Invers matrise

Den inverse matrisen , den inverse matrisen eller kort inversen av en kvadratmatrise er i matematikk en tilsvarende kvadratmatrise som multipliseres med utmatrisen, identitetsmatrisen oppnås. Ikke alle firkantede matriser har en invers; de inverterbare matrisene kalles vanlige matriser . En vanlig matrise er representasjonsmatrisen til en bijektiv lineær kartlegging, og den inverse matrisen representerer deretter den inverse kartleggingen av denne kartleggingen. Settet med vanlige matriser av fast størrelse danner den generelle lineære gruppen med matrisemultiplikasjonen som en lenke . Den omvendte matrisen er da det omvendte elementet i denne gruppen.

Beregningen av inversen til en matrise er også kjent som inversjon eller inversjon av matrisen. En matrise kan inverteres med Gauss-Jordan-algoritmen eller via tilleggene til matrisen. Den omvendte matrisen brukes i lineær algebra for å løse systemer av lineære ligninger , for ekvivalensrelasjoner av matriser og for matrisedekomponering.

definisjon

Hvis en vanlig matrise med oppføringer fra en enhetsring (i praksis hovedsakelig feltet med reelle tall ), er den tilknyttede inverse matrisen matrisen som ${\ displaystyle A \ in R ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A ^ {- 1} \ in R ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle A \ times A ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ times A = I}$

holder, hvor den male punkt representerer   den matrise multiplikasjon og er den enhet matrise av kvantitet . Hvis en kommutativ ring , kropp eller tilbøyelig kropp , er de to forholdene ekvivalente, det vil si at en høyre-invers matrise også er venstre-invers og omvendt. ${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle R}$

Eksempler

Det omvendte av den virkelige matrisen ${\ displaystyle (2 \ ganger 2)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 4 \ end {pmatrix}}}$

er

${\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 2 & -0.5 \\ - 3 & 1 \ end {pmatrix}}}$,

fordi det gjelder

${\ displaystyle A \ cdot A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 4 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 2 & -0,5 \\ - 3 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 4-3 & -1 + 1 \\ 12-12 & -3 + 4 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = I}$.

Det omvendte av en reell diagonal matrise med diagonale elementer skyldes dannelsen av gjensidige verdier av alle diagonale elementer, fordi ${\ displaystyle d_ {1}, \ ldots, d_ {n} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {diag} \ left (d_ {1}, \ ldots, d_ {n} \ right) \ cdot \ operatorname {diag} \ left (d_ {1} ^ {- 1}, \ ldots, d_ {n} ^ {- 1} \ right) = \ operatorname {diag} \ left (1, \ ldots, 1 \ right) = I}$.

egenskaper

Gruppe eiendommer

Settet med vanlige matriser av fast størrelse over en enhetsring danner en (generelt ikke-kommutativ ) gruppe , den generelle lineære gruppen , med matrisemultiplikasjonen som en lenke . I denne gruppen er identitetsmatrisen det nøytrale elementet og den inverse matrisen er det inverse elementet . Som sådan er det inverse av en matrise klart definert og både venstre og høyre invers. Spesielt gir det inverse av identitetsmatrisen identitetsmatrisen igjen, altså ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, R)}$

${\ displaystyle I ^ {- 1} = I}$,

og det inverse av den inverse matrisen er igjen utmatrisen, altså

${\ displaystyle \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {- 1} = A}$.

Matrisene og blir derfor også kalt invers til hverandre. Produktet av to vanlige matriser er igjen vanlig og det inverse av produktet er produktet av den respektive inversen, men i omvendt rekkefølge: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ left (A \ cdot B \ right) ^ {- 1} = B ^ {- 1} \ cdot A ^ {- 1}}$.

Hvis en matrise kan vises som et produkt av lett inverterbare matriser, kan matrisens inverse bestemmes raskt på denne måten. Den generelle produktformelen gjelder omvendt av produktet i flere matriser

${\ displaystyle \ left (A_ {1} \ cdot A_ {2} \ dotsm A_ {k} \ right) ^ {- 1} = A_ {k} ^ {- 1} \ dotsm A_ {2} ^ {- 1 } \ cdot A_ {1} ^ {- 1}}$

med . Dette gjelder spesielt det omvendte av en matriseeffekt${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ left (A ^ {k} \ right) ^ {- 1} = \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {k}}$.

Denne matrisen noteres også gjennom . ${\ displaystyle A ^ {- k}}$

Andre egenskaper

Følgende tilleggsegenskaper gjelder det inverse av en matrise med oppføringer fra en kropp . Det omvendte av produktet av en matrise med en skalar med gjelder ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle c \ in K}$${\ displaystyle c \ neq 0}$

${\ displaystyle (cA) ^ {- 1} = c ^ {- 1} A ^ {- 1}}$.

Den omvendte av den transponerte matrisen er lik transponeringen av den inverse, så

${\ displaystyle \ left (A ^ {T} \ right) ^ {- 1} = \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {T}}$.

Det samme gjelder det omvendte av en tilgrensende kompleks matrise

${\ displaystyle \ left (A ^ {H} \ right) ^ {- 1} = \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {H}}$.

Disse to matrisene blir også tidvis skrevet ned gjennom og . For rangen av det omvendte gjelder ${\ displaystyle A ^ {- T}}$${\ displaystyle A ^ {- H}}$

${\ displaystyle \ operatorname {rank} \ left (A ^ {- 1} \ right) = \ operatorname {rank} (A) = n}$

og for dens determinant

${\ displaystyle \ operatorname {det} \ left (A ^ {- 1} \ right) = (\ det A) ^ {- 1}}$.

Hvis en egenverdi av er til egenvektoren , så er en egenverdi av også til egenvektoren . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}}$${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ displaystyle x}$

Invarianter

Noen vanlige matriser holder de ekstra egenskapene sine under inversjon. Eksempler på dette er:

• øvre og nedre trekantede matriser samt strengt øvre og nedre trekantede matriser
• positive bestemte og negative bestemte matriser
• symmetriske , persymmetriske , bisymmetriske og sentralt symmetriske matriser
• unimodular og heltall unimodular matriser

beregning

For å beregne inversen til en matrise (også kalt inversjon eller inversjon av matrisen) bruker man at dens -th kolonner er løsningene til de lineære ligningssystemene med -th enhetsvektoren til høyre. Numeriske metoder som Gauss-Jordan-algoritmen fører da til effektive algoritmer for beregning av det inverse. I tillegg kan eksplisitte formler for det omvendte utledes ved hjelp av tilleggene til en matrise. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {j}}$${\ displaystyle A \ cdot {\ hat {a}} _ {j} = e_ {j}}$${\ displaystyle j}$

I det følgende antas det at oppføringene i matrisen kommer fra et legeme slik at de tilsvarende aritmetiske operasjonene alltid kan utføres.

Gauss-Jordan algoritme

Ligningsrepresentasjon

Matriseligningen er skrevet ut med og${\ displaystyle A \ cdot A ^ {- 1} = I}$${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$${\ displaystyle A ^ {- 1} = ({\ hat {a}} _ {ij})}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {11} & \ ldots & a_ {1n} \\\ vdots & ~ & \ vdots \\ a_ {n1} & \ ldots & a_ {nn} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {\ hat {a}} _ {11} & \ ldots & {\ hat {a}} _ {1n} \\\ vdots & ~ & \ vdots \\ {\ hat {a }} _ {n1} & \ ldots & {\ hat {a}} _ {nn} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & ~ & 0 \\ ~ & \ ddots & ~ \\ 0 & ~ & 1 \ end {pmatrix}}}$.

Den inte kolonnen til inversen er løsningen på det lineære ligningssystemet${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {j} = \ left ({\ hat {a}} _ {1j}, {\ hat {a}} _ {2j}, \ ldots, {\ hat {a }} _ {nj} \ right) ^ {T}}$

${\ displaystyle A \ cdot {\ hat {a}} _ {j} = e_ {j}}$,

hvor er den -te enhetsvektor . Det omvendte av en matrise er derfor kolonnemessig i formen ${\ displaystyle e_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A ^ {- 1} = \ left ({\ hat {a}} _ {1} ~ | ~ {\ hat {a}} _ {2} ~ | ~ \ ldots ~ | ~ {\ hat { a}} _ {n} \ right)}$

sammensatt av løsningene til lineære ligningssystemer, hver som en koeffisientmatrise og en enhetsvektor som høyre side. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$

Fremgangsmåte

Det omvendte av en matrise kan nå beregnes effektivt ved hjelp av Gauss-Jordan-algoritmen . Ideen bak denne metoden er å løse de lineære ligningssystemene samtidig. For dette formålet utvides koeffisientmatrisen først av identitetsmatrisen, og deretter skriver man ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A \ cdot {\ hat {a}} _ {j} = e_ {j}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle (\, A \, | \, I \,) = \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc} a_ {11} & \ ldots & a_ {1n} \, & \, 1 & ~ & 0 \\\ vdots & ~ & \ vdots \, & \, ~ & \ ddots & ~ \\ a_ {n1} & \ ldots & a_ {nn} \, & \, 0 & ~ & 1 \ end { array}} \ høyre)}$.

Nå bringes matrisen til den øvre trekantede formen ved hjelp av elementære linjetransformasjoner , hvorved identitetsmatrisen også transformeres: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle (\, D \, | \, B \,) = \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc} \, * \, & \ ldots & \, * \, \, & \, \, * \, & \ ldots & \, * \, \\ ~ & \ ddots & \ vdots \, & \, \ vdots & ~ & \ vdots \\ 0 & ~ & \, * \, \, & \ , \, * \, & \ ldots & \, * \, \ end {array}} \ right)}$.

På dette punktet kan det avgjøres om matrisen i det hele tatt har en invers. Matrisen kan inverteres hvis og bare hvis matrisen ikke inneholder null på hoveddiagonalen. Hvis dette er tilfelle, kan matrisen først bringes til en diagonal form med ytterligere elementære linjetransformasjoner og deretter konverteres til enhetsmatrisen ved hjelp av passende skalering. Endelig får du formen ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle (\, I \, | \, A ^ {- 1} \,) = \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & ~ & 0 \, & \, {\ hat { a}} _ {11} & \ ldots & {\ hat {a}} _ {1n} \\ ~ & \ ddots & ~ \, & \, \ vdots & ~ & \ vdots \\ 0 & ~ & 1 \ , & \, {\ hat {a}} _ {n1} & \ ldots & {\ hat {a}} _ {nn} \ end {array}} \ right)}$,

hvor på høyre side er den etterspurte omvendte . ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$

Eksempler

Tenk på det omvendte av den virkelige matrisen ${\ displaystyle (2 \ ganger 2)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \ end {pmatrix}}}$

søkte. Beregningstrinnene kommer fra Gauss-Jordan-algoritmen

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 \, & \, 1 & 0 \\ {\ color {BrickRed} 2} & 3 \, & \, 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ rightarrow \ left ({\ begin {array} {cc | cc} 1 & {\ color {OliveGreen} 2} \, & \, 1 & 0 \\ 0 & -1 \, & \, - 2 & 1 \ end {array}} \ right) \ rightarrow \ left ({\ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 \, & \, - 3 & 2 \\ 0 & {\ color {Blue} -1} \, & \, - 2 & 1 \ end {array}} \ right) \ rightarrow \ left ({\ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 \, & \, - 3 & 2 \\ 0 & 1 \, & \, 2 & -1 \ end {array}} \ right)}$.

Her, først eliminert under diagonalen, som gjøres ved å trekke dobbelt fra den første raden i den andre linjen. Deretter blir den over diagonalen satt til null, noe som gjøres ved å legge to ganger til den andre linjen til den første linjen. I det siste trinnet normaliseres det andre diagonale elementet til ett, noe som krever en multiplikasjon av den andre raden . Det omvendte av er derfor ${\ displaystyle \ color {BrickRed} 2}$${\ displaystyle \ color {OliveGreen} 2}$${\ displaystyle \ color {Blue} -1}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \ end {pmatrix}}}$.

Som et annet eksempel kan du vurdere det inverse av den virkelige matrisen ${\ displaystyle (3 \ ganger 3)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

søkte. Først og fremst elimineres de to -en i den første kolonnen, noe som gjøres ved å trekke to ganger fra den første raden. Nå som dreieelementet er det samme i den andre kolonnen , byttes den andre raden med den tredje raden for eliminering, og den øvre trekantede formen oppnås: ${\ displaystyle \ color {BrickRed} 2}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ color {BrickRed} -3}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 2 & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ {\ color {BrickRed} 2} & 4 & 1 \, & \ , 0 & 1 & 0 \\ {\ color {BrickRed} 2} & 1 & 0 \, & \, 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ rightarrow \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 2 & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, - 2 & 1 & 0 \\ 0 & {\ color {BrickRed} -3 } & 0 \, & \, - 2 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ rightarrow \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 2 & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \, & \, - 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, - 2 & 1 & 0 \ end {array}} \ right) }$.

Denne matrisen er også inverterbar. Nå må bare den gjenværende over diagonalen settes til null, noe som gjøres ved å legge to ganger til den andre linjen til tre ganger den første linjen. Endelig må den andre linjen deles med, og resultatet er: ${\ displaystyle \ color {OliveGreen} 2}$${\ displaystyle \ color {Blue} -3}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & {\ color {OliveGreen} 2} & 0 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \, & \, - 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, - 2 & 1 & 0 \ end {array}} \ right) \ rightarrow \ left ({\ begin {array} {ccc | ccc } {\ color {Blue} 1} & 0 & 0 \, & \, - {\ tfrac {1} {3}} & 0 & {\ tfrac {2} {3}} \\ 0 & {\ color { Blå} -3} & 0 \, & \, - 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \, & \, - 2 & 1 & 0 \ end {array}} \ høyre) \ høyre pil \ venstre ( {\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 \, & \, - {\ tfrac {1} {3}} & 0 & {\ tfrac {2} {3}} \ \ 0 & 1 & 0 \, & \, {\ tfrac {2} {3}} & 0 & - {\ tfrac {1} {3}} \\ 0 & 0 & 1 \, & \, - 2 & 1 & 0 \ slutt {array}} \ høyre)}$.

Det omvendte av er derfor ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} - {\ tfrac {1} {3}} & 0 & {\ tfrac {2} {3}} \\ {\ tfrac {2} {3 }} & 0 & - {\ tfrac {1} {3}} \\ - 2 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {3}} {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ - 6 & 3 & 0 \ end {pmatrix}}}$.

korrekthet

Det faktum at den omvendte matrisen faktisk beregnes av Gauss-Jordan-algoritmen, kan demonstreres som følger. Hvis elementære matriser brukes til å transformere matrisen til identitetsmatrisen, da ${\ displaystyle N_ {1}, \ ldots, N_ {m}}$ ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle I = N_ {m} \ dotsm N_ {2} \ cdot N_ {1} \ cdot A}$.

Hvis begge sider av denne ligningen multipliseres med matrisen fra høyre , følger den ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$

${\ displaystyle A ^ {- 1} = N_ {m} \ dotsm N_ {2} \ cdot N_ {1} \ cdot I}$.

Følgelig, hvis en matrise blir konvertert til enhetsmatrisen ved å multiplisere den fra venstre med en serie elementære matriser , vil multiplikasjonen av enhetsmatrisen med disse elementære matriser i samme rekkefølge resultere i den inverse . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {- 1}}$

Representasjon via tilleggene

Derivasjon

Ved hjelp av Cramers regel kan løsningen av det lineære ligningssystemet også eksplisitt utføres ${\ displaystyle A \ cdot {\ hat {a}} _ {j} = e_ {j}}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {ij} = {\ frac {\ det A_ {i}} {\ det A}}}$

der matrisen blir opprettet ved å erstatte den- kolonnen med enhetsvektoren . Hvis determinanten i telleren nå er utviklet i henhold til -th kolonne ved hjelp av Laplaces utvidelsesteori , blir resultatet ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle e_ {j}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {ij} = {\ frac {(-1) ^ {i + j} \ cdot \ det A_ {ji}} {\ det A}}}$,

hvor er den undermatrise av , som blir dannet ved sletting av det -te rad og -te kolonne (legg merke til reversering av rekkefølgen av og i formelen ovenfor ). Underbestemmelsene kalles også mindreårige for . Betalingen ${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ det A_ {ij}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ tilde {a}} _ {ij} = (- 1) ^ {i + j} \ cdot \ det A_ {ij}}$

kalles også kofaktorer av og, kombinert som en matrise, danner kofaktormatrisen . Transponeringen av kofaktormatrisen kalles også supplementet til . Med tillegg har det inverse av en matrise den eksplisitte representasjonen ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {cof} A = ({\ tilde {a}} _ {ij})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {adj} A}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det A}} \ cdot \ operatorname {adj} A}$.

Denne representasjonen gjelder også matriser med oppføringer fra en kommutativ ring med en , forutsatt at det representerer en enhet i ringen. ${\ displaystyle \ det A}$

Eksplisitte formler

Dette resulterer i den eksplisitte formelen for matriser ${\ displaystyle (2 \ ganger 2)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det A}} \ cdot {\ begin {pmatrix} d & -b \\ -c & a \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {ad-bc}} \ cdot {\ begin {pmatrix} d & -b \\ - c & a \ end {pmatrix }}}$.

Formelen for matriser resulterer deretter ${\ displaystyle (3 \ ganger 3)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det A }} \ cdot {\ begin {pmatrix} e- fh & ch-bi & bf-ce \\ fg-di & ai-cg & cd-af \\ dh-eg & bg-ah & ae-bd \ end { pmatrix}}}$,

hvor kan spesifiseres med Sarrus-regelen . På denne måten kan eksplisitte formler for det inverse også utledes for større matriser; fremstilling og beregning viser seg imidlertid å være veldig tidkrevende. ${\ displaystyle \ det A}$

Eksempler

Den omvendte av følgende virkelige matrise er gitt av ${\ displaystyle (2 \ ganger 2)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {4-6}} \, {\ begin {pmatrix} 4 & -2 \\ \\ -3 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \ end {pmatrix}} }$

og den omvendte av følgende virkelige matrise ${\ displaystyle (3 \ ganger 3)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ - 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {8-2-2}} \, {\ begin {pmatrix} 4-1 & 2-0 & 1-0 \\ 2-0 & 4-0 & 2-0 \\ 1-0 & 2-0 & 4-1 \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {4}} {\ begin {pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \ end {pmatrix} }}$.

Blokkvis inversjon

Det omvendte av a - blokk matrise med blokkbredder og høyder resulterer i ${\ displaystyle (2 \ ganger 2)}$${\ displaystyle n_ {1} + n_ {2} = n}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} A ^ {- 1} + A ^ {- 1} BS ^ {- 1} CA ^ {- 1} & - A ^ {- 1} BS ^ {- 1} \\ - S ^ {- 1} CA ^ {- 1} & S ^ {- 1} \ end {bmatrix}}}$,

forutsatt at den delvise matrisen og Schur-komplementet er inverterbare. Analogt resultat ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle S = D-CA ^ {- 1} B}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} T ^ {- 1} & - T ^ {- 1} BD ^ {- 1 } \\ - D ^ {- 1} CT ^ {- 1} & D ^ {- 1} + D ^ {- 1} CT ^ {- 1} BD ^ {- 1} \ end {bmatrix}}}$,

gitt og er inverterbare. ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle T = A-BD ^ {- 1} C}$

Representasjon ved hjelp av det karakteristiske polynomet

Spesielt for en kvadratisk , vanlig matrise kan det inverse beregnes ved hjelp av dets karakteristiske polynom :

La være en firkantet matrise og det karakteristiske polynomet til . Da er vanlig hvis og bare hvis er, siden er lik determinanten for , og det holder ${\ displaystyle A \ in K ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle \ chi _ {A} (t) = \ alpha _ {0} + \ alpha _ {1} \ cdot t ^ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} \ cdot t ^ {n} }$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha _ {0} \ neq 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A ^ {- 1} = {\ frac {-1} {\ det (A)}} \ left (\ alpha _ {1} I_ {n} + \ alpha _ {2} A + \ ldots + \ alpha _ {n} A ^ {n-1} \ høyre)}$

Å sette inn matrisen i polynomet er analogt med å sette inn et reelt tall, bortsett fra at beregningsreglene for matriser gjelder her. betegner identitetsmatrisen med rader og kolonner. ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle n}$

Derivasjon

Som ble utnyttet her Cayley-Hamilton teorem , som sier at det alltid oppstår når en matrise i hennes karakteristiske polynom brukes. For med sitt karakteristiske polynom gjelder alltid følgende: ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle A \ i K ^ {n, n}}$${\ displaystyle \ chi _ {A} (t) = \ alpha _ {0} + \ alpha _ {1} \ cdot t ^ {1} + \ ldots + \ alpha _ {n} \ cdot t ^ {n} }$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (A) = 0 \, \, \ Longleftrightarrow \, \, \ alpha _ {0} \ cdot I_ {n} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} \ cdot A ^ {i} = 0 \, \, \ Longleftrightarrow \, \, - \ alpha _ {0} \ cdot I_ {n} = A \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ cdot A ^ {i-1} \, \, \ Longleftrightarrow \, \, A ^ {- 1} = \ displaystyle - {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ cdot A ^ {i-1}} {\ alpha _ {0}}} \, \, \ Longleftrightarrow \, \, A ^ {- 1} = {\ frac { -1} {\ det (A)}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ cdot A ^ {i-1}}$

eksempel

Vær . Da er deres karakteristiske polynom .${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ chi _ {A} (t) = t ^ {3} -10 \ cdot t ^ {2} +3 \ cdot t + 8}$

Å sette det inn i formelen gir:

${\ displaystyle {\ begin {align} A ^ {- 1} & = {\ frac {-1} {\ det (A)}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ cdot A ^ {i-1} \\\\ & = {\ frac {-1} {\ alpha _ {0}}} \ left (\ alpha _ {1} \ cdot I_ {3} + \ alpha _ {2} \ cdot A + \ alpha _ {3} \ cdot A ^ {2} \ right) \\\\ & = {\ frac {-1} {8}} \ left (3 \ cdot {\ begin { pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} - 10 \ cdot {\ begin {pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \ \ 2 & 4 & 6 \ end {pmatrix}} + 1 \ cdot {\ begin {pmatrix} 21 & 28 & 51 \\ 10 & 15 & 26 \\ 22 & 32 & 58 \ end {pmatrix}} \ høyre) \\\\ & = - {\ frac {1} {8}} {\ begin {pmatrix} -6 & 8 & 1 \\ 0 & 8 & -4 \\ 2 & -8 & 1 \ end {pmatrix} } \ end {align}}}$

Forholdene (se karakteristisk polynom ) så vel som (se identitetsmatrise ) ble brukt her. ${\ displaystyle \ alpha _ {0} = \ det (A)}$${\ displaystyle A ^ {0} = I_ {n}}$

Numerisk beregning

Generelt, i numerikk, er ikke lineære ligningssystemer basert på det omvendte av formen${\ displaystyle Ax = b}$

${\ displaystyle x = A ^ {- 1} b}$,

men løst med spesielle metoder for systemer av lineære ligninger (se Numerisk lineær algebra ). Beregningsmetoden ved bruk av det omvendte er på den ene siden mye mer kompleks og på den annen side mindre stabil . Noen ganger må du imidlertid eksplisitt finne det omvendte av en matrise. Tilnærmingsmetoder brukes da, spesielt for veldig store matriser . En tilnærming for dette er Neumann-serien , som det inverse av en matrise passerer gjennom den uendelige serien

${\ displaystyle A ^ {- 1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (IA) ^ {k}}$

kan være representert forutsatt at serien konvergerer. Hvis denne serien blir avskåret etter et endelig antall termer, oppnås en omvendt omvendt. For spesielle matriser, som båndmatriser eller Toeplitz-matriser , er det effektive beregningsmetoder for å bestemme det inverse.

bruk

Spesielle matriser

Ved hjelp av den omvendte matrisen kan følgende klasser av matriser karakteriseres:

• For en selvinvers matrise er den inverse lik utmatrisen , det vil si .${\ displaystyle A ^ {- 1} = A}$
• For en ortogonal matrise er det omvendte lik transponere, det vil si .${\ displaystyle A ^ {- 1} = A ^ {T}}$
• For en enhetlig matrise er det inverse lik tilgrensende, det vil si .${\ displaystyle A ^ {- 1} = A ^ {H}}$

Andre matriser, hvis inverse kan spesifiseres eksplisitt, er, foruten diagonale matriser, Frobenius- matriser , Hilbert-matriser og tridiagonal-Toeplitz-matriser .

Inverse figurer

Dersom og er to -dimensjonale vektor mellomrom over hele kroppen , så den inverse kartlegging assosiert med en gitt bijektiv lineær kartlegging blir gitt etter ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ kolon W \ til V}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ f = f \ circ f ^ {- 1} = \ operatorname {id}}$

karakterisert, som representerer den samme figuren . Hvis det er nå et grunnlag for og en basis for , så gjelder de tilhørende kartleggings matriser og forholdet ${\ displaystyle \ operatorname {id}}$${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ {w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \}}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle A_ {f} \ in K ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle A_ {f ^ {- 1}} \ in K ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle A_ {f ^ {- 1}} = A_ {f} ^ {- 1}}$.

Kartleggingsmatrisen til den inverse kartleggingen er derfor nettopp den inverse av kartleggingsmatrisen til utgangskartleggingen.

To baser

Hvis det er et endelig-dimensjonalt vektorrom over kroppen , er det tilknyttede doble rommet vektorområdet til de lineære funksjonene . Er et grunnlag for , det tilsvarende er dobbelt grunnlag ved å bruke Kronecker-deltaene av ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle V ^ {\ ast}}$ ${\ displaystyle V \ til K}$${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ {v_ {1} ^ {\ ast}, \ ldots, v_ {n} ^ {\ ast} \}}$${\ displaystyle V ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle v_ {i} ^ {\ ast} (v_ {j}) = \ delta _ {ij}}$

for karakterisert. Hvis matrisen nå består av koordinatvektorene til basisvektorene, resulterer den tilknyttede doble matrisen som ${\ displaystyle i, j = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle A_ {v} = (x_ {1} \ mid \ ldots \ mid x_ {n})}$${\ displaystyle A_ {v ^ {\ ast}} = (x_ {1} ^ {\ ast} \ mid \ ldots \ mid x_ {n} ^ {\ ast}) ^ {T}}$

${\ displaystyle A_ {v ^ {\ ast}} = A_ {v} ^ {- 1}}$.

Basismatrisen til det dobbelte grunnlaget er derfor nettopp det omvendte av basismatrisen til den primære basis.

Andre bruksområder

Inverse matriser brukes også i lineær algebra:

• for ekvivalensrelasjoner, for eksempel matrisenes likhet og ekvivalens
• for normale matriser, for eksempel Jordan-normalformen eller Frobenius-normalformen
• med matriksnedbrytning, for eksempel dekomponering av entallverdi
• ved beregning av tilstanden til vanlige matriser

Se også

• Pseudoinverse , en generalisering av invers til singulære og ikke-kvadratiske matriser
• Sherman-Morrison-Woodbury-formel , en formel for det omvendte av en rang-k-modifisert matrise
• Diagonalisering , konvertering av en matrise til diagonal form gjennom en likhetstransformasjon
• Smith normalform , diagonaliseringen av en matrise med oppføringer fra en hovedidealring

litteratur

• Siegfried Bosch : Lineær algebra . Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3 . 
• Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations . 3. Utgave. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 0-8018-5414-8 . 
• Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis . Cambridge University Press, 1990, ISBN 0-521-38632-2 . 
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineær algebra . Springer, 2012, ISBN 978-3-8348-8290-5 . 
• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerisk matematikk . 8. utgave. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4 . 

weblenker

• Invers matrise . I: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ). 
• Kh. D. Ikramov: Inversjon av en matrise . I: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ). 
• Eric W. Weisstein : Matrise invers . På: MathWorld (engelsk).
• akrowne: matrise invers . I: PlanetMath . (Engelsk)

Individuelle bevis

1. ^ GW Stewart: Matrix Algorithms . Volum 1: Grunnleggende dekomponering . SIAM, 1998, s. 38 .