Mengde-funksjon

I matematikk tildeler absoluttverdifunksjonen et reelt eller komplekst tall avstanden fra null. Dette såkalte absolutte beløpet, absolutt beløp, absolutt verdi eller bare beløpet er alltid et ikke-negativt reelt tall. Mengden av et nummer blir vanligvis referert til som , sjeldnere , som. Kvadratet for mengdefunksjonen kalles også mengdefeltet . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle | x |}$${\ displaystyle \ operatorname {abs} (x)}$

definisjon

Virkelig mengde-funksjon

Den absolutte mengden av et reelt tall oppnås ved å utelate tegnet . På tallinjen betyr beløpet avstanden mellom det gitte tallet og null .

For et reelt tall : ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle | x |: = {\ begin {cases} \ \; \; \; \ x & \ mathrm {\; \; f {\ ddot {u}} r \; \;} x \ geq 0 \\ \ -x & \ mathrm {\; \; f {\ ddot {u}} r \; \;} x <0 \ end {cases}}}$

Kompleks mengde-funksjon

For et komplekst tall med reelle tall og en definerer ${\ displaystyle z = x + \ mathrm {i} y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z \ cdot {\ bar {z}}}} = {\ sqrt {(x + \ mathrm {i} y) \ cdot (x- \ mathrm {i} y)} } = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$,

hvor betegner det komplekse konjugatet av . Hvis ekte (dvs. så ), går denne definisjonen inn på ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle z = x}$

${\ displaystyle | x | = {\ sqrt {x ^ {2}}}}$

om hva som samsvarer med definisjonen av størrelsen på et reelt tall . ${\ displaystyle x}$

Hvis man visualiserer de komplekse tallene som punkter i det gaussiske tallplanet , tilsvarer denne definisjonen i henhold til det pythagoriske teorem også avstanden til punktet som hører til tallet fra det såkalte nullpunktet . ${\ displaystyle z}$

Eksempler

Følgende numeriske eksempler viser hvordan mengdefunksjonen fungerer.

${\ displaystyle | 7 | = 7}$

${\ displaystyle | {-8} | = - (- 8) = 8}$

${\ displaystyle | 3 + 4 \ mathrm {i} | = {\ sqrt {(3 + 4 \ mathrm {i}) \ cdot (3-4 \ mathrm {i})}} = {\ sqrt {3 ^ { 2} - (4 \ mathrm {i}) ^ {2}}} = {\ sqrt {3 ^ {2} + 4 ^ {2}}} = {\ sqrt {25}} = 5}$

Absolutte ligninger

For reelle tall følger det eller . Imidlertid er det . ${\ displaystyle | a | = b}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle a = -b}$${\ displaystyle b <0}$${\ displaystyle | a | = -b}$

Som et eksempel ser vi etter alle tall som tilfredsstiller ligningen . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle | x + 3 | = 5}$

Man beregner som følger:

${\ displaystyle | x + 3 | = 5}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x + 3 = 5 {\ text {eller}} x + 3 = -5}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x = 5-3 {\ text {eller}} x = -5-3}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x = 2 {\ text {eller}} x = -8}$

Ligningen har nøyaktig to løsninger for , nemlig 2 og −8. ${\ displaystyle x}$

Absolutte ulikheter

Følgende ekvivalenser kan brukes til ulikheter:

${\ displaystyle | a | \ leq b \ Leftrightarrow -b \ leq a \ leq b}$

${\ displaystyle | a | \ geq b \ Leftrightarrow a \ leq -b {\ text {or}} b \ leq a}$

For eksempel ser vi etter alle tallene med eiendommen . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle | x-3 | \ leq 9}$

Så beregner man:

${\ displaystyle | x-3 | \ leq 9}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow -9 \ leq x-3 \ leq 9}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow -9 + 3 \ leq x \ leq 9 + 3}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow -6 \ leq x \ leq 12}$

Så løsningen er alt fra intervallet . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle [-6.12]}$

Generelt, for reelle tall , og : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle | xm | \ leq r \ iff x \ i [mr, m + r]}$.

Beløpsnorm og beløpsmetrisk

Den absolutte verdi Funksjonen oppfyller de tre norm gullkorn bestemthet , absolutt homogenitet og subadditivity og er derfor en norm , kalt den absolutte verdi norm, i vektorrommet av reelle eller komplekse tall. Definiteness følger av det faktum at det eneste nullet til rotfunksjonen ligger i nullpunktet, som betyr

${\ displaystyle | z | = 0 \; \ Leftrightarrow \; {\ sqrt {z {\ bar {z}}}} = 0 \; \ Rightarrow \; z {\ bar {z}} = 0 \; \ Leftrightarrow \; z = 0}$

gjelder. Homogenitet følger for komplekse seg ${\ displaystyle w, z}$

${\ displaystyle | w \ cdot z | ^ {2} = (w \ cdot z) {\ overline {(w \ cdot z)}} = (w \ cdot z) ({\ bar {w}} \ cdot { \ bar {z}}) = (w \ cdot {\ bar {w}}) (z \ cdot {\ bar {z}}) = | w | ^ {2} \ cdot | z | ^ {2}}$

og trekanten ulikhet

${\ displaystyle {\ begin {align} | w + z | ^ {2} & = (w + z) {\ overline {(w + z)}} = (w + z) ({\ bar {w}} + {\ bar {z}}) = w {\ bar {w}} + w {\ bar {z}} + z {\ bar {w}} + z {\ bar {z}} = \\ & = | w | ^ {2} + | z | ^ {2} + w {\ bar {z}} + {\ overline {w {\ bar {z}}}} = | w | ^ {2} + | z | ^ {2} +2 \ operatorname {Re} (w {\ bar {z}}) \\ & \ leq | w | ^ {2} + | z | ^ {2} +2 \, | w {\ bar {z}} | = \\ & = | w | ^ {2} + | z | ^ {2} +2 \, | w | \, | z | = (| w | + | z |) ^ { 2}, \ end {align}}}$

De to egenskapene vi ser etter, er resultatet av å ta den (positive) roten på begge sider. Det ble brukt her at konjugatet av summen eller produktet av to komplekse tall er summen eller produktet av de respektive konjugerte tallene. Det ble også brukt at dobbeltkonjugasjonen resulterer i det opprinnelige tallet, og at den absolutte verdien til et komplekst tall alltid er minst like stor som den virkelige delen. I virkeligheten følger de tre standardegenskapene analogt ved å utelate bøyningen.

Mengdestandarden er standard skalar på to reelle eller komplekse tall og indusert . Mengdenormen induserer i seg selv en beregning (avstandsfunksjon), mengden beregning${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle d (x, y): = | xy |}$,

ved å ta mengden av forskjellen som avstanden mellom tallene.

Analytiske egenskaper

I denne seksjonen er det gitt egenskaper for absoluttverdifunksjonen, som er av spesiell interesse i det matematiske analyseområdet .

Null

Det eneste null av de to absoluttverdifunksjonene er 0, det vil si gjelder hvis og bare hvis det gjelder. Dette er en annen terminologi fra den tidligere nevnte definisjonen. ${\ displaystyle | z | = 0}$${\ displaystyle z = 0}$

Forhold til skiltfunksjonen

Det følgende gjelder for alle , der betegner de tegn funksjon. Siden den virkelige bare er begrensningen av den komplekse mengdefunksjonen til , gjelder identiteten også den virkelige mengdefunksjonen. Derivatet av funksjonen begrenset beløp er begrenset tegnfunksjon. ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle z = | z | \ cdot \ operatorname {sgn} (z)}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

Kontinuitet, differensierbarhet og integrerbarhet

Den virkelige absoluttverdifunksjonen og den komplekse er kontinuerlig over hele domenet . Fra underadditiviteten til absoluttverdifunksjonen eller fra den (omvendte) trekantulikheten følger det at de to absoluttverdifunksjonene er til og med Lipschitz kontinuerlig med Lipschitz konstant : ${\ displaystyle | \ cdot | \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle | \ cdot | \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle L = 1}$

${\ displaystyle {\ bigl |} | z | - | w | {\ bigr |} \ leq | zw |}$.

Den virkelige mengdefunksjonen kan ikke skilles fra på dette punktet og derfor ingen differensierbar funksjon i definisjonens domene . Det kan imidlertid skilles nesten overalt , noe som også følger av Rademachers teorem. For derivatet av den virkelige mengden er funksjonen tegnfunksjonen . Som en kontinuerlig funksjon kan den virkelige absoluttverdifunksjonen integreres over begrensede intervaller ; er antiderivativ . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn}}$${\ displaystyle x \ mapsto {\ tfrac {1} {2}} x ^ {2} \ operatorname {sgn} (x)}$

Den komplekse absoluttverdifunksjonen er ingensteds kompleks differensierbar , fordi differensiallikningene Cauchy-Riemann ikke er oppfylt. ${\ displaystyle | \ cdot | \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$

Archimedean beløp

Begge absolutte funksjonene, det virkelige og det komplekse, kalles Archimedean fordi det er et heltall med . Men det følger også at for alle heltall er også .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle | n |> 1}$${\ displaystyle m> 1}$${\ displaystyle | m |> 1}$

Generaliseringer

Mengde funksjon for kroppen

definisjon

Generelt snakker man om størrelsen hvis en funksjon fra et integritetsdomene til de reelle tallene oppfyller følgende betingelser: ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

	${\ displaystyle \ varphi (x) \ geq 0}$	(0)	Ikke-negativitet
	${\ displaystyle \ varphi (x) = 0 \ iff x = 0}$	(1)	Definitivitet
			(0) og (1) sammen kalles positiv definitet
	${\ displaystyle \ varphi (x \ cdot y) = \ varphi (x) \ cdot \ varphi (y)}$	(2)	Multiplikativitet, absolutt homogenitet
	${\ displaystyle \ varphi (x + y) \ leq \ varphi (x) + \ varphi (y)}$	(3)	Underadditivitet , trekant ulikhet

Den videreføring til kvotienten felt av er unikt på grunn av den multiplicativity. ${\ displaystyle K: = \ operatorname {Quot} (D)}$${\ displaystyle D}$

kommentar

En mengdefunksjon for en kropp er en evaluering av den kroppen.${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Hvis det er naturlig for alle , kalles beløpet (eller verdsettelsen) ikke-arkimedisk.${\ displaystyle \ varphi (n) \ leq 1}$ ${\ displaystyle n: = \ underbrace {1+ \ dotsb +1} _ {n {\ text {-mal}}}}$

Beløpet for alle (er ikke-arkimediske og) kalles trivielt . ${\ displaystyle \ varphi (x) = 1}$${\ displaystyle x \ neq 0}$

For ikke-arkimediske beløp (eller verdivurderinger) gjelder

${\ displaystyle \ varphi (x + y) \ leq \ max (\ varphi (x), \ varphi (y))}$

(3 ')

den innstrammede trekantulikheten.

Det gjør beløpet til et ultrametrisk . Omvendt er ethvert ultrametrisk beløp ikke-arkimedisk.

Mengde og egenskaper

• Integritetsområder med et arkimedisk beløp har karakteristikken 0.
• Integritetsdomener med en karakteristikk som er forskjellig fra 0 (har primtallkarakteristikk og) godtar bare ikke-arkimediske beløp.
• Endelige domener av integritet er endelige felt med primtallkarakteristikker og tar bare på det trivielle beløpet.
• Feltet med rasjonelle tall som hovedfelt for karakteristisk 0 og dets endelige utvidelser tar både arkimediske og ikke-arkimediske mengder.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

ferdigstillelse

Kroppen kan være for en hvilken som helst mengdefunksjon, eller mer presist for den induserte av hvilken som helst mengde funksjon (eller gjennomgang) beregning fullført . Fullføringen av blir ofte referert til som. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ hat {K}}}$

Arkimediske fullføringer av rasjonelle tall er og ikke-arkimediske er for primtall . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Q}}} = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Q} (\ mathrm {i})}} = {\ hat {\ mathbb {Q}}} (\ mathrm {i}) = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Q}}} = \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle p}$

Ingenting nytt oppstår med det trivielle beløpet.

Beløpets ekvivalens

Hvis og er beløp (eller rangeringer) av et organ , er følgende tre utsagn ekvivalente: ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle K}$

1. Enhver sekvens som er under en null sekvens , dvs. H. , er også under null sekvens - og omvendt.${\ displaystyle \ {x _ {\ nu} \}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ lim \ limits _ {\ nu \ to \ infty} \ varphi (x _ {\ nu}) = 0}$${\ displaystyle \ psi}$
2. Fra følger .${\ displaystyle \ varphi (x) <1}$${\ displaystyle \ psi (x) <1}$
3. ${\ displaystyle \ psi}$er en kraft av , dvs. H. for alle med en solid .${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi (x) = \ varphi (x) ^ {\ epsilon}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$

De absolutte verdifunksjonene til rasjonelle tall

I følge Ostrowskis teorem representerer beløpene som er nevnt i denne artikkelen, den ene arkimederen (og den euklidiske) og det uendelige antallet ikke-arkimediske mengder som kan tilordnes et primtall, alle klasser av mengder (eller evalueringer) av de rasjonelle tallene . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Omtrentlig sats gjelder for disse beløpene .

standard

Den absolutte verdifunksjonen på de reelle eller komplekse tallene kan generaliseres til alle vektorrom gjennom egenskapens bestemthet, absolutt homogenitet og underadditivitet. En slik funksjon kalles en norm. Men det er ikke klart definert.

Pseudobeløp

weblenker

• Eric W. Weisstein : Absolutt verdi . På: MathWorld (engelsk).

Individuelle bevis

1. ↑ van der Waerden : Algebra . Del 2. Springer-Verlag, 1967, Evaluated Bodies, s. 203, 212 .