Standardisert plass

I matematikk, en normalisert plass eller normalisert vektorrommet er en vektor plass på hvilken en norm er definert. Hvert normaliserte rom er et metrisk rom med beregningen indusert av normen og et topologisk rom med topologien indusert av denne beregningen . Hvis et normalisert rom er komplett , kalles det et komplett normalisert rom eller Banach-rom . Et normalisert plass kan avledes fra et Prehilbert plass ved hjelp av skalarprodukt norm eller fra et vektorrom med en semi-norm som den faktor plass .

Standardiserte rom er et sentralt studieobjekt for funksjonell analyse og spiller en viktig rolle i løsningsstrukturen til partielle differensiallikninger og integrerte ligninger .

definisjon

Hvis det er et vektorrom over feltet med reelle eller komplekse tall og en norm på , kalles paret et normalisert vektorrom . En norm er en kartlegging som tildeler et ikke-negativt reelt tall til et element i vektorrommet og har de tre egenskapene definitet , absolutt homogenitet og underadditivitet . Det vil si at det er en norm hvis for alle fra- vektorrommet og alt fra : ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | \ colon V \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle (V, \ | \ cdot \ |)}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | \ colon V \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$

1. ${\ displaystyle \ | x \ | = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad x = 0}$   (Definitivitet)
2. ${\ displaystyle \ | \ lambda x \ | = | \ lambda | \ cdot \ | x \ |}$   (absolutt homogenitet)
3. ${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |}$   (Subadditivity, også kalt trekantulikheten )

Hvis det er klart hvilken standard det er, kan du gjøre uten den eksplisitte spesifikasjonen og bare skrive for det standardiserte rommet. ${\ displaystyle V}$

historie

Fra 1896 og utover brukte Hermann Minkowski endelige dimensjonale normerte vektorrom for å undersøke tallteoretiske spørsmål i henhold til dagens terminologi. Den aksiomatiske definisjonen av vektorrom fikk ikke aksept før på 1920-tallet. Minkowski fant ut at for å bestemme en avstand som er kompatibel med vektorstrukturen, er det bare nødvendig å spesifisere kalibreringsorganet. Et kalibreringsorgan er settet med alle vektorer med normen eller lengden mindre enn eller lik en. For eksempel er den faste kule med radius en en kalibreringslegeme. Minkowski fant også at kalibreringslegemet er en konveks delmengde som er sentralt symmetrisk med hensyn til koordinatens opprinnelse , se Minkowski funksjonell .

Standardsymbolet som brukes i dag ble først brukt av Erhard Schmidt i 1908. Hans arbeid foreslo at uttrykket skulle forstås som avstanden mellom vektorene og . I et verk utgitt i 1918 brukte Frigyes Riesz systematisk normsymbolet for supremum-normen i rommet for kontinuerlige funksjoner over et kompakt intervall .${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle \ | xy \ |}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Etter forarbeid av Henri Lebesgue i 1910 og 1913 utviklet Stefan Banach den aksiomatiske definisjonen av normen eller det standardiserte vektorområdet i sin avhandling fra 1922. De fullstendige normaliserte vektorområdene, Banach-rommene , er oppkalt etter ham.

Eksempler

Følgende normaliserte mellomrom er alle også komplette:

• rommet av reelle eller komplekse tall med normen :${\ displaystyle ({\ mathbb {K}}, | \ cdot |)}$
• den plass av reelle eller komplekse vektorer med den p -norm :${\ displaystyle ({\ mathbb {K}} ^ {n}, \ | \ cdot \ | _ {p})}$
• den plass av reelle eller komplekse matriser med den Frobeus-norm :${\ displaystyle ({\ mathbb {K}} ^ {m, n}, \ | \ cdot \ | _ {F})}$
• løpet av real- eller kompleksverdi på p summable th potens Følg den ℓ ^p norm :${\ displaystyle (\ ell ^ {p}, \ | \ cdot \ | _ {\ ell ^ {p}})}$
• rommet for reelle eller komplekse verdsatte begrensede funksjoner med overordnet norm :${\ displaystyle (B, \ | \ cdot \ | _ {\ sup})}$
• rommet for reelle eller komplekse verdsatte kontinuerlige funksjoner på et kompakt sett med definisjoner med maksimumsnormen :${\ displaystyle (C ^ {0}, \ | \ cdot \ | _ {\ max})}$
• den plass av reelle eller kompleksverdige funksjoner i p- te potens Lebesgue integrerbar med L ^p -norm :${\ displaystyle (L ^ {p}, \ | \ cdot \ | _ {L ^ {p}})}$
• rommet av virkelige eller komplekse verdifulle funksjoner begrenset m -fold kontinuerlig differensierbar med C ^m- normen :${\ displaystyle (C ^ {m}, \ | \ cdot \ | _ {C ^ {m}})}$

Følgende eksempel er komplett hvis og bare hvis vektorområdet er komplett: ${\ displaystyle W}$

• rommet til avgrensede lineære operatorer mellom to reelle eller komplekse vektorrom med operatørnormen :${\ displaystyle ({\ mathfrak {L}} (V, W), \ | \ cdot \ | _ {{\ mathfrak {L}} (V, W)})}$

Beslektede mellomrom

Klassifisering av standardiserte rom i forskjellige typer abstrakte rom i matematikk

Spesielle tilfeller

Scalar produktområder

En norm kan, men trenger ikke, defineres av et skalarprodukt (indre produkt) . Hver innvendig produkt plass er med normen indusert ved skalarproduktet${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

et standardisert rom. En norm induseres av et skalarprodukt hvis og bare hvis parallellogramligningen er oppfylt i det resulterende rommet .

Et komplett interiørproduktrom kalles et Hilbert-rom .

Komplette rom

Et normalisert rom kalles komplett hvis hver Cauchy-sekvens i dette rommet har en grenseverdi. Et fullstendig normalisert rom kalles et Banach-rom. Hvert rom kan normaliseres ved dannelse av ekvivalensklasser av komplette Cauchy-sekvenser . På denne måten oppnås et Banach-rom som inneholder det opprinnelige rommet som et tett underområde .

Generaliseringer

Seminormaliserte rom

Hvis det bare er en semi-standard , snakker man om et semistandardisert rom. Fra et rom med en semi-norm oppnås et normalisert rom som et faktorrom . For dette formålet blir elementer og med hverandre identifisert som oppfyller. I funksjonell analyse, i tillegg til normaliserte rom, vurderer man også vektorrom med et sett med semi-normer og kommer dermed til begrepet lokalt konveks rom . ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ | xy \ | = 0}$

Metriske og topologiske mellomrom

Enhver norm indusert av

${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$

en beregning . Hvert standardisert rom er derfor også et metrisk rom og, med standardtopologien, også et topologisk rom . Dette definerer topologiske termer som grenseverdi , Cauchy-sekvens , kontinuitet og kompakthet i standardiserte rom . Så en sekvens konvergerer til en grense hvis og bare hvis holder. Normen i seg selv er en kontinuerlig kartlegging med hensyn til topologien indusert av den. Det metriske rommet er en reell generalisering av det normaliserte rommet, da det er metriske mellomrom der (a) metrikken ikke kan representeres av en norm og / eller (b) ikke er et vektorrom i det hele tatt, for eksempel i fravær av en algebraisk struktur. ${\ displaystyle (V, d)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle (V, {\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ | x_ {n} -x \ | \ rightarrow 0}$${\ displaystyle (X, d)}$
${\ displaystyle d}$
${\ displaystyle X}$

Tilsvarende normer induserer den samme uniforme strukturen og dermed den samme topologien. I endelige dimensjonale vektorrom er alle normer likeverdige med hverandre, men dette er ikke tilfelle i uendelige dimensjonale rom.

Et topologisk vektorrom kalles normaliserbart hvis topologien kan genereres fra en norm. I følge Kolmogoroffs kriterium for normalisering genereres topologien til et Hausdorff topologisk vektorrom av en norm hvis nullvektoren har et begrenset og konveks miljø .

Rom over verdsatte kropper

Konseptet med normalisert rom kan forstås på en mer generell måte ved å tillate vilkårlige vektorrom over evaluerte kropper , dvs. kropper med en absolutt verdi , i stedet for vektorrom over kroppen av reelle eller komplekse tall .${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle (K, | \ cdot |)}$ ${\ displaystyle | \ cdot |}$

Se også

• Jevnhetsforhold : standardiserte mellomrom med standardens spesielle egenskaper
• Konveksitetsbetingelser : standardiserte rom med spesielle egenskaper til enhetens kule

litteratur

• Robert E. Megginson: En introduksjon til Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3
• Dirk Werner : Funksjonsanalyse. 5. utvidede utgave. Springer, Berlin et al. 2005, ISBN 3-540-43586-7 , kapittel I.

Individuelle bevis

1. ↑ ^{a b c d} Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 511-512.
2. ↑ Dirk Werner: Funksjonsanalyse. 6., korrigert utgave, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 , s.41 .
3. ↑ Falko Lorenz: Introduksjon til Algebra II . 2. utgave. Spectrum Academic Publishing House, 1997, s. 69 . 

weblenker

• Raymond Puzio: Normert vektorrom . I: PlanetMath . (Engelsk)