Lineær operatør

Begrepet lineær operator ble introdusert i funksjonell analyse (en gren av matematikk) og er synonymt med begrepet lineær kartlegging . En lineær kartlegging er en strukturbevarende kartlegging mellom vektorrom over en felles kropp . Hvis vektorrom blir vurdert over feltet med reelle eller komplekse tall, og hvis disse er utstyrt med en topologi ( lokalt konvekse mellomrom , normaliserte mellomrom , Banach-mellomrom ), snakker man helst om lineære operatorer.

I motsetning til endedimensjonale rom, hvor lineære operatorer alltid er begrenset , vises ubegrensede lineære operatorer også i uendelige dimensjoner .

definisjon

Lineær operatør

La og ekte eller komplekse vektorrom. En kartlegging fra til kalles en lineær operator hvis følgende betingelser gjelder for alle og (eller ): ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x, y \ i X}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$

1. ${\ displaystyle T}$ er homogen: ${\ displaystyle T (\ lambda x) = \ lambda T (x)}$
2. ${\ displaystyle T}$ er tilsetningsstoff: ${\ displaystyle T (x + y) = T (x) + T (y)}$

Enkeloperatør

Vær og komplekse vektorrom. En operatør av in kalles en anti-lineær operator hvis alle og følgende forhold holder: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x, y \ i X}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$

1. ${\ displaystyle T}$ er antihomogen: ${\ displaystyle T (\ lambda x) = {\ overline {\ lambda}} T (x)}$
2. ${\ displaystyle T}$ er tilsetningsstoff: ${\ displaystyle T (x + y) = T (x) + T (y)}$

Eksempler

Lineære operatører

• La det være en ekte matrise. Da er den lineære kartleggingen en lineær operator av in .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n \ times m}$${\ displaystyle A \ colon x \ mapsto Axe}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• Settet med lineære operatorer mellom to faste vektorrom blir et vektorrom i seg selv gjennom definisjonen av tillegg og skalar multiplikasjon .${\ displaystyle (S + T) (x): = S (x) + T (x)}$ ${\ displaystyle (\ lambda S) (x): = \ lambda S (x)}$

• Den deriverte operatør som tildeler dens deriverte til en funksjon er en lineær operator.${\ displaystyle D \ kolon C ^ {1} \ til C}$${\ displaystyle f \ mapsto Df = f '}$

• La være to reelle tall. Operatøren som tildeler et reelt tall til en integrerbar funksjon, er lineær.${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle \ textstyle f \ mapsto \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ mathrm {d} x}$

• Hver lineær funksjonell i et vektorrom er en lineær operator.

Enkeloperatør

• Hvis det er et komplekst Hilbert-rom og dets doble rom , er det ifølge representasjonssetningen til Fréchet-Riesz nøyaktig ett for hver , så det gjelder alle . Figuren er anti-lineær. Dette skyldes det faktum at et komplekst skalarprodukt er anti-lineært i den andre variabelen.${\ displaystyle (H, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {H})}$${\ displaystyle H \, '}$${\ displaystyle f \ i H \, '}$${\ displaystyle y_ {f} \ i H}$${\ displaystyle f (x) = \ langle x, y_ {f} \ rangle _ {H}}$${\ displaystyle x \ i H}$${\ displaystyle H \, '\ rightarrow H, f \ mapsto y_ {f}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Viktighet og bruksområder

Viktigheten av lineære operatorer er at de respekterer den lineære strukturen til det underliggende rommet, dvs. det vil si at de er homomorfismer mellom vektorrom.

Anvendelser av lineære operatører er:

• Beskrivelsen av koordinattransformasjoner i tredimensjonalt euklidisk rom (refleksjon, rotasjon, strekking) og Lorentz-transformasjonen i firedimensjonalt romtid ved bruk av matriser.

• Representasjonen av observerbare i kvantemekanikk og beskrivelsen av dynamikken i et kvantemekanisk system gjennom Hamilton-operatøren i Schrödinger-ligningen .${\ displaystyle H}$

• Utviklingen av løsningsteorier for differensielle og integrerte ligninger, se Sobolew space and distribution .

• I firepolig teori ( elektroteknikk ) blir forholdene mellom inngangsvariablene (strøm og spenning) og utgangsvariablene (strøm og spenning) sett på som gjensidig lineært avhengig av hverandre. Avhengighetene kan beskrives av 2 × 2 matriser.

Begrensede lineære operatører

Definisjoner

La og være to normaliserte vektorrom og en lineær operator. Den operatør norm av defineres av ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle A \ colon V \ to W}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ | A \ |: = \ inf \ {M \ geq 0, \; \ | Ax \ | _ {W} \ leq M \ | x \ | _ {V} {\ text {for alle}} x \ in V \}}$,

hvor for denne konstanten

${\ displaystyle \ | A \ | = \ sup _ {x \ i V, \; x \ neq 0} {\ frac {\ | Ax \ | _ {W}} {\ | x \ | _ {V}} } = \ sup _ {\ | x \ | _ {V} \ leq 1} \ | Ax \ | _ {W} = \ sup _ {\ | x \ | _ {V} = 1} \ | Ax \ | _ {W}}$

gjelder. Hvis operatørens norm er endelig, kalles operatøren avgrenset, ellers ubegrenset.

Settet av alle avgrensede lineære operatører fra normalisert rom til normalisert rom kalles . Med operatørnormen er dette i seg selv et normalisert vektorrom. Hvis det er komplett , er det til og med et Banach-rom . Hvis med er identisk, skrives det også i forkortet form. De avgrensede lineære operatorene kan karakteriseres som følger: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (V, W)}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (V)}$

Hvis en lineær operator er fra til , er følgende utsagn ekvivalente: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

1. ${\ displaystyle T}$er begrenset, d. H. i inkludert.${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} (V, W)}$
2. ${\ displaystyle T}$er jevnt stødig på .${\ displaystyle V}$
3. ${\ displaystyle T}$er kontinuerlig på hvert punkt av .${\ displaystyle V}$
4. ${\ displaystyle T}$er kontinuerlig på et punkt av .${\ displaystyle V}$
5. ${\ displaystyle T}$er jevnt i .${\ displaystyle 0 \ i V}$

Eksempler på avgrensede lineære operatører

• ${\ displaystyle I_ {V} \ i {\ mathfrak {L}} (V)}$med , der den samme operatøren er på .${\ displaystyle \ | I_ {V} \ | = 1}$${\ displaystyle I_ {V}}$${\ displaystyle V}$

• ${\ displaystyle P \ in {\ mathfrak {L}} (H)}$med , hvor er en ortogonal projeksjon på Hilbert-rommet .${\ displaystyle \ | P \ | = 1}$${\ displaystyle P \ neq 0}$ ${\ displaystyle H}$

• ${\ displaystyle (n_ {k}) \ i {\ mathfrak {L}} (l_ {p})}$med , hvor sekvensen er begrenset, og som en diagonal operatør på sekvensen plass med tolkes.${\ displaystyle \ textstyle \ | (n_ {k}) \ | = \ max _ {k} | n_ {k} |}$${\ displaystyle (n_ {k})}$ ${\ displaystyle l_ {p}}$${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$

• Den skifte operatør er bundet sammen med , hvor sekvensen plass er definert med .${\ displaystyle S \ in {\ mathfrak {L}} (l_ {p})}$${\ displaystyle \ | S \ | = 1}$${\ displaystyle S ((x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dotsc)): = (0, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dotsc)}$${\ displaystyle l_ {p}}$${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$

• La det være et kompakt sett og den Banachrom av kontinuerlige funksjoner med supremum norm . Anta videre at den lineære operatoren er definert av for . Så er og .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathfrak {C}} (K)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle f \ in {\ mathfrak {C}} (K)}$${\ displaystyle T_ {f} \ colon {\ mathfrak {C}} (K) \ rightarrow {\ mathfrak {C}} (K)}$${\ displaystyle T_ {f} (g) (k): = (fg) (k)}$${\ displaystyle k \ in K}$${\ displaystyle T_ {f} \ i {\ mathfrak {L}} ({\ mathfrak {C}} (K))}$${\ displaystyle \ | T_ {f} \ | = \ | f \ | _ {\ infty}}$

• La det være et mål plass og den L- ^p -plass av ekvivalens klasser av målbare funksjoner integrerbare i 'te kraft på den L- ^p -norm for . Videre la og den lineære operatoren defineres av for . Så er og .${\ displaystyle \ lbrack X, {\ mathfrak {B}}, \ mu \ rbrack}$${\ displaystyle L_ {p} = L_ {p} (X, {\ mathfrak {B}}, \ mu)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$${\ displaystyle f \ in L _ {\ infty}}$${\ displaystyle T_ {f} \ colon L_ {p} \ to L_ {p}}$${\ displaystyle T_ {f} (g) (x): = (fg) (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle T_ {f} \ i {\ mathfrak {L}} (L_ {p})}$${\ displaystyle \ | T_ {f} \ | = \ | f \ | _ {\ infty}}$

applikasjoner

• Spektral teori
• Funksjonell kalkulator , d. H. for en avgrenset, reell eller kompleks verdifull målbar funksjon og en avgrenset lineær operator kan defineres.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f (T)}$

Ubegrensede lineære operatører

Når man vurderer ubegrensede lineære operatører, er det ofte også tillatt med operatører hvis domene bare er et underområde av det aktuelle området; for eksempel snakker man om ubegrensede lineære operatører på Hilbert-rom, så er et prehilbert-rom også tillatt som et domene som et underområde av et Hilbert-rom mer presist snakker man da om tett definerte ubegrensede lineære operatorer (se nedenfor). Operatøren forstås som en delvis kartlegging .

En operatør kalles tett definert hvis domenet er en tett delmengde av det opprinnelige rommet . Interessen for ubegrensede operatører er basert på undersøkelsen av differensialoperatører og deres spekter av egenverdier og observerbare algebraer .

En stor klasse av ubegrensede lineære operatører er de lukkede operatørene . Dette er operatører hvis graf er lukket i produkttopologien til . For lukkede operatører, f.eks. B. spekteret kan defineres. ${\ displaystyle A \ colon V \ rightarrow W}$${\ displaystyle \ Gamma (A): = \ {(\ phi, A \ phi): \ phi \ i D \}}$${\ displaystyle V \ times W}$

Teorien om de ubegrensede operatørene ble etablert av John von Neumann i 1929. I 1932, uavhengig av von Neumann, utviklet Marshall Harvey Stone teorien om de ubegrensede operatørene.

eksempel

Tenk på differensialoperatøren på Banach-rommet for kontinuerlige funksjoner i intervallet . Hvis man velger en gang kontinuerlig differensierbare funksjoner som domene , er det en lukket operatør som ikke er begrenset. ${\ displaystyle Af: = f '\,}$${\ displaystyle C [a, b]}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A): = C ^ {1} [a, b]}$${\ displaystyle A}$

applikasjoner

• Differensial- og multiplikasjonsoperatorer er i. A. ubegrenset.

• Representasjonen av observerbare i kvantemekanikk krever ubegrensede lineære operatører, siden operatørene som er tilordnet observasjonene i. A. er ubegrenset.

Konvergensbetingelser / topologier på operatørområder

Hvis det underliggende vektorrommet er endelig-dimensjonalt med dimensjon , så er et vektorrom dimensjonen . I dette tilfellet er alle normer ekvivalente , det vil si at de gir det samme begrepet konvergens og samme topologi . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L (V)}$${\ displaystyle n ^ {2}}$

I det uendelige-dimensjonale er det derimot forskjellige ikke-ekvivalente topologier. Nå være og Banach mellomrom og en sekvens (eller et nettverk ) i . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (T_ {i}) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle L (E, F)}$

Standard topologi

${\ displaystyle T_ {i}}$konvergerer i normtopologien til hvis og bare hvis: ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ lim _ {i} \ | T-T_ {i} \ | = 0}$

Standard topologien er topologien representert av de åpne sfærene som produseres er.

Sterk operatortopologi

${\ displaystyle T_ {i}}$konvergerer i sterk operatortopologi ( stopp for kort ) til hvis og bare hvis den konvergerer punkt for punkt: ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ lim _ {i} T_ {i} x = Tx \ quad \ forall x \ i E}$

eller med andre ord:

${\ displaystyle 0 = \ lim _ {i} \ | T_ {i} x-Tx \ | = \ lim _ {i} \ | (T_ {i} -T) x \ | \ quad \ forall x \ in E }$

Den tilknyttede topologien er den første topologien , som er definert av settet med lineære kartlegginger

${\ displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ begin {matrix} L (E, F) & \ to & F \\ T & \ mapsto & Tx \ end {matrix}} \, \ right | \, x \ in E \ høyre \ rbrace}$

er produsert. Dette er den minste topologien der alle disse kartene er kontinuerlige. med den sterke operatørtopologien er det derfor et lokalt konveks rom . ${\ displaystyle L (E, F)}$

Alternativt uttrykt: Den sterke operatortopologien er produkttopologien til alle funksjoner fra til , begrenset til de (muligens begrensede) lineære operatørene. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$

Svak operatortopologi

${\ displaystyle T_ {i}}$konvergerer i den svake operatortopologien til hvis og bare hvis ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ lim _ {i} \ varphi (T_ {i} x) = \ varphi (Tx) \ quad \ forall x \ i E, \ varphi \ i F ^ {*}}$

eller med andre ord:

${\ displaystyle \ lim _ {i} | \ varphi (T_ {i} x-Tx) | = 0 \ quad \ forall x \ i E, \ varphi \ i F ^ {*}}$

(Her betegner det kontinuerlige doble rommet til F) ${\ displaystyle F ^ {*}}$

Den tilknyttede topologien er den første topologien , som er definert av settet med lineære funksjoner

${\ displaystyle \ left \ lbrace \ left. {\ begin {matrix} L (E, F) & \ to & \ mathbb {C} \\ T & \ mapsto & \ varphi (Tx) \ end {matrix}} \, \ right | x \ i E, \ varphi \ i F ^ {*} \ right \ rbrace}$

er produsert. Dette er den minste topologien der alle disse funksjonene er kontinuerlige. med den svake operatortopologien, er det også et lokalt konvekst rom . ${\ displaystyle L (E, F)}$

litteratur

• Hans Wilhelm Alt: Lineær funksjonsanalyse. En applikasjonsorientert introduksjon. 5. utgave. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2 .

Individuelle bevis

1. ↑ Dirk Werner : Funksjonsanalyse. 7., korrigert og forstørret utgave. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7 . Setning II.1.4.
2. ↑ Dirk Werner: Funksjonsanalyse. 7., korrigert og forstørret utgave. Springer, 2011. ISBN 978-3-642-21016-7 . Kapittel VII.6.