, München, ISBN 3-431-02511-0 , s. 95.
  20. Eksempler i Johann Pfanzagl: Elementær sannsynlighetsteori. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1991, ISBN 3-11-013384-9 , s. 29/30.
  21. Norbert Henze: Stokastikk for nybegynnere. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-06894-9 , s. 23.
  22. ^ Studenter: Die Mathematik II. Dudenverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich, ISBN 3-411-04273-7 .
  23. JS Wentzel: Elementer i spillteorien. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt am Main / Zürich 1976, s.5.