Banach plass

Et Banach-rom (også Banach-rom , Banach-rom ) er et fullstendig normalisert vektorrom i matematikk . Banach-rom er blant de sentrale studieobjektene for funksjonell analyse . Spesielt er mange uendelig-dimensjonale funksjonsrom Banach-rom. De er oppkalt etter matematikeren Stefan Banach , som presenterte dem sammen med Hans Hahn og Eduard Helly i 1920–1922 .

definisjon

Et Banach-rom er et fullstendig normalisert rom

${\ displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$,

det vil si et vektorrom over feltet med reelle eller komplekse tall med en norm , der hver Cauchy-sekvens av elementer av konvergerer i det metriske indusert av normen . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$

Forklaringer

Med metriske mellomrom er fullstendighet en egenskap for beregningen, ikke selve det topologiske rommet. Å flytte til en tilsvarende beregning (det vil si en beregning som skaper den samme topologien) kan miste fullstendigheten. For to likeverdige normer i et standardisert rom, derimot, er den ene komplett hvis og bare hvis den andre er det. Når det gjelder standardiserte rom, er fullstendighet derfor en egenskap for standardtopologien som ikke avhenger av den spesifikke standarden.

Setninger og egenskaper

• Et normalisert rom er et Banach-rom hvis og bare hvis hver absolutt konvergerende serie konvergerer i den.

• Hvert normaliserte rom kan fullføres , hvorved et Banach-rom oppnås som inneholder det opprinnelige rommet som et tett underområde .

• Hvis en lineær kartlegging mellom to normaliserte rom er en isomorfisme , følger fullstendigheten av fullstendigheten av .${\ displaystyle T \ colon X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T (X)}$

• Hvert endelig dimensjonalt normert rom er et Banach-rom. Omvendt har et Banach-rom, en maksimal tellbar Hamel-base , endelig. Sistnevnte er en konsekvens av den bariske egenskapen til komplette metriske rom.

• Hvis et lukket underområde av et Banach-rom er , så er det igjen et Banach-rom. Den faktor plass med normen er da også et Banachrom.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X / M}$${\ displaystyle \ | x + M \ | = \ inf \ grenser _ {m \ i M} \ | x + m \ |}$

• Den første isomorfismen for Banach-mellomrom: Hvis bildet av en avgrenset lineær kartlegging mellom to Banach-rom er lukket , da . Dette er begrepet topologisk isomorfisme, dvs. Det vil si, det er en bijektiv lineær kartlegging fra til slik at både og er sammenhengende.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X / \ operatorname {ker} (T) \ cong T (X)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X / \ operatorname {ker} (T)}$${\ displaystyle T (X)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {- 1}}$

• Den direkte summen av normaliserte mellomrom er et Banach-rom hvis og bare hvis hvert av de enkelte rom er et Banach-rom.${\ displaystyle X_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus X_ {n}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

• Teori for Banach-Steinhaus : Hvis en familie av kontinuerlige, lineære operatører fra et Banach-rom til et normalisert rom følger fra den punktvise begrensningen, følger den ensartede begrensningen .${\ displaystyle (T_ {i}) _ {i \ i I}}$

• Teorem for åpen kartlegging : En kontinuerlig lineær kartlegging mellom to Banach-mellomrom er antatt om og bare hvis den er åpen. Hvis bijektiv og kontinuerlig, er den omvendte kartleggingen også kontinuerlig. Det følger at hver binær avgrenset lineær operatør mellom Banach-rom er en isomorfisme .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}}$

• Teorem for den lukkede grafen : Grafen for en lineær kartlegging mellom to Banach-mellomrom er lukket i produktet hvis og bare hvis kartleggingen er kontinuerlig.${\ displaystyle T \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle X \ ganger Y}$

• Teori for Banach-Alaoglu : Den lukkede enhetssfæren i det doble rommet i et Banach-rom er svak - * - kompakt .

• For hvert skillebart Banach-rom er det et lukket underrom av det som er.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle l ^ {1}}$${\ displaystyle X \ cong l ^ {1} / M}$

• Hvert Banach- rom er et Fréchet-rom .

Lineære operatører

Er og normerte mellomrom over samme kropp , så mengden av alle kontinuerlige - lineære kart med angitt. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle T \ colon X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle B (X, Y)}$

I uendelige dimensjonale rom er ikke lineære kartlegginger nødvendigvis kontinuerlige.

${\ displaystyle B (X, Y)}$er et vektorrom og gjennom ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$

${\ displaystyle \ | T \ |: = \ mathrm {sup} \ {\ | Tx \ |: x \ i X {\ text {with}} \ | x \ | \ leq 1 \}}$

er en norm definert på. Er et Banach-rom, så også . ${\ displaystyle B (X, Y)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle B (X, Y)}$

Hvis et Banach-rom er en Banach-algebra med den samme operatoren som et enhetselement ; multiplikasjonsoperasjonen er gitt av sammensetningen av lineære kart. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B (X) = B (X, X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {X}}$

Dobbeltrom

Hvis et normalisert rom og den underliggende kroppen er , er det i seg selv også et Banach-rom (med absolutt verdi som norm), og det topologiske dobbeltrommet (også kontinuerlig dobbeltrom) kan defineres av . Det er vanligvis et reelt underrom av det algebraiske dobbeltrommet . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X '= B (X, \ mathbb {K})}$${\ displaystyle X ^ {*}}$

• Hvis et normalisert rom er, så er det et Banach-rom.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

• Vær et normalisert rom. Er skilles det også .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X}$

Det doble topologiske rommet kan brukes til å definere en topologi på : den svake topologien . Den svake topologien tilsvarer ikke standardtopologien når rommet er uendelig dimensjonalt. Konvergensen av en sekvens i normtopologien følger alltid av konvergensen i den svake topologien, og omvendt generelt ikke. I denne forstand er konvergensbetingelsen som følge av den svake topologien "svakere". ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Det er en naturlig kartlegging fra til (bidualområdet), definert av: for alle og . Fra Hahn-Banachs teorem følger det at for hver av dem er kartleggingen kontinuerlig og derfor et element av . Kartleggingen er alltid injiserende og kontinuerlig (til og med isometrisk). ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '' = (X ')' = B (X ', \ mathbb {K})}$${\ displaystyle F \ kolon X \ til X '', F (x) (f) = f (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$${\ displaystyle f \ i X '}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F (x) \ kolon X '\ til \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X ''}$${\ displaystyle F}$

Refleksivitet

Hvis den naturlige kartleggingen også er surjektiv (og dermed en isometrisk isomorfisme), kalles det normaliserte rommet refleksivt . Følgende forhold gjelder: ${\ displaystyle F \ kolon X \ til X ''}$${\ displaystyle X}$

• Hvert refleksivt normert rom er et Banach-rom.

• Et Banach-rom er refleksivt hvis og bare hvis det er refleksivt. Det tilsvarer denne påstanden at enhetssfæren er kompakt i den svake topologien .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X}$

• Hvis et refleksivt normalisert rom er et Banach-rom, og hvis det er en avgrenset lineær operator fra til , er det refleksiv.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$

• Er et refleksivt standardisert rom. Så hvis og kan skilles hvis kan skilles.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

• James-setning for et Banach-rom tilsvarer: ${\ displaystyle X}$
  • ${\ displaystyle X}$ er refleksiv.
  • ${\ displaystyle \ forall f \ i X '\ \ eksisterer x \ i X}$med slik at .${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | \ leq 1}$${\ displaystyle f (x) = \ left \ | f \ right \ |}$

Tensorprodukt

Universell eiendom til tensorproduktet

Be og to vektorrom. Den tensorprodukt av og er en -vector plass , er forsynt med en bilineær kartlegging , som har den følgende universell egenskap : Hvis det er noen bilineær tilordning til en -vector plass , da det ikke er nøyaktig en lineær kartlegging med . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X \ otimes Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle T \ colon X \ times Y \ rightarrow Z}$${\ displaystyle T '\ colon X \ times Y \ rightarrow Z'}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle Z '}$${\ displaystyle f \ colon Z \ rightarrow Z '}$${\ displaystyle T '= f \ circ T}$

Det er forskjellige måter å definere en norm på tensorproduktet til de underliggende vektorområdene, inkludert det projiserende tensorproduktet og det injiserende tensorproduktet . Tensorproduktet fra komplette rom er generelt ikke komplett igjen. Derfor, i teorien om Banach-rom, forstås ofte et tensorprodukt som fullføringen, som selvfølgelig avhenger av valget av norm.

Eksempler

I det følgende er kroppen eller , et kompakt Hausdorff-rom og et lukket intervall. og er reelle tall med og . Neste er en σ-algebra , en satt algebra og et mål . ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I = [a, b]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle 1 <p, q <\ infty}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q}} + {\ tfrac {1} {p}} = 1}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Xi}$${\ displaystyle \ mu}$

betegnelse	Dobbeltrom	refleksiv	svak komplett	standard	Etternavn
${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$	${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$	Ja	Ja	${\ displaystyle \ | x \ | _ {2} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}$	Euklidisk rom
${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {p}}$	${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {q}}$	Ja	Ja	${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$	Rom av endelige dimensjonale vektorer med p -normen
${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {\ infty}}$	${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {1}}$	Ja	Ja	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} | x_ {i} |}$	Rom av endelige dimensjonale vektorer med maksimumsnormen
${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {q}}$	Ja	Ja	${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$	Plass av konsekvensene som kan oppsummeres i den fjerde makten
${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | x \ | _ {1} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} |}$	Plass av konsekvenser som kan oppsummeres i mengde
${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$	${\ displaystyle ba (2 ^ {\ mathbb {N}})}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Plass med begrensede konsekvenser
${\ displaystyle c}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Space of Convergent Consequences
${\ displaystyle c_ {0}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Plass med null sekvenser ; isomorf men ikke isometrisk også${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle bv \,}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1} + \ mathbb {K}}$	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv} = | x_ {1} | + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	Rom med konsekvenser av begrenset variasjon
${\ displaystyle bv_ {0}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv_ {0}} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	Plass med null sekvenser med begrenset variasjon
${\ displaystyle bs}$	${\ displaystyle ba (2 ^ {\ mathbb {N}})}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right |}$	Begrensede summer isometrisk isomorf til${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$
${\ displaystyle cs}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right |}$	Rom med konvergerende summer; lukket underområde av ; isometrisk isomorf til${\ displaystyle bs}$${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle B (X, \ Xi)}$	${\ displaystyle ba (\ Xi)}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in X} | f (x) |}$	Plass med begrensede målbare funksjoner${\ displaystyle \ Xi}$${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle C (X)}$	${\ displaystyle rca (\ Sigma)}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ i X} \ venstre | f (x) \ høyre |}$	Rom med kontinuerlige funksjoner med Borels σ-algebra${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle ba (\ Xi)}$	?	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ in \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Plass med begrenset endelig tilsetningsstoff signert tiltak på${\ displaystyle \ Xi}$
${\ displaystyle ca (\ Sigma)}$	?	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ in \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Space of -additive tiltak ; lukket underområde av${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle ba (\ Sigma)}$
${\ displaystyle rca (\ Sigma)}$	?	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ in \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Plass med vanlige Borel-tiltak ; lukket underområde av${\ displaystyle ca (\ Sigma)}$
${\ displaystyle L ^ {p} (\ mu)}$	${\ displaystyle L ^ {q} (\ mu)}$	Ja	Ja	${\ displaystyle \ | f \ | _ {L ^ {p}} = \ left (\ int | f | ^ {p} \, d \ mu \ right) ^ {1 / p}}$	Rommet til Lebesgue integrerer funksjoner i den fjerde makten
${\ displaystyle BV (I)}$	?	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = \ lim _ {x \ til a ^ {+}} f (x) + V_ {f} (I)}$	Funksjonsrom med begrenset totalvariasjon
${\ displaystyle NBV (I)}$	?	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = V_ {f} (I)}$	Funksjonsrom med begrenset totalvariasjon, hvis grenseverdi forsvinner kl ${\ displaystyle a}$
${\ displaystyle AC (I)}$	${\ displaystyle \ mathbb {K} + L ^ {\ infty} (I)}$	Nei	Ja	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = \ lim _ {x \ til a ^ {+}} f (x) + V_ {f} (I)}$	Rom med absolutt kontinuerlige funksjoner ; isomorf til Sobolev-rommet ${\ displaystyle W ^ {1,1} (I)}$
${\ displaystyle C ^ {n} (I)}$	${\ displaystyle rca (I)}$	Nei	Nei	${\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {n}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sup _ {x \ i I} | f ^ {(i)} (x) | }$	Glatt Funksjoner Room ; isomorf til${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus C (I)}$

Klassifisering i hierarkiet av matematiske strukturer

Oversikt over abstrakte rom i matematikk. En pil skal forstås som en implikasjon, dvs. Det vil si at rommet ved begynnelsen av pilen også er et mellomrom på slutten av pilen.

Hvert Hilbert-rom er et Banach-rom, men ikke omvendt. I følge Jordan-von Neumanns teorem kan et skalarprodukt som er kompatibelt med normen defineres i et Banach-rom hvis og bare hvis parallellogramligningen gjelder i det.

Noen viktige rom i funksjonsanalyse, for eksempel rommet til alle uendelig differensierbare funksjoner eller rommet til alle distribusjoner , er komplette, men ikke standardiserte vektorrom og derfor ikke Banach-mellomrom. I Fréchet-mellomrom har man fremdeles en komplett beregning , mens LF-mellomrom er komplette, ensartede vektorrom som fremstår som borderline-tilfeller av Fréchet-mellomrom. Dette er spesielle klasser av lokalt konvekse mellomrom eller topologiske vektorrom . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Hvert standardisert rom kan fullføres unikt unntatt isometrisk isomorfisme, det vil si innebygd som et tett underområde i et Banach-rom.

Fréchet-avledning

Det er mulig å definere derivatet av en funksjon mellom to Banach-mellomrom. Man ser intuitivt at, hvis det er et element av , er derivatet av på punktet en kontinuerlig lineær kartlegging som nærmer seg nær rekkefølgen til avstanden . ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ vert h \ vert}$

Man kaller (Fréchet) -forskjellig i hvis det er en kontinuerlig lineær kartlegging slik at ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ colon V \ to W}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ | f (x + h) -f (x) -A (h) \ | \ over \ | h \ |} = 0}$

gjelder. Den grenseverdi blir dannet her over alle sekvenser med ikke-nullelementer som konvergerer til 0. Hvis grensen eksisterer, skrives den og kalles ( Fréchet ) -derivatet av in . Ytterligere generaliseringer av avledningen resulterer analogt med analysen på endedimensjonale rom. Det som er felles for alle avledningsbetingelser er imidlertid spørsmålet om kontinuiteten til den lineære kartleggingen${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Df (x) = A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Df (x)}$

Denne forestillingen om avledet er en generalisering av det vanlige avledede av funksjoner , siden de lineære kartleggingen fra til ganske enkelt er multiplikasjoner med reelle tall. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Hvis er differensierbart på hvert punkt av , så kan en annen kartlegging mellom Banach-mellomrom (generelt ikke noe lineært kart!) Og muligens differensieres igjen, og dermed blir de høyere derivatene definert. Det -te derivatet i poenget kan således sees på som en flerlinjær kartlegging . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Df \ kolon V \ til L (V, W)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V_ {n} \ to W}$

Differensiering er en lineær operasjon i følgende forstand: Hvis og er to kartlegginger som er differensierbare i, og er og skalerer ut , så kan den differensieres i og den holder ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle V \ til W}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle rf + sg}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle D (rf + sg) (x) = rD (f) (x) + sD (g) (x)}$.

Den kjerneregelen gjelder også i denne sammenheng. Hvis det er en i og en i differensierbar funksjon, er sammensetningen i differensierbar og derivatet er sammensetningen av derivatene ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$${\ displaystyle x \ i V}$${\ displaystyle g \ colon W \ to X}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle D (g \ circ f) (x) = D (g) (f (x)) \ circ D (f) (x).}$

Retningsavledninger kan også utvides til uendelig dimensjonale vektorrom, på dette punktet refererer vi til Gâteaux-differensialet .

Integrering av Banach romverdige funksjoner

Under visse forhold er det mulig å integrere Banach romverdige funksjoner. I det tjuende århundre ble det presentert mange forskjellige tilnærminger til en integrasjonsteori om Banach romverdige funksjoner. Eksempler er Bochner-integralen , Birkhoff-integralen og Pettis-integralen . I endelige dimensjonale Banach-rom fører disse tre forskjellige tilnærmingene til integrasjon til slutt til den samme integralen. For uendelige dimensjonale Banach-rom er dette imidlertid vanligvis ikke lenger tilfelle. Videre kan man gå fra vanlige tiltak til vektormål , som tar på seg verdiene i Banach-rom, og definere et integral med hensyn til slike tiltak.

litteratur

• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires . Warszawa 1932. (Monografi Matematyczne; 1) Zbl 0005.20901 (Kolmogoroff)
• Prof. Dr. A. Deitmar: Funksjonsanalyseskript WS2011 / 12 < http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/~deitmar/LEHRE/frueher/2011-12/FA/FA.pdf >
• Robert E. Megginson: En introduksjon til Banach Space Theory . Springer-Verlag (1998), ISBN 0-387-98431-3
• Bernard Beauzamy: Introduksjon til Banach Spaces og deres geometri . Nord-Holland. 1986
• Raymond A. Ryan: Introduksjon til Tensor Products of Banach Spaces . Springer forlag. 2000
• Anton Willkomm: Avhandling: Om representasjonsteorien for topologiske grupper i ikke-arkimediske Banach-rom . Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen. 1976
• Joseph Diestel: Sekvenser og serier i Banach-rom , Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5
• Nelson Dunford; Jacob T. Schwartz: Lineære operatører, del I, generell teori 1958