Kurve (matematikk)

I matematikk er en kurve (fra latin curvus "bøyd, buet") et endimensjonalt objekt . I motsetning til en rett linje , for eksempel , trenger ikke en kurve å være rett, men kan i stedet ta noe kurs.

Endimensjonalt betyr uformelt at du bare kan bevege deg i en retning (eller i motsatt retning) på kurven. Om kurven ligger i det todimensjonale planet ("plankurve") eller i et høyere dimensjonalt rom (se romkurve ) er irrelevant i denne konseptuelle sammenhengen.

Avhengig av gren av matematikk, er det forskjellige spesifikasjoner for denne beskrivelsen.

Parametriske representasjoner

En kurve kan defineres som bildet av en bane . En bane er (i motsetning til dagligspråket) en kontinuerlig kartlegging fra et intervall til det betraktede rommet, f.eks. B. i det euklidiske planet . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

kubisk kurve med et kolon. t  → ( t ²  - 1,  t  ( t ²  - 1)) eller y ²  =  x ² ( x  + 1)

Eksempler:

• Illustrasjonen

${\ displaystyle {[0,2 \ pi [} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}$

beskriver enhetssirkelen i planet.

• Illustrasjonen

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto {\ big (} t ^ {2} -1, t (t ^ {2} -1) {\ stor)}}$

beskriver en kurve med et enkelt kolon på , som tilsvarer parameterverdiene og .${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle t = 1}$${\ displaystyle t = -1}$

Av og til, spesielt med historiske navn, skilles det ikke mellom sti og kurve. Så den interessante strukturen i Hilbert-kurven er måten; bildet av denne banen er enhets kvadrat, så den har ikke lenger noen fraktal struktur.

Parameterrepresentasjonen gir kurven en følelse av retning i retning av den voksende parameteren.

Ligningsrepresentasjoner

En kurve kan også beskrives av en eller flere ligninger i koordinatene. Eksempler på dette er igjen bildene av de to kurvene gitt av parameterrepresentasjonene ovenfor:

• ligningen

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

beskriver enhetssirkelen i planet.

• ligningen

${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {2} (x + 1)}$

beskriver kurven spesifisert ovenfor i den parametriske representasjonen med et kolon.

Hvis ligningen er gitt av et polynom , som her , kalles kurven algebraisk .

Funksjonsgraf

Funksjonsgrafer er et spesielt tilfelle av begge de ovennevnte skjemaene: Grafen til en funksjon

${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}, \ quad x \ mapsto f (x)}$

kan enten være en parametrisk fremstilling

${\ displaystyle D \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ quad t \ mapsto (t, f (t))}$

eller som en ligning

${\ displaystyle \ Gamma _ {f} = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid y = f (x) \}}$

spesifiseres.

Er i skolematematikk av Kurvendiskussion snakket, tenker man vanligvis bare dette spesielle tilfellet.

Differensierbare kurver, krumning

La være et intervall og en vanlig kurve , dvs. H. for alle . Den lengde av kurven ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle | c '(x) | \ neq 0}$${\ displaystyle x \ in (a, b)}$

${\ displaystyle l = \ int _ {a} ^ {b} | c '(t) | \, dt}$

Funksjonen

${\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} | c '(t) | \, dt}$

er en diffeomorfisme , og sammenkoblingen av med den inverse diffeomorfismen gir en ny kurve med for alle . En sier: er parameterisert i henhold til buelengden. ${\ displaystyle [a, b] \ til [0, l]}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle {\ tilde {c}} \ kolon [0, l] \ til \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle | {\ tilde {c}} '(x) | = 1}$${\ displaystyle x \ in (0, l)}$${\ displaystyle {\ tilde {c}}}$

La være et intervall og en kurve som er parameterisert i henhold til buelengden. Den krumning av ved punktet er definert som . For plane kurver kan krumningen også gis et tegn : Hvis rotasjonen er 90 °, blir den bestemt av . Positiv krumning tilsvarer venstresving, negativ høyresving. ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ kappa (s) = | c '' (s) |}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ kappa (s)}$${\ displaystyle c '' (s) = \ kappa (s) \ cdot Jc '(s)}$

Lukkede kurver

Vær en flat kurve. Den er lukket når , og rett og slett lukket hvis, i tillegg til er injiserende. Den jordanske kurvesetningen sier at en ganske enkelt lukket kurve deler planet i en avgrenset og en ubegrenset del. Hvis en lukket kurve er felles for alle , kan kurven tildeles et antall omdreininger som indikerer hvor ofte kurven går rundt nullpunktet. ${\ displaystyle c \ colon [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle c (0) = c (1)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c (t) \ neq (0,0)}$${\ displaystyle t \ in [0,1]}$

Jevne lukkede kurver kan tilordnes til et annet tall, det tangentielle revolusjonstallet , som for en parameterisert av bue Läge-kurve ved ${\ displaystyle c \ colon [0, l] \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {l} \ kappa (t) \, dt}$

gitt er. Den sirkulasjonshastigheten av Heinz Hopf sier at en enkel lukket kurve tangent vikling nummer eller målet. ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle -1}$

Generelt sett være et topologisk rom . I stedet for lukkede stier med , snakker man også om sløyfer med basispunkt . Fordi kvotientområdet er homomorf til enhetssirkelen , identifiserer man sløyfer med kontinuerlige kart . To løkker med basepunkt kalles homotopisk hvis de kontinuerlig kan deformeres til hverandre mens basepunktet opprettholdes, dvs. H. hvis det er en kontinuerlig kartlegging med , for alle og for alle . Ekvivalensklassene homotopiske sløyfer danner en gruppe , den grunnleggende gruppen av . Hvis , så er den grunnleggende gruppen isomorf til over antall svinger . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle c \ colon [0,1] \ to X}$${\ displaystyle c (0) = c (1)}$${\ displaystyle c (0)}$ ${\ displaystyle [0.1] / \ {0.1 \}}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$${\ displaystyle S ^ {1} \ til X}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H \ colon [0,1] ^ {2} \ til X}$${\ displaystyle H (s, 0) = c_ {1} (s)}$${\ displaystyle H (s, 1) = c_ {2} (s)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle H (0, t) = H (1, t) = x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2} - \ {0 \}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Romkurver

La være et intervall og en kurve som er parametrisert i henhold til buelengden. Følgende navn er standard: ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} t (s) & = c '(s) \\ n (s) & = {\ frac {t' (s)} {| t '(s) |}} \\ b (s) & = t (s) \ ganger n (s) \ slutt {justert}}}$

(definert når som helst ). er den tangensielle vektoren, den normale vektoren og den binormale vektoren, kalles trippelen det medfølgende stativet . Krumningen er definert ved den vridning . Frenet-formlene gjelder : ${\ displaystyle t '(s) \ neq 0}$${\ displaystyle t (s)}$${\ displaystyle n (s)}$${\ displaystyle b (s)}$${\ displaystyle (t, n, b)}$${\ displaystyle \ kappa (s) = | t '(s) | = | c' '(s) |}$ ${\ displaystyle \ tau (s)}$${\ displaystyle b '(s) = - \ tau (s) n (s)}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} t '& = && \ kappa n \\ n' & = & - \ kappa t & + & \ tau b \\ b '& = && - \ tau n \ end {matrix}} }$

Den viktigste teorem av lokale kurve teori sier at en kurve kan rekonstrueres fra krumning og svingete: Hvis glatte funksjoner er med for alle (verdien 0 er derfor ikke tillatt for), det er nøyaktig en tilsvarende kurve med unntak av bevegelser . ${\ displaystyle \ kappa, \ tau \ colon [0, l] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ kappa (s)> 0}$${\ displaystyle s \ in [0, l]}$${\ displaystyle \ kappa}$

De tre vektorer av to , eller spredte plan gjennom kurven punkt slitasjen spesielle navn:${\ displaystyle t}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$

• Den Oskulations flate eller krumningsplanet er av og utspent.${\ displaystyle t}$${\ displaystyle n}$
• Den normalplan er utspent av og .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$
• Den likerettende plane eller forlengelsesplanet er utspent av og .${\ displaystyle t}$${\ displaystyle b}$

Kurver som uavhengige gjenstander

Kurver uten et omgivende rom er relativt uinteressante i differensialgeometri , fordi hver endimensjonale manifold er diffeomorf til en ekte rett linje eller til enhetssirkelen . Egenskaper som kurvaturen til en kurve kan heller ikke bestemmes iboende. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle S ^ {1}}$

I algebraisk geometri og i tilknytning til den, i kompleks analyse , forstås "kurver" generelt å være endimensjonale komplekse manifolder , ofte referert til som Riemann-overflater . Disse kurvene er uavhengige studieobjekter, det mest fremtredende eksemplet er elliptiske kurver . Se kurve (algebraisk geometri)

Historisk

Den første boka om elementene i Euklid begynte med definisjonen “Et poeng er det som ikke har noen deler. En kurve er en lengde uten bredde. "

Denne definisjonen kan ikke lenger opprettholdes i dag, for det er for eksempel Peano-kurver , dvs. H. kontinuerlige surjective kartlegginger som fyller hele nivået. På den annen side følger det av Sards lemma at enhver differensierbar kurve har et areal på null, det vil si, faktisk, slik Euklid krever, har "ingen bredde". ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$

litteratur

• Ethan D. Bloch: Et første kurs i geometrisk topologi og differensiell geometri. Birkhäuser, Boston 1997.
• Wilhelm Klingenberg: Et kurs i differensiell geometri. Springer, New York 1978.

weblenker

Wiktionary: curve  - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

1. ^ H. Neunzert, WG Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analyse 2: Med en introduksjon til vektor- og matriksberegninger . En lærebok og arbeidsbok. 2. utgave. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-97840-1 , 23.5 ( begrenset forhåndsvisning i Googles boksøk). 
2. ↑ H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik . 12. utgave. Walter de Gruyter, 1994, ISBN 978-3-486-78544-9 ( begrenset forhåndsvisning i Google-boksøk). 
3. ^ W. Kühnel: Differensialgeometrie. Vieweg-Verlag, 1999, ISBN 978-3-8348-0411-2 , avsnitt 2.9.