Ekstrem verdi

Minima og maksima for funksjonen cos (3π x ) / x i området 0,1≤ x ≤1,1

I matematikk er ekstrem verdi (eller ekstremum ; flertall: ekstrema ) det generiske begrepet for et lokalt eller globalt maksimum eller minimum . Et lokalt maksimum eller lokalt minimum er verdien av funksjonen på et punkt når funksjonen ikke antar større eller mindre verdier i et tilstrekkelig lite miljø ; det tilknyttede punktet kalles lokal maksimering eller lokal minimering , maksimalt punkt eller minimumspunkt eller, oppsummert, også kalt ekstremt punkt , kombinasjonen av punkt og verdi ekstreme punkt .

Et globalt maksimum kalles også et absolutt maksimum ; begrepet relativ maksimum brukes også for et lokalt maksimum . Lokale og globale minima defineres analogt.

Den oppløsning av en ekstrem verdi problem , for en enkel fremstilling se diskusjon av kurvene , er kalt den ekstreme løsning .

Endimensjonalt tilfelle

Formell definisjon

La det være en delmengde av de reelle tallene (f.eks. Et intervall ) og en funksjon .

har på det punktet

  • et lokalt minimum hvis det er et intervall som inneholder slike som gjelder for alle ;
  • et globalt minimum hvis det gjelder alle ;
  • et lokalt maksimum hvis det er et intervall som inneholder slike som holder for alle ;
  • et globalt maksimum hvis det gjelder alle .

Hvis funksjonen har et maksimum på dette punktet , kalles punktet høydepunktet , hvis det har et minimum der, kalles punktet lavpunktet . Hvis det er et høyt eller lavt punkt, snakker man om et ekstremt punkt .

Eksistens av ekstremer

Er reelle tall og er en kontinuerlig funksjon , og anta et globalt maksimum og et globalt minimum. Disse kan også aksepteres i randområdene eller .

Denne uttalelsen følger av Heine-Borels teorem , men er ofte oppkalt etter K. Weierstrass eller B. Bolzano eller referert til som teorem om maksimum og minimum.

Bestemmelse av ekstreme punkter med forskjellige funksjoner

Den er åpen og har en differensierbar funksjon.

Nødvendig kriterium

Hvis det er et lokalt ekstremum på et punkt og kan skilles der, er det første derivatet null der:

.

Tilstrekkelige kriterier

  • Er to ganger differensierbar, og det er også sant ved siden av , og har da en lokal ekstremum på punktet . Hvis og , er det et lokalt minimum, for på den annen side er det et lokalt maksimum.
  • Mer generelt, men som kan avledes ved hjelp av Taylor-formelen : kan avledes n ganger og er der
så det følger:
(1) Hvis er jevn og (eller ), så har at et relativt maksimum (eller minimum).
(2) Hvis derimot merkelig, har i ingen lokal ytterlighet ( funksjonsverdi , men en av økningen , som er et vendepunkt ).
Eller for å si det ganske generelt: Hvis det første ikke-null-derivatet av funksjonen på punktet der er er et derivat av jevn rekkefølge, så har det på dette punktet et ekstremt punkt, med et ikke-derivat for et minimum og et derivat for det er et maksimum. (Sammenlign funksjonene i skjemaet: , .)
  • Hvis det første derivatet har et tegnendring , er det et ekstreme. En endring av tegn fra pluss til minus er et maksimum, og en endring av tegn fra minus til pluss er et minimum.
  • Følgende gjelder kontinuerlige funksjoner i intervaller: Det er alltid et lokalt maksimum mellom to lokale minima for en funksjon, og det er alltid et lokalt minimum mellom to lokale maksimum.
  • Følgende gjelder for differensierbare funksjoner på intervaller: Hvis det er to sifre med , slik at det første derivatet i intervallet bare har null , og er det også , så har med et lokalt minimum. Bruker den analoge tilstanden med og er så på et lokalt maksimum.

Imidlertid er det også funksjoner som ingen av de ovennevnte. Kriterier hjelper (se nedenfor).

Eksempler

  • Det første derivatet har bare null på. Det andre derivatet er positivt der, så det antar et lokalt minimum på 0, nemlig .
  • Det første derivatet har bare null på. Det andre derivatet der er også 0. Du kan nå fortsette på forskjellige måter:
    • Det tredje derivatet er også der 0. Det fjerde derivatet er derimot det første høyere derivatet som ikke er 0. Siden dette derivatet har en positiv verdi og er jevnt, er det ifølge (1) sant at funksjonen har et lokalt minimum der.
    • Den første deriverte har ved 0 en fortegnsendring fra minus til pluss, og har således ved et lokalt minimum.
    • Det er så har et lokalt minimum i intervallet . Siden det første derivatet bare har null i dette intervallet , må det lokale minimum antas der.
  • Funksjonen definert av for og av har følgende egenskaper:
    • Det har et globalt minimum.
    • Det kan differensieres et hvilket som helst antall ganger.
    • Alle derivater ved er lik 0.
    • Det første derivatet har ingen tegnendring ved 0.
    • De to andre kriteriene nevnt ovenfor gjelder heller ikke.

Søknadseksempel

I praksis kan ekstremverdiberegninger brukes til å beregne de største eller minste spesifikasjonene, som følgende eksempel viser (se også optimaliseringsproblemet ):

  • Hvordan skal et rektangulært område se ut som har et maksimalt areal med en viss omkrets?

Løsning:

Omkretsen er konstant, området bør maksimeres, lengden og bredden er:

1) i 2) sett inn og form på nytt

Form avledede funksjoner

Høyt funksjonspunkt

Det er bare ett lokalt maksimum, som i dette eksemplet (uten bevis) også er det globale maksimumet, siden det andre derivatet alltid er mindre enn null, uavhengig av variabelen.

For å finne en ekstrem verdi må det første derivatet settes til null (siden dette beskriver hellingen til den opprinnelige funksjonen og denne stigningen er null for ekstreme verdier. Hvis det andre derivatet av funksjonen ikke er lik null, er det et minimum eller maksimum).

Sett inn i 1)

Det følger av dette at størst mulig areal av et rektangel med en gitt omkrets kan oppnås hvis begge sidelengder er like (som tilsvarer et kvadrat). Omvendt kan det imidlertid også sies at et rektangel med et gitt område har den minste omkretsen hvis

forsiktig - dvs. med en firkant.

Flerdimensjonalt tilfelle

Det var og er en funksjon. Videre, la være et indre poeng av . Et lokalt minimum / maksimum er gitt hvis det er et miljø der ingen punkter antar en mindre eller større funksjonsverdi.

Forsvinningen av gradienten er analog med det endimensjonale tilfellet

en nødvendig forutsetning for at poenget kan anta et ekstreme. I dette tilfellet er definisjonen til den hessiske matrisen tilstrekkelig : hvis den er positiv, er det et lokalt minimum; hvis det er negativt, er det et lokalt maksimum; hvis det er ubestemt, er det ikke noe ekstremt punkt, men et sadelpunkt . Hvis det bare er semidefinit, er ingen beslutning basert på den hessiske matrisen mulig (se Peanos-overflaten ).

Uendelig dimensjonal sak

definisjon

Konseptet med maksimum og minimum overføres direkte til det uendelige dimensjonale tilfellet. Er et vektorrom og en delmengde av dette vektorområdet, samt et funksjonelt. Så kom på stedet

  • et (globalt) minimum hvis for alle
  • et (globalt) maksimum hvis for alle

Tillegget “global” blir vanligvis utelatt hvis det fremgår av sammenhengen hva som menes. Er i tillegg utstyrt med en topologi , så et topologisk rom , er da på punktet

  • et lokalt minimum hvis det er et nabolag av slike som gjelder alle .
  • et lokalt maksimum hvis det er et nabolag av slike som gjelder alle .

Et punkt kalles et (lokalt) ekstremum hvis det er et (lokalt) minimum eller et (lokalt) maksimum. Hvert globale minimum (maksimum) er et lokalt minimum (maksimum).

Eksistens, unikhet og geometri av ekstremer

eksistens

Tilsvarende eksistensuttalelsene for virkelige funksjoner, er det også utsagn for eksistensen av ekstreme steder av funksjonaliteter. Er et normert rom , da:

Siden denne versjonen ofte er upraktisk for applikasjon og kontroll, svekkes denne for påstanden om at hver kontinuerlig kvasi-konveks funksjonell forutsetter et minimum på et avgrenset, konveks og lukket delmengde av et refleksivt Banach-rom . Denne påstanden gjelder også for alle konvekse funksjoner, siden disse alltid er kvasi-konvekse. I det endelige dimensjonale kan konveksiteten til delmengden utelates.

Unikt

Under visse omstendigheter blir de optimale poengene til og med klart bestemt. Dette inkluderer for eksempel streng konveksitet .

geometri

Hvis du begrenser deg til visse klasser av funksjoner, kan du komme med uttalelser om geometrien til settet med ekstreme punkter.

  • Hvis funksjonen er kvasiskonveks på et konveks sett, er settet med minima konveks.
  • Hvis funksjonen er kvasi-konkav på et konveks sett, er maksimumssettet konveks.
  • Hvis funksjonen er konveks på et konveks sett, er hvert lokale minimum et globalt minimum.
  • Hvis funksjonen er konkav på et konveks sett, er hvert lokale maksimum et globalt maksimum.

Andre ekstreme verdier

Diskret optimalisering

Når det gjelder diskrete optimaliseringsproblemer , er ikke begrepet lokal extremum definert ovenfor egnet, siden en lokal extremum i denne forstand er tilstede på hvert punkt. Et annet miljøbegrep brukes derfor for ytterpunktene til en funksjon : Det brukes en nabolagsfunksjon som tildeler settet til naboene til hvert punkt ,

står for kraftsettet av .

har da et lokalt maksimum på et punkt hvis holder for alle naboer . Lokale minima defineres analogt.

Beregning av variasjoner

Ekstreme verdier av funksjoner hvis argumenter er funksjoner selv, f.eks. B. Konturen til en regndråpe med minimal luftmotstand, er gjenstand for beregning av variasjoner .

Se også

weblenker

Wiktionary: ekstrem verdi  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

  1. ^ W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Liten oppslagsverk for matematikk. Leipzig 1970, s. 433-434.