Pythagoras komma

I musikk er det Pythagoras komma et intervall på omtrent en åttende tone (23,46 cent ), som ikke brukes som et uavhengig musikalsk trinn. Mens syv (rene) oktaver tilsvarer nøyaktig tolv (like) femtedeler i den vanligste likestillingen i dag , er det forskjell mellom syv (rene) oktaver og tolv (rene) femtedeler i den tidlige Pythagoras-tuning (eller også med den rene tuning) ).

Per definisjon: Pythagoras komma = 12 femtedeler - 7 oktaver.

Denne forskjellen fordeles jevnt over de tolv femtedeler i den samme innstillingen. En herding oppnås hvor disse like femtedeler (700 cent) bare skiller seg ubetydelig fra de rene femtedeler (702 cent). Imidlertid skiller de like tredjedeler (300 eller 400 cent) - og dette blir ofte oversett - fra de rene tredjedeler (315,5 og 386,5 cent). Det syntoniske kommaet , forskjellen mellom det pythagoreanske og det rene tredje (408 - 386,5 = 21,5 cent) er nesten det samme som det pytagoreiske kommaet.

Kommaet er av praktisk relevans ved innstilling av instrumenter med faste stigninger. Dette inkluderer for eksempel keyboardinstrumenter og strengeinstrumenter med bånd .

Størrelse og frekvensforhold

Se: Intervallplassens struktur .

Størrelsen på det pythagoreiske kommaet beregnes ut fra definisjonsligningen:

Pythagoras komma = 12 femtedeler - 7 oktaver 23,46 cent .${\ displaystyle \ approx}$

Siden frekvensforholdene multipliseres eller deles når du legger til eller trekker fra intervaller, beregnes frekvensforholdet til det pythagoreiske kommaet som:

${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ frac {3} {2}} \ right) ^ {12}} {2 ^ {7}}} = {\ frac {3 ^ {12}} {2 ^ {19}}} \ omtrent {1 {,} 01364}.}$

Det pythagoreiske kommaet som et problem når du stiller inn tastaturinstrumenter

Et instrument (som moderne keyboardinstrumenter) som bare produserer tolv forskjellige toner per oktav, kan ikke stilles inn slik at det kan spilles i alle taster med absolutt rene intervaller.

Tolv perfekte femtedeler (frekvensforhold 3: 2) resulterer i 8423,46 cent , mens syv oktaver bare er 8400 cent. Forskjellen på 23,46 cent kalles det pythagoreiske kommaet. Fire perfekte femtedeler gir den pytagoreiske major-tredjedelen med 407,82 cent, mens den rene major-tredjedelen bare er 386,31 cent. Forskjellen på 21,51 cent kalles syntonisk komma .

Pythagoras-innstillingen ble brukt i gregoriansk sang og musikk frem til senmiddelalderen . Den største tredjedelen av Pythagoras, som var resultatet av den pytagoreiske innstillingen, spilte ingen rolle i en- eller todelt musikk (femtedeler, fjerdedeler). Med fremkomsten av akkordforbindelsene dannet i polyfoni, ble den rene store tredjedel med frekvensforholdet 5: 4 snart anerkjent som en konsonans . Dette gjorde den pytagoreiske stemningen ubrukelig. I lang tid ble det brukt tonetoneinnstillinger som reproduserte den rene store tredjedelen nøyaktig på bekostning av femtedeler, men ekskluderte mange taster. I løpet av JS Bachs tid vokste behovet for å kunne spille i alle nøkler. Utallige forsøk med godt tempererte innstillinger , som forsøkte å få major tredjedeler til å høres så rene som mulig i taster nær C-dur, eller med keyboardinstrumenter hvis oktaver besto av mer enn tolv toner (f.eks. Med delte taster), har nå blitt en realitet like stemning rådet nesten gjennom hele .

Femdelene av den like innstillingen skiller seg bare fra de to for den rene eller den pythagoreiske innstillingen; den største tredjedelen, 14 cent for høyt sammenlignet med den rene major-tredjedelen, blir uunngåelig akseptert som "skjerpet".

Perfekt femte :, Like femte: 700 cent. ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ left ({3 \ over 2} \ right) \; \ mathrm {Cent} \ approx 701 {,} 96 \; \ mathrm {Cent}}$

Ren major tredjedel :, Major tredjedel av lik orden: 400 cent. ${\ displaystyle 1200 \ cdot \ log _ {2} \ left ({5 \ over 4} \ right) \; \ mathrm {Cent} \ approx 386 {,} 31 \; \ mathrm {Cent}}$

historie

Pythagoras Philolaos var den første som definerte det pytagoreiske kommaet. Han baserte seg på innstillingen av en lyra og tildelte forhold mellom strenglengder til kvotienter:

${\ displaystyle {\ frac {2} {1}}}$for oktaven, for den femte og for den fjerde${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}}$

Han forklarer hele tonen som forskjellen mellom en fjerde og en femte. Siden tillegg av intervaller tilsvarer multiplikasjonen og subtraksjonen tilsvarer delingen av de tilknyttede forholdene, blir følgende beregningsresultater:

Den frekvens-forhold = korresponderer med hel tone = femte-fjerde .${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}: {\ frac {4} {3}} = {\ frac {9} {8}}}$

Philolaos definerer nå den (lille) halvtonen som forskjellen mellom en fjerde og to hele toner.

Den (lille) halvtonen = fjerde - 2 hele tonen tilsvarer frekvensforholdet .${\ displaystyle {\ frac {4} {3}}: \ left ({\ frac {9} {8}} \ right) ^ {2} = {\ frac {256} {243}}}$

To pythagoriske halvtoner legger imidlertid ikke til en hel tone. Philolaos definerer forskjellen som et (Pythagoras) komma.

Frekvensforholdet tilsvarer det pythagoreiske kommaet = hel tone - 2 · (mindre) halvtone .${\ displaystyle {\ frac {9} {8}}: \ left ({\ frac {256} {243}} \ right) ^ {2} = {\ frac {531441} {524288}} = \ left ({ \ frac {3} {2}} \ høyre) ^ {12}: 2 ^ {7}}$

Philolaos definerer hele tonen og den lille halvtonen (han kalte Diesis , senere kalt Limma ), men beregner ikke de tilsvarende forholdene. Den første omtale av kommaandelen 531441: 524288 finnes i Euclid . Han bemerker at 6 hele toner danner et større intervall enn en oktav. Forskjellen er igjen det pythagoreiske kommaet.

I følge denne definisjonen tilsvarer frekvensforholdet også det pythagoreiske kommaet = 6 hele toneoktaven .${\ displaystyle \ left ({\ frac {9} {8}} \ right) ^ {6}: 2 = {\ frac {531441} {524288}}}$

litteratur

• Euklid: Katatome kanonos (Latin Sectio canonis ). Engl. Overs. På: Andrew Barker (red.): Greske musikalske skrifter. Vol. 2: Harmonic and Acoustic Theory , Cambridge Mass.: Cambridge University Press, 2004, s. 190–208, her: s. 199.
• Hermann Diels: Fragmentene fra pre-Socratics , 1. bind. 2. utgave. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1906

Se også

• Syntonisk komma
• Dette er

weblenker

• Joachim Mohr: Det pythagoreiske og syntoniske kommaet. I: kilchb.de. Hentet 12. september 2018 

Referanser og kommentarer

1. ↑ Dette handler om frekvensforholdene. Opprinnelig ble gjensidige verdier av strengforholdene notert.