Jevn funksjon

En jevn funksjon er en matematisk funksjon som er uendelig differensierbar (spesielt kontinuerlig ). Betegnelsen "glatt" er motivert av observasjonen: Grafen for en jevn funksjon har ingen "hjørner", dvs. steder der den ikke kan differensieres. Dette gjør at grafen ser “spesielt glatt” ut overalt. For eksempel er hver holomorf funksjon også en jevn funksjon. I tillegg brukes glatte funksjoner som avkuttingsfunksjoner eller som testfunksjoner for distribusjoner .

definisjon

Konvensjoner

For et ikke-tomt åpent delsett av settet med en, kalles virkelig verdsatte og helt kontinuerlige funksjoner med , eller . Tilsvarende er funksjonssettet som kontinuerlig kan differensieres en gang betegnet av og for hvert naturlige tall blir funksjonssettet som kontinuerlig kan differensieres en gang betegnet med. ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle C (D)}$ ${\ displaystyle C ^ {0} (D)}$ ${\ displaystyle C ^ {0} (D, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle C ^ {1} (D)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle C ^ {n} (D)}$

Settet med -tid kontinuerlig differensierbar funksjon er rekursivt av ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle f \ i C ^ {n} (D) \ Leftrightarrow f \ i C ^ {1} (D) {\ text {and}} f '\ i C ^ {n-1} (D)}

Er definert. Det gjelder alltid

{\ displaystyle C ^ {n} (D) \ subset C ^ {n-1} (D) \ subset \ dotsb \ subset C ^ {1} (D) \ subset C ^ {0} (D)}

.

Jevne funksjoner

En funksjon kalles uendelig ofte (kontinuerlig) differensierbar eller glatt hvis den gjelder for alle . Settet med alle glatte funksjoner er notert med og det gjelder ${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ i C ^ {n} (D)}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (D)}$

{\ displaystyle C ^ {\ infty} (D): = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} C ^ {n} (D).}

Denne beskrivelsen er spesielt nyttig av topologiske hensyn.

Generaliseringer

Konseptet med jevn funksjon kan generaliseres til mer generelle tilfeller uten problemer . Det sies at en funksjon er uendelig differensierbar eller glatt hvis alle delderivater er uendelig differensierbare. Jevne funksjoner mellom glatte manifolder blir også definert og undersøkt. ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {m} \ supset D \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

kjennetegn

Alle differensierbare derivater er nødvendigvis kontinuerlige, siden differensierbarhet innebærer kontinuitet.
Begrepet "tilstrekkelig glatt" finnes ofte i matematiske betraktninger. Med dette menes at funksjonen for en tilstrekkelig stor i løgner, så bare er differensierbar, for å gjennomføre den nåværende tankegangen. Dette er formulert på en slik måte at man unngår for sterk (og ikke fornuftig) begrensning av "uendelig ofte differensierbar" og på den annen side ikke trenger å gå gjennom alle forutsetningene som allerede er oppfylt i de tilfellene som vanligvis blir vurdert, eller hvis de nøyaktige begrensning av andre grunner ikke spiller en rolle: som et teoretisk argument kan det fastslås at for alle de fold deriverbar og også uendelig ofte deriverbare funksjoner og analytiske funksjoner med hensyn til mange vanlige beregninger ligge nær å kontinuerlig. Hvis det for eksempel er et fysisk problem der små endringer ikke er viktige, er det vilkårlig "tette" funksjoner for en kontinuerlig funksjon under overveielse som oppfyller de matematiske betingelsene som er satt; det kan til og med være mulig å vise at eiendommen som er bevist for visse funksjoner overføres til et større område der de ligger tett sammen. Hvis det kan sees fra sammenhengen at bare tilstrekkelig glatte funksjoner blir vurdert (f.eks. Ved å spesifisere graden av differensierbarhet), blir tilsetningen "tilstrekkelig" noen ganger utelatt. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle C ^ {n} (D)}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n}$
I tillegg betegner man med settet med alle analytiske funksjoner , dette er de uendelig ofte differensierbare funksjonene, hvor Taylor- utvidelsen konvergerer til den gitte funksjonen rundt et hvilket som helst punkt i et nabolag. Det er da bemerkelsesverdig at hver av de følgende inneslutningene er reelle i det virkelig verdsatte tilfellet. Når det gjelder komplekse verdsatte og komplekse differensierbare, eller rettere holomorfe funksjoner , er hver funksjon som er kompleks differensierbar på et åpent sett uendelig differensierbar og til og med analytisk. Det er grunnen til at differensierbarheten hovedsakelig er relatert til funksjoner hvis definisjon og målsett er reelle tall, vektorrom eller manifolder over reelle tall eller lignende. ${\ displaystyle C ^ {\ omega} (D)}$ ${\ displaystyle C ^ {0} (D) \ supset \ dotsb \ supset C ^ {n} (D) \ supset C ^ {n + 1} (D) \ supset \ dotsb \ supset C ^ {\ infty} ( D) \ supset C ^ {\ omega} (D)}$ ${\ displaystyle C ^ {n} (D)}$
Hvert og også (så vel som ) er et (uendelig dimensjonalt) vektorrom . ${\ displaystyle C ^ {n} (D)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (D)}$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega} (D)}$

Eksempler

Alle polynomfunksjoner er uendelig forskjellige og til og med analytiske.
Av

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; \; \; x \ mapsto {\ begin {cases} x ^ {n} & \ mathrm {f {\ ddot {u} } r} \ quad x \ geq 0 \\ - x ^ {n} & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} \ quad x <0 \ end {cases}}}

definert funksjon er ganger kontinuerlig differensierbare ( ), den th utledningen er imidlertid på det sted ikke kontinuerlig differensierbar, dvs .

{\ displaystyle (n-1)}

{\ displaystyle f \ i C ^ {n-1} (\ mathbb {R})}

{\ displaystyle (n-1)}

{\ displaystyle f ^ {(n-1)} (x) = n! \, \ left | x \ right |}

{\ displaystyle x = 0}

{\ displaystyle f \ notin C ^ {n} (\ mathbb {R})}

Funksjonen

{\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; \; \; x \ mapsto {\ begin {cases} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {x ^ {2}}}} & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} \ quad x \ neq 0 \\ 0 & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} \ quad x = 0 \ end {saker}}}

er en uendelig differensierbar funksjon, men ikke en analytisk funksjon, fordi Taylor-serien rundt nullpunktet ikke sammenfaller med funksjonen i noe nabolag rundt 0, siden alle derivater ved 0 tar verdien 0.

Men det er også det samme

{\ displaystyle h \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; \; \; x \ mapsto {\ begin {cases} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {x ^ {2}}}} & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} \ quad x> 0 \\ 0 & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} \ quad x \ leq 0 \ end {saker}}}

uendelig differensierbar. Åpenbart kan ingen globale uttalelser utledes fra lokal kunnskap om en uendelig differensierbar funksjon (her gjelder for eksempel alle positive , men likevel ).

{\ displaystyle g (x) = h (x)}

{\ displaystyle x}

{\ displaystyle g \ neq h}

Den Schwartz plass inneholder bare glatte funksjoner og er en ekte delmengde av de uendelig ofte deriverbare funksjoner.

applikasjon

Disse to siste eksemplene er viktige verktøy for å konstruere eksempler på glatte funksjoner med spesielle egenskaper. På følgende måte kan man konstruere en jevn nedbrytning av den (her: av ): ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Funksjonen er uendelig forskjellig med en kompakt bærer . ${\ displaystyle j \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; x \ mapsto h (1 + x) \ cdot h (1-x)}$ ${\ displaystyle [-1.1]}$

Funksjonen

{\ displaystyle k \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \; x \ mapsto {\ frac {h (1 + x)} {h (1 + x) + h (1-x)} }}

er uendelig forskjellig, og følgende gjelder:

{\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} k (x) = 0 & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} & x \ leq -1 \\ 0 <k (x) <1 & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} & -1 <x <1 \\ k (x) = 1 & \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} & x \ geq 1 \ end {array}}}

Topologisering

Vær en åpen delmengde . I rommet for glatte funksjoner blir en topologi forklart spesielt i distribusjonsteorien . Familien med semi-normer ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle f \ i C ^ {\ infty} (D) \ mapsto \ sum _ {| \ alpha | = m} \ sup _ {x \ in K} \ left | {\ frac {\ partial ^ {\ alpha }} {\ partial x ^ {\ alpha}}} f (x) \ right |}

med og passerer gjennom alle kompakter, og gjør rommet til glatte funksjoner til et lokalt konveks rom . Dette er komplett og derfor et Fréchet-rom . I tillegg, siden hvert lukket og avgrenset sett er kompakt , er dette til og med et Montel-rom . Rommet til de glatte funksjonene sammen med denne lokalt konvekse topologien blir vanligvis referert til som. ${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle K \ delmengde D}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (D)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (D)}$