Frenets formler

De Frenet formlene ( Frenet formler ), oppkalt etter den franske matematikeren Jean Frédéric Frenet , er de sentrale ligningene i teorien om romkurver , en viktig del av differensialgeometri . De kalles også avledede ligninger eller Frenet-Serret-formler , sistnevnte etter Joseph Serret , som ga formlene i sin helhet. I denne artikkelen presenteres Frenets formler først i et tredimensjonalt visuelt rom, etterfulgt av generalisering til høyere dimensjoner. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Det tredimensjonale tilfellet

Oversikt

Formlene bruker en ortonormal basis (enhetsvektorer som er vinkelrett på hverandre parvis) fra tre vektorer (tangentvektor , hovednormalvektor og binormal vektor ), som beskriver kurvens lokale oppførsel , og uttrykker derivatene av disse vektorene i henhold til til buelengden som lineære kombinasjoner av de tre nevnte vektorene. De skalare variable krumning og torsjon , som er karakteristiske for den kurve, forekomme. ${\ displaystyle {\ vec {t}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} \, (s)}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} s}} = {\ vec {t}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}} = \ kappa {\ vec {n}} \ qquad {\ vec {t}} \ times {\ vec {n}} = {\ vec {b} }}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {b}}} {\ mathrm {d} s}} = - \ tau {\ vec {n}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d } {\ vec {n}}} {\ mathrm {d} s}} = \ tau {\ vec {b}} - \ kappa {\ vec {t}}}$

Konseptdannelse

Vektoren forbinder to punkter på banen og har lengden . For går mot buelengden til seksjonen mellom og : ${\ displaystyle \ Delta {\ vec {r}} = {\ vec {r}} {} _ {2} - {\ vec {r}} {} _ {1}}$${\ displaystyle | \ Delta {\ vec {r}} \, | = {\ sqrt {\ Delta {\ vec {r}} \ cdot \ Delta {\ vec {r}}}}}$${\ displaystyle \ Delta {\ vec {r}} \ rightarrow 0}$${\ displaystyle | \ Delta {\ vec {r}} \, |}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} s = | \ mathrm {d} {\ vec {r}} \, | = {\ sqrt {\ mathrm {d} {\ vec {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}}}$

Stiets buelengde er fra startpunktet til punktet${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\ displaystyle s = \ int _ {{\ vec {r}} _ {0}} ^ {\ vec {r}} \ mathrm {d} s = \ int _ {{\ vec {r}} _ {0 }} ^ {\ vec {r}} {\ sqrt {\ mathrm {d} {\ vec {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}}}}$

Gitt er en romkurve som er parametrisert av buelengden : ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} (s)}$.

For et punkt på kurven blir oppnådd ved å utlede ved hjelp av enhetens tangensvektor tilfelle av en endring av buelengden, som indikerer kurvens lokale retning, slik at endringen i posisjon: ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s)}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ vec {t}} (s) = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} (s)} {\ mathrm {d} s}} = {\ vec {r} } \, '(s)}$.

På grunn av mengden av derivatet er lik 1; dermed er det en enhetsvektor. Den tangente enhetsvektoren endrer vanligvis sin retning langs banen, men ikke dens lengde (den forblir alltid en enhetsvektor) eller . Fra dette kan man konkludere med at derivatet av den tangente enhetsvektoren er vinkelrett på den: ${\ displaystyle \ mathrm {d} s = | \ mathrm {d} {\ vec {r}} \, |}$${\ displaystyle | {\ vec {t}} \, | = 1}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \ cdot {\ vec {t}} = 1}$

${\ displaystyle {\ vec {t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} \ left ({\ vec {t}} \ cdot {\ vec {t}} \, \ right)} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {1} { 2}} {\ frac {\ mathrm {d} 1} {\ mathrm {d} s}} = 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad {\ vec {t}} \ perp {\ frac {\ mathrm {d} { \ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}}}$

Banen kan utvides til en Taylor-serie : ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {{\ vec {r}} (s + \ Delta s) = {\ vec {r}} (s) + {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} s}} (s) \ Delta s + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} {} ^ {2} {\ vec {r}}} {\ mathrm { d} s ^ {2}}} (s) \ Delta s ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ Delta s ^ {3}) = {\ vec {r}} (s) + {\ vec {t}} (s) \ Delta s + {\ frac {1} {2}} {\ vec {t}} \, '(s) \ Delta s ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ Delta s ^ {3})}}$

Banekurve (rød) med tangente enhetsvektorer og osculerende sirkel med radius. For illustrasjonsformål er størrelsen valgt overdrevet.${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$${\ displaystyle \ rho.}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$

Andreordens tilnærmingskurve i er en parabel som ligger i det osculerende planet som er spent av og . ${\ displaystyle \ Delta s}$${\ displaystyle {\ vec {t}}}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '}$

For å beregne mengden av vurderer man den osculerende sirkelen , som på det observerte punktet på stien klamrer seg til tilnærmelsesparabolen, dvs. H. sirkelen som går gjennom det gitte kurvepunktet har samme retning der som kurven og tilsvarer også kurven i det andre derivatet. La vinkelen mellom tangentvektorer til nabokurvepunktene ( og ) være . Det betyr ${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \, (s)}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \, (s + \ mathrm {d} s)}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi = | \ mathrm {d} {\ vec {t}} \, | / | {\ vec {t}} \, | = | \ mathrm {d} {\ vec { t}} \, |}$

Siden tangensenhetsvektoren er vinkelrett på radiusvektoren til den osculerende sirkelen, er vinkelen mellom nærliggende radiusvektorer ( ) identisk med vinkelen mellom tangentvektorene i nabokurvepunktene ( ). Fra dette følger det som en osculerende radius (= krumningsradius): ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi = \ mathrm {d} s / \ varrho}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ varphi = | \ mathrm {d} {\ vec {t}} \, |}$${\ displaystyle \ varrho}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {1} {\ varrho}} \ quad \ Longrightarrow \ quad \ left | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {t}}} {\ mathrm {d} s}} \ right | = {\ frac {1} {\ varrho}}}$

Den gjensidige krumningsradien kalles krumning og indikerer styrken av retningsendringen over buelengden, dvs. mengden av : ${\ displaystyle \ varrho (s) \,}$ ${\ displaystyle \ kappa (s) \,}$${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '}$

${\ displaystyle \ kappa (s) = {\ frac {1} {\ varrho (s)}} = | {\ vec {t}} \, '(s) | = | {\ vec {r}} \, '' (s) |}$.

Normalisering av returnerer den viktigste normale enhetsvektoren (krumningsvektoren). Siden tangensenhetsvektoren er tangensiell til oscillasjonssirkelen og den viktigste normale enhetsvektoren er vinkelrett på den, indikerer den retningen til oscillasjonssirkelsentret. Det er retningen som endrer seg. ${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '(s)}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$${\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}$${\ displaystyle {\ vec {t}} (s)}$

${\ displaystyle {\ vec {n}} (s) = {\ frac {{\ vec {t}} \, '(s)} {| {\ vec {t}} \,' (s) |}} = {\ frac {{\ vec {r}} \, '' (s)} {| {\ vec {r}} \, '' (s) |}} = \ varrho (s) \, {\ vec {t}} \, '(s) = \ varrho (s) \, {\ vec {r}} \,' '(s)}$.

Den normale vektoren til det osculerende planet bestemmes ved hjelp av vektorproduktet til den tangente enhetsvektoren og den viktigste normale enhetsvektoren og kalles binormal enhetsvektor :

${\ displaystyle {\ vec {b}} (s) = {\ vec {t}} (s) \ times {\ vec {n}} (s)}$

Tangentenhetsvektor  T ,  hovednormalenhetsvektor N og binormal enhetsvektor  B danner det medfølgende stativet til en romkurve.
Det osculerende planet er også vist; det spennes av den viktigste normale og tangente enhetsvektoren.

Tangent, hovednormale og binormale enhetsvektorer danner et ortonormalt grunnlag for , i. det vil si at disse vektorene har størrelsen 1 og er gjensidig vinkelrett parvis. Dette ortonormale grunnlaget kalles også kurven som følger med . Frenet-formlene uttrykker derivatene av de nevnte basisvektorene som lineære kombinasjoner av disse basisvektorene: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ vec {t}} \, '(s) = \ kappa (s) \, {\ vec {n}} (s)}$

${\ displaystyle {\ vec {n}} \, '(s) = - \ kappa (s) \, {\ vec {t}} (s) + \ tau (s) \, {\ vec {b}} (s)}$

${\ displaystyle {\ vec {b}} \, '(s) = - \ tau (s) \, {\ vec {n}} (s)}$

eller i en minneverdig matrise notasjon

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ vec {t}} \\ {\ vec {n}} \\ {\ vec {b}} \ end {pmatrix}} '\, = \, {\ begin { pmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & \ tau \\ 0 & - \ tau & 0 \ end {pmatrix}} {\ begynn {pmatrix} {\ vec {t}} \\ {\ vec {n}} \ \ {\ vec {b}} \ end {pmatrix}}}$.

Her står for krumning og for vridning (vridning) av kurven i kurvepunktet som vurderes. ${\ displaystyle \ kappa (s) \,}$${\ displaystyle \ tau (s) \,}$

Animasjon av tilhørende stativ, samt krumning og vridningsfunksjon. Rotasjonen av den binormale vektoren kan sees tydelig ved toppverdiene til torsjonsfunksjonen.

Ved hjelp av det medfølgende stativet kan krumning og vridning hver illustreres som en endring i retning av en bestemt tangent enhetsvektor. Det er noen (delvis animerte) grafiske illustrasjoner for dette .

Retningsendringen til den binormale enhetsvektoren tilsvarer torsjonen : ${\ displaystyle \ displaystyle \ tau (s)}$

• Jo større torsjon, desto raskere endres den binære enhetsvektoren avhengig av retning. Hvis torsjonen er 0 overalt, er romkurven en flat kurve , dvs. det vil si at det er et felles plan der alle punkter i kurven ligger.${\ displaystyle {\ vec {b}} (s)}$${\ displaystyle \ displaystyle s}$

Retningsendringen til den tangente enhetsvektoren tilsvarer krumningen : ${\ displaystyle \ displaystyle \ kappa (s)}$

• Jo sterkere krumning , jo raskere endres tangensenhetsvektoren avhengig av retning.${\ displaystyle \ displaystyle \ kappa (s)}$${\ displaystyle {\ vec {t}} (s)}$${\ displaystyle \ displaystyle s}$

Punkter i romkurven med krumningen 0, der det ikke er noen osculerende sirkel, der derivatet av tangentenhetsvektoren er nullvektoren , kalles vendepunkter og må behandles separat. Der mister begrepene normalvektor og binormalvektor sin betydning. Hvis alle punkter har krumning 0, er mellomromskurven en rett linje .

Frenet-formlene kan også formuleres med Darboux-vektoren .

Frenets formler som en funksjon av andre parametere

Formlene gitt ovenfor er definert som en funksjon av buelengden s. Ofte er imidlertid romkurvene avhengig av andre parametere, f.eks. B. gitt av tiden. For å uttrykke relasjonene med den nye parameteren t, brukes følgende relasjon:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = \ left | {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t}} \ right | = \ left | {\ dot {\ vec {r}}} \ right |}$

dermed kan man omskrive derivatene fra til : ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} {\ frac {\ mathrm { d}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {\ tfrac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {| {\ dot {\ vec {r}}} \, |}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}$

Følgelig er Frenet-formlene til en romkurve som er parameterisert i forhold til (derivatene i henhold til er merket med et punkt): ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {\ vec {r}}} (t)} {| {\ dot {\ vec {r}}} (t) |}} = {\ vec {t}}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {\ vec {t}}} (t)} {| {\ dot {\ vec {r}}} (t) |}} = \ kappa {\ vec {n} }}$

${\ displaystyle {\ vec {t}} \ times {\ vec {n}} = {\ vec {b}}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {\ vec {b}}} (t)} {| {\ dot {\ vec {r}}} (t) |}} = - \ tau {\ vec {n }}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ dot {\ vec {n}}} (t)} {| {\ dot {\ vec {r}}} (t) |}} = \ tau {\ vec {b} } - \ kappa {\ vec {t}}}$

En kurve som kan differensieres tre ganger i forhold til t har følgende karakteristiske vektorer og skalarer ved hver parameterposisjon : ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ neq 0}$

Tangentvektor	${\ displaystyle {\ vec {t}} (t) = {\ frac {{\ dot {\ vec {r}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t ) \ høyre |}}}$
Binormal vektor	${\ displaystyle {\ vec {b}} (t) = {\ frac {{\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t)} { \ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ right |}} = {\ frac {{\ dot {\ vec { r}}} (t) \ times {\ dot {\ vec {t}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ right | \ left | {\ punkt {\ vec {t}}} (t) \ høyre |}}}$
Hoved normal vektor	${\ displaystyle {\ vec {n}} (t) = {\ vec {b}} (t) \ times {\ vec {t}} (t) = {\ frac {\ left ({\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ right) \ times {\ dot {\ vec {r}}} (t)} {\ left | {\ punkt {\ vec {r}}} (t) \ ganger {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ høyre | \ venstre | {\ punkt {\ vec {r}}} (t) \ høyre |}} = {\ frac {{\ dot {\ vec {t}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {t}}} (t) \ right |}}}$
krumning	${\ displaystyle \ kappa (t) = {\ frac {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ right |} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ right | ^ {3}}} = {\ frac {\ left | {\ dot {\ vec {t}}} (t) \ høyre |} {\ venstre | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ høyre |}}}$
torsjon	${\ displaystyle \ tau (t) = {\ frac {\ left ({\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}}} (t) \ right) \ cdot {\ overset {\ ldots} {\ vec {r}}} (t)} {\ left | {\ dot {\ vec {r}}} (t) \ times {\ ddot {\ vec {r}} } (t) \ right | ^ {2}}}}$

Frenets formler i n dimensjoner

For det dimensjonale tilfellet kreves det noen tekniske krav først. En kurve som er parametrisert i henhold til buelengde og kontinuerlig differensierbare tider kalles en Frenet-kurve , hvis vektorene til de første derivatene er lineært uavhengige ved hvert punkt . Det medfølgende Frenet- benet består av vektorer som oppfyller følgende betingelser: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$${\ displaystyle {\ vec {r}} \, '(s), {\ vec {r}} \,' '(s), \ ldots, {\ vec {r}} ^ {(n-1)} (s)}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} = {\ vec {e_ {i}}} (s)}$

1. ${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}}}$er ortonormale og positivt orienterte .
2. For hver, de lineære skrogene av og matcher.${\ displaystyle i = 1, \ ldots n-1}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}}, \ ldots {\ vec {e_ {i}}}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} \, ', \ ldots, {\ vec {r}} ^ {(i)}}$
3. ${\ displaystyle \ langle {\ vec {r}} ^ {(i)}, {\ vec {e_ {i}}} \ rangle> 0}$for alle .${\ displaystyle i = 1, \ ldots n-1}$

Du må lese disse forholdene punkt for punkt, det vil si at de gjelder for hvert parameterpunkt . I det tredimensjonale tilfellet som er beskrevet ovenfor, vektorene , og danner en medfølgende Frenet stativ. Ved hjelp av Gram-Schmidt ortogonaliseringsmetoden kan man vise at Frenet- ben for Frenet-kurver eksisterer og er unikt bestemt. I det dimensjonale tilfellet oppnås differensiallikninger for komponentene i det medfølgende Frenet leg:${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}} = {\ vec {t}}}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {2}}} = {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {3}}} = \ pm {\ vec {b}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Vær en Frenet-kurve med et medfølgende Frenet- ben . Så er det helt klart visse funksjoner , hvor -mal kontinuerlig kan differensieres og bare antar positive verdier, slik at følgende frenetiske formler gjelder: ${\ displaystyle s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}}}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {i} \,}$ ${\ displaystyle (n-1-i)}$${\ displaystyle i \ leq n-2}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ vec {e_ {1}}} \\ {\ vec {e_ {2}}} \\\ vdots \\\ vdots \\ {\ vec {e_ {n-1 }}} \\ {\ vec {e_ {n}}} \ end {pmatrix}} '\, = \, {\ begin {pmatrix} 0 & \ kappa _ {1} & 0 & \ ldots & \ ldots & 0 \\ - \ kappa _ {1} & 0 & \ kappa _ {2} & 0 & \ ldots & \ vdots \\ 0 & - \ kappa _ {2} & 0 & \ ddots & \ ddots & \ vdots \ \\ vdots & 0 & \ ddots & \ ddots & \ ddots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 & \ kappa _ {n-1} \\ 0 & \ ldots & \ ldots & 0 & - \ kappa _ {n-1} & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {\ vec {e_ {1}}} \\ {\ vec {e_ {2}}} \\\ vdots \\\ vdots \\ {\ vec {e_ {n-1}}} \ \ {\ vec {e_ {n}}} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle \ kappa _ {i}}$kalles -th Frenet-krumning, den siste kalles også torsjon av kurven . Kurven er inneholdt i et hyperplan nøyaktig når torsjonen forsvinner. I mange applikasjoner kan det differensieres så ofte som ønsket; denne eiendommen blir deretter overført til Frenet-krumningene. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ kappa _ {n-1}}$${\ displaystyle s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$

Loven om lokal kurve teori

Omvendt kan man konstruere kurver for gitte Frenet-krumninger, nærmere bestemt gjelder den såkalte hovedteoremet for lokal kurve teori :

La det være et hvilket som helst antall differensierbare virkelige verdifunksjoner definert i et intervall , hvor de bare antar positive verdier. Et poeng og et positivt orientert ortonormalt system er gitt for et poeng . Så er det akkurat en uendelig ofte differensierbar Frenet-kurve med ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-2}}$${\ displaystyle s_ {0} \ i I}$${\ displaystyle p_ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}} ^ {0}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}} ^ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {r}}: I \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}, \, s \ mapsto {\ vec {r}} (s)}$

• ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s_ {0}) = p_ {0}}$,
• ${\ displaystyle {\ vec {e_ {1}}} ^ {0}, \ ldots, {\ vec {e_ {n}}} ^ {0}}$er det medfølgende Frenet- benet i parameterpunktet ,${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s_ {0}}$
• ${\ displaystyle \ kappa _ {1}, \ ldots, \ kappa _ {n-1}}$er Frenet-krumningene av .${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

De to første forholdene bestemmer plasseringen og retningene ved parameterpunktet , den videre kurveforløpet bestemmes deretter av krumningsspesifikasjonene til den tredje tilstanden. Beviset er basert på Frenet-formlene gitt ovenfor, og løsningsteorien for lineære differensiallikningssystemer brukes . ${\ displaystyle s_ {0}}$

weblenker

• Lag animerte illustrasjoner selv: tilhørende stativ, krumning og torsjonsfunksjon ( Maple regneark)

Individuelle bevis

1. ^ Darboux Vector, Mathworld
2. ↑ Wolfgang Kühnel : Differensiell geometri. Kurver - overflater - manifolder. 4. reviderte utgave. Friedr. Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2 , setning 2.13.
3. ^ Wolfgang Kühnel: Differensiell geometri. Kurver - overflater - manifolder. 5. oppdatert utgave. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9 , setning 2.13.