Definitivitet

Definitivitet er et begrep fra den matematiske grenen av lineær algebra . Den beskriver tegnene som ekte kvadratiske former kan anta, som genereres av matriser eller, mer generelt, av bilineære former .

Definitivitet av bilineære former og sesquilineære former

La det være et vektorrom over de reelle (eller komplekse ) tallene. ${\ displaystyle V}$

En symmetrisk bilinær form (eller en hermitisk sesquilinær form ) kalles ${\ displaystyle \ langle {\ cdot}, {\ cdot} \ rangle \ colon V \ times V \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ langle {\ cdot}, {\ cdot} \ rangle \ colon V \ times V \ to \ mathbb {C}}$

positivt definitivt ,	hvis ${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle> 0}$
positiv semidefinite ,	hvis ${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle \ geq 0}$
negativ bestemt ,	hvis ${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle <0}$
negativ semidefinite ,	hvis ${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle \ leq 0}$

hver for alle , gjelder. Merk at selv i det komplekse tilfellet alltid er ekte på grunn av den nødvendige eremisiteten . Hvis ingen av disse vilkårene gjelder, kalles skjemaet på ubestemt tid . Akkurat i dette tilfellet forutsetter både positive og negative verdier. ${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle v \ not = 0}$ ${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle}$
${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle}$

Ovennevnte forhold betyr altså at den tilknyttede kvadratformen er positiv bestemt, positiv semidefinitt, negativ bestemt, negativ semidefinitt eller ubestemt. ${\ displaystyle Q (v): = \ langle v, v \ rangle}$

Noen ganger blir disse begrepene også introdusert i det virkelige tilfellet for vilkårlige, ikke nødvendigvis symmetriske bilineære former. (I det komplekse tilfellet må man også kreve at verdien er reell for dem alle . Imidlertid følger det allerede at sesquilinear form er Hermitian.) ${\ displaystyle v \ in V}$${\ displaystyle \ langle v, v \ rangle}$

En positivt bestemt symmetrisk bilinær form (eller Hermitian sesquilinear form) kalles et skalarprodukt . For eksempel er det standard skalære produktet på (eller ) positivt klart. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Definisjonen på matriser

Definisjoner

Hver firkantede matrise beskriver en bilinær form (eller en sesquilinear form ). En kvadratmatrise kalles derfor positiv definitive hvis denne egenskapen gjelder den bilineære formen eller sesquilinearformen definert av matrisen. De andre egenskapene er også definert tilsvarende. Dette betyr: Enhver (muligens symmetrisk eller hermitisk ) matrise er ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle V = \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle (n \ ganger n)}$${\ displaystyle A}$

positivt definitivt ,	hvis ${\ displaystyle x ^ {T} Ax> 0}$
positiv semidefinite ,	hvis ${\ displaystyle x ^ {T} Ax \ geq 0}$
negativ bestemt ,	hvis ${\ displaystyle x ^ {T} Axe <0}$
negativ semidefinite ,	hvis ${\ displaystyle x ^ {T} Ax \ leq 0}$

for alle -line søylevektorer med , hvor er den rad vektoren som resulterer fra kolonnevektor det ved transpone . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x \ i V}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle x ^ {T}}$${\ displaystyle x}$

I det komplekse tilfellet må vektoren på venstre side transponeres til linjefiguren og i tillegg komplekskonjugert ( Hermitisk adjoint , i stedet for bare ). For at ulikhetene skal gi mening, må venstre side være reell for alle mulige . Dette er tilfelle hvis og bare hvis matrisen er Hermitian. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {*} \; = {\ overline {x}} ^ {T}}$${\ displaystyle x ^ {T} \;}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$

En matrise som verken er positiv eller negativ semifinitiv kalles "ubestemt". Det er nettopp da at (eller ) får både positive og negative verdier. ${\ displaystyle x ^ {T} Ax \;}$${\ displaystyle x ^ {*} Ax \;}$

Kriterier for klarhet

Eigenverdier

En firkantet symmetrisk (eller Hermitian) matrise er da

positivt definitivt,	hvis alle egenverdier er større enn null;
positiv semidefinite,	hvis alle egenverdier er større enn eller lik null;
negativ bestemt,	hvis alle egenverdier er mindre enn null;
negativ semidefinite,	hvis alle egenverdier er mindre enn eller lik null og
ubestemt,	når positive og negative egenverdier eksisterer.

Dette betyr at en hvilken som helst metode for å bestemme eller estimere egenverdier kan brukes til å bestemme definisjonen til matrisen. En mulighet er Gerschgorin-sirkler , som gjør det mulig å i det minste estimere spekteret . Dette er ofte nok til å bestemme bestemtheten. Basert på oppføringene i matrisen, indikerer Gerschgorin-sirklene størrelser i det komplekse planet der egenverdiene er inneholdt, når det gjelder symmetriske matriser, intervaller på den virkelige aksen. Dette gjør det noen ganger enkelt å bestemme definisjonen til en matrise. For detaljer, spesielt om signaturen til symmetriske bilineære former og matriser, se Sylvesters treghetsteori .

Store mindreårige

En symmetrisk eller hermitisk matrise er positiv, hvis og bare hvis alle ledende mindreårige er positive. Det faktum at negativ er bestemt hvis og bare hvis positiv er bestemt, resulterer i: er negativ bestemt hvis og bare hvis tegnene til de ledende hovedmindreårene veksler, det vil si hvis alle merkelige ledende hovedmindreårige er negative og alle til og med positive. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle -A}$${\ displaystyle A}$

Merknader

• Det er ikke noe kriterium for semidefiniteness som bare vil betrakte de ledende store mindreårige, som allerede kan sees i den diagonale matrisen med oppføring 0 og -1. Hvis de tilsvarende utsagnene også skal gjelde for tilfellet med semi-definiteness, så når det gjelder positive semi-definiteness, må alle , ikke bare de ledende hovedmindreårige , være ikke-negative, i tilfelle negativ semi-definitet må alle odde hovedmindreårige være ikke-positive og alle til og med hovedmindreårige ikke-negative.
• Kriteriet gjelder ikke matriser som ikke er hermitiske. Et eksempel på dette er den ubestemte matrisen , hvor de ledende mindreårige begge er positive.${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right)}$
• Kriteriet kalles også ofte nyttårsaftenkriteriet. Begrepet " Hurwitz-kriterium " brukes også av og til, selv om dette opprinnelig bare refererte til Hurwitz-matriser.

Gaussisk eliminasjonsmetode

En ekte symmetrisk firkantmatrise er positivt bestemt hvis og bare hvis den Gaussiske eliminasjonsmetoden kan utføres med en diagonal strategi, det vil si uten å bytte linjer, med n positive svingelementer. Denne tilstanden er spesielt egnet i tilfeller der Gauss-metoden uansett må brukes. ${\ displaystyle A = (a_ {i, k}) _ {i, k = 1} ^ {n}}$

Kolesky nedbrytning

En symmetrisk matrise er positiv, hvis og bare hvis det er en Cholesky nedbrytning , hvor er en vanlig nedre trekantet matrise . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A = GG ^ {T}}$${\ displaystyle G}$

Diagonale dominerende matriser

Hvis en matrise er symmetrisk og strengt diagonalt dominerende, og hvis alle diagonale elementene er positive, så er positiv bestemt.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Det motsatte er ikke sant. Matrisen

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 og 2 \\ 2 og 100 \\\ slutt {pmatrix}}}$

er positiv bestemt, men ikke strengt diagonalt dominerende.

Symmetrisk del i generelle matriser

En ekte kvadratmatrise som ikke nødvendigvis er symmetrisk, er positiv, hvis og bare hvis dens symmetriske del${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A_ {S} = {\ frac {1} {2}} \ left (A + A ^ {T} \ right)}$

positivt er klart. Det samme gjelder “negativ bestemt” og “positiv” eller “negativ semidefinitt”.

Med komplekse matriser A er situasjonen en helt annen. Du kan dele Hermitian for hver komplekse matrise A og schiefhermiteschen dele utseende. ${\ displaystyle A_ {H} = {\ tfrac {1} {2}} \ left (A + A ^ {*} \ right)}$${\ displaystyle A_ {SH} = {\ tfrac {1} {2}} \ venstre (AA ^ {*} \ høyre)}$

Matrisen er da Hermitian, og . er positiv bestemt hvis og bare hvis den skjeve hermitiske delen er lik 0 og den hermitiske delen , som følgelig sammenfaller med, er positiv bestemt. ${\ displaystyle A_ {K} = {\ tfrac {1} {i}} {A_ {SH}}}$${\ displaystyle A = A_ {H} + iA_ {K}}$${\ displaystyle A ^ {*} = A_ {H} -iA_ {K}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {SH}}$${\ displaystyle A_ {H}}$${\ displaystyle A}$

Tilstrekkelig kriterium for positiv semidefinitet

For enhver ekte matrise er både matrisen og matrisen alltid symmetrisk og positiv semidefinit, fordi dette på grunn av forskyvningsegenskapen til standard skalarprodukt gjelder alle${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}}$${\ displaystyle A ^ {T} A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle AA ^ {T} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times m}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ langle x, A ^ {T} Ax \ rangle = \ langle Ax, Ax \ rangle \ geq 0}$

og for alle ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle \ langle x, AA ^ {T} x \ rangle = \ langle A ^ {T} x, A ^ {T} x \ rangle \ geq 0}$.

betydning

• Hvis matrisen er symmetrisk (Hermitian) og positiv bestemt, blir et skalarprodukt definert av (eller ) .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = x ^ {T} Ay}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = x ^ {*} Ay}$
• Begrensningen av en positivt bestemt bilineær eller sesquilinear form til en sub-vektor plass igjen er positivt bestemt, og spesielt gjør ikke degenerert . Dette faktum gjør at et rom kan spaltes til et undervektorrom og dets ortogonale komplement .
• Definisjonen til den hessiske matrisen spiller en avgjørende rolle i undersøkelsen av kritiske punkter i en funksjon , dvs. ekstremverdiberegningen .${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$
• De symmetriske positive semidefinerte matriser danner en kjegle i matriksrommet , den såkalte positive semidefinerte kjeglen. Det samme gjelder symmetriske negative semidefinerte matriser.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$
• En svak positiv bestemt matrise kan alltid skrives som en multiplikasjon av to positive bestemte matriser. Spesielt er hver positive bestemte matrise da også en svakt positiv bestemt matrise.

Se også

• Positiv semidefinitt funksjon

Individuelle bevis

1. ^ På Sylvester's Criterion for Positive-Semidefinite Matrices . (PDF) IEEE, Transaksjon ved automatisk kontroll, juni 1973 (engelsk)
2. ↑ spesielle matriseegenskaper , Richard Reiner, 9126720, gruppe: Next Generation, tysk
3. ↑ Eugene Paul Wigner : På svakt positive matriser . I: The Collected Works av Eugene Paul Wigner . S. 559-563 , doi : 10.1007 / 978-3-662-02781-3_40 .