Topologisk rom
En topologisk rom er grunnlagt av sub-disiplin topologi av matematikk . Ved å introdusere en topologisk struktur på et sett, kan intuitive posisjonsforhold som "nærhet" og "streve mot" overføres fra det visuelle rommet til et stort antall veldig generelle strukturer og få en presis betydning.
definisjon
En topologi er et sett med sett som består av delmengder av et grunnleggende sett , kalt åpne eller åpne sett , som tilfredsstiller følgende aksiomer :
- Det tomme settet og basissettet er åpne.
- Den skjæringspunktet mellom begrenset mange åpne settene er åpen. (Det er nok å si at skjæringspunktet mellom to åpne sett er åpent.)
- Den union av en rekke åpne sett er åpen.
Så kalt en topologi på , og paret et topologisk rom .
Enkle konsepter
Tale: elementer er punkter, settet er et mellomrom
Fra det visuelle rommet har betegnelsen "punkt" for elementene i basissettet og betegnelsen "(topologisk) rom" for settet som bærer den topologiske strukturen hatt overhånd. Et topologisk rom er formelt riktig, men paret av det strukturbærende settet og det strukturdefinerende systemet ("topologien") av delmengder.
Dual: fullført
En delmengde av topologisk rom hvis komplement er et åpent sett kalles lukket . Hvis definisjonen formulert ovenfor er dualisert og ordet "åpen" erstattes av "lukket" (og kryss og union utveksles), blir resultatet en ekvivalent definisjon av begrepet "topologisk rom" ved hjelp av systemet med lukkede sett.
Miljøer
I et topologisk rom har hvert punkt et filter av omgivelser . Dette gjør det intuitive begrepet "nærhet" forstått matematisk. Dette begrepet kan også brukes som grunnlag for en definisjon av topologisk rom.
Sammenligning av topologier: grovere og finere
På et fast beløp kan det være visse topologier og sammenligne: Det kalles en topologi finere enn en topologi når , dvs. når hver i det åpne settet er åpen. betyr da grovere enn . Hvis de to topologiene er forskjellige, sies det også at den virkelig er finere enn og er egentlig grovere enn .
Generelt er det også topologier, og det kan ikke sammenlignes i denne forstand. Det er en klar felles forbedring for dem , det er den groveste topologien som inkluderer begge topologiene. Topologien gitt av krysset er dobbelt i forhold til denne vanlige raffinementet . Det er den fineste topologien i begge topologiene. Med forholdet “er finere enn” blir topologiene på et sett en gruppe .
Denne måten å snakke på er kompatibel med den "finere" ordenen til miljøsystemene som et filter: Hvis det er et fast punkt i rommet, er miljøfilteret som genereres av den finere topologien , finere enn det som genereres av den grovere topologien .
Morfismer: Kontinuerlige kartlegginger
Som med alle matematiske strukturer er det også strukturbevarende bilder ( morfismer ) i de topologiske rommene . Her er de kontinuerlige kart : Et bilde er (global) jevnt når arketypen av hver åpen delmengde av et åpent sett i er formell: .
De isomorphisms kalles homeomorphisms her , disse er bijektive kontinuerlige kartlegginger, det er inversjon som også kontinuerlig. Strukturelt like (isomorfe) topologiske mellomrom kalles homeomorfe.
Eksempler
- På hvert basissett er det trivielle eksempler på topologier:
- Den indiskrete topologien som bare inneholder det tomme settet og det grunnleggende settet. Det er den groveste topologien på .
- Den diskrete topologien som inneholder alle delmengder. Det er den fineste topologien på .
- Kofinitt-topologien kan introduseres på et uendelig sett (f.eks. Settet med naturlige tall) : Åpent er det tomme settet, i tillegg til at hvert delmengde hvis komplement bare inneholder endelig mange elementer.
- Hvert strengt totalt bestilte sett kan få sin ordretopologi på en naturlig måte .
- De åpne sfærene i et metrisk rom skaper (som grunnlag ) en topologi, topologien indusert av metrikken.
- Spesielle metriske rom er standardiserte rom , her er metriske og dermed den naturlige topologien ( standard topologi ) indusert av standarden .
- Noen konkrete topologiske rom med spesialkonstruerte egenskaper bærer navnene på oppdagerne, f.eks. B. Arens-Fort rom , Cantor rom , Hilbert kube , Michael rett , Niemytzki rom , Sorgenfrey nivå , Tichonow planke, etc.
Generering av topologiske rom
- Ethvert system med delsett av et sett kan utvides til en topologi ved å kreve at (i det minste) alle settene er åpne. Dette blir den under basis av en topologi .
- En underromstopologi kan tildeles hver delmengde av et topologisk rom . De åpne settene er nettopp skjæringspunktene mellom de åpne settene og delmengden .
- For hver familie av topologiske rom kan det settteoretiske produktet til de grunnleggende settene leveres med produkttopologien :
- Når det gjelder endelige produkter, danner produktene fra de åpne settene fra faktorområdene et grunnlag for denne topologien.
- Når det gjelder uendelige produkter, danner disse produktene av åpne sett fra faktorområdene et grunnlag der alle bortsett fra et endelig antall faktorer hver omfatter hele det aktuelle rommet.
- Hvis du velger de kartesiske produktene fra åpne sett fra faktorområdene som basis i et uendelig produkt, får du boksetopologien på produktet. Dette er (generelt sett) finere enn produkttopologien.
- En generalisering av eksemplene på underområdet og produkttopologi er konstruksjonen av en innledende topologi . Her er topologien definert på et sett av kravet om at visse kartlegginger fra andre topologiske rom skal være kontinuerlige. Den første topologien er den groveste topologien med denne egenskapen.
- En kvotienttopologi opprettes ved å lime visse punkter sammen (identifisere) i et topologisk rom . Formelt gjøres dette gjennom en ekvivalensrelasjon , så poengene i kvotens rom er klasser av poeng .
- En generalisering av eksemplet på kvotienttopologi er konstruksjonen av en endelig topologi . Her er topologien definert på et sett av kravet om at visse kartlegginger fra andre topologiske rom skal være kontinuerlige. Den endelige topologien er den fineste topologien med denne egenskapen.
litteratur
- Gerhard Preuss: Generell topologi . 2. korrigert utgave. Springer, Berlin et al. 1975, ISBN 3-540-07427-9 , ( universitetstekst ).
- Horst Schubert: Topologi. En introduksjon. 4. utgave. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 , ( matematiske guider ).
- Klaus Jänich : Topologi. 6. utgave. Springer, Berlin et al. 1999, ISBN 3-540-65361-9 , ( Springer lærebok ).
- Charles E. Aull, Robert Lowen (red.): Håndbok for historien om generell topologi . Volum 3. Kluwer Academic, Dordrecht 2001, ISBN 0-7923-6970-X .
- Boto von Querenburg : Sett teoretisk topologi. 3. reviderte og utvidede utgave. Springer, Berlin et al. 2001, ISBN 3-540-67790-9 , ( Springer lærebok ).
- René Bartsch: Generell Topologi jeg . Oldenbourg, München et al. 2007, ISBN 978-3-486-58158-4 .