Homotopi

En homotopi som forvandler en kaffekopp til en smultring (en full torus ).

I topologi er en homotopi (fra gresk ὁμός homos 'like' og τόπος tópos 'sted', 'sted') en konstant deformasjon mellom to bilder fra et topologisk rom til et annet, for eksempel deformasjon av en kurve til en annen kurve. En anvendelse av homotopy er definisjonen av homotopy-grupper , som er viktige invarianter i algebraisk topologi .

Uttrykket “homotopy” betegner både egenskapen til to bilder av å være homotopisk (foretrukket) til hverandre og bildet (“kontinuerlig deformasjon”) som formidler denne egenskapen.

definisjon

En homotopi mellom to sammenhengende kart er et kontinuerlig kart ${\ displaystyle f, \, g \ colon X \ to Y}$

${\ displaystyle H \ colon X \ times {[0,1]} \ to Y}$

med eiendommen

${\ displaystyle H (x, 0) = f (x)}$ og ${\ displaystyle H (x, 1) = g (x)}$

hvor er den enhet intervallet . Den første parameteren tilsvarer den for originalbildene, og den andre indikerer graden av deformasjon . Definisjonen blir spesielt tydelig hvis man forestiller seg den andre parameteren som “tid” (se bilde). ${\ displaystyle [0,1]}$

De sier det er homotopisk til og skriver . Homotopi er en ekvivalensrelasjon på settet med kontinuerlige kartlegginger , de tilknyttede ekvivalensklassene kalles homotopiklasser , settet til disse ekvivalensklassene blir ofte referert til som. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f \ sim g}$${\ displaystyle X \ til Y}$${\ displaystyle [X, Y]}$

En kontinuerlig kartlegging kalles null homotopisk hvis den er homotopisk til en konstant kartlegging . ${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$

eksempel

Homotopi av en sirkel i R² til et punkt

Vær den enhetssirkelen i flyet og hele flyet. La kartlegging være innebygging av i , og bli den kartlegging som kart helt til opprinnelsen${\ displaystyle X = S ^ {1} \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle Y = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$, Og , .${\ displaystyle f (x) = x}$${\ displaystyle g \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle g (x) = 0}$

Så og er homotopiske mot hverandre. Fordi ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle H \ colon X \ times [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ Med ${\ displaystyle H (x, t) = (1-t) \ cdot f (x)}$

er stødig og oppfylt og . ${\ displaystyle H (x, 0) = 1 \ cdot f (x) = f (x)}$${\ displaystyle H (x, 1) = 0 \ cdot f (x) = 0 = g (x)}$

Relativ homotopi

Er en undergruppe av , og hvis to kontinuerlige kartlegginger på enig, så og kalles homotop forhold til , hvis det er en homotopi som for hver er uavhengig av . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f, g \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle H \ colon f \ sim g}$${\ displaystyle H (e, t)}$${\ displaystyle e \ i E}$${\ displaystyle t}$

Homotopi av to kurver

De to stiplede banene som vises her, er homotopiske i forhold til endepunktene. Animasjonen representerer en mulig homotopi.

Et viktig spesialtilfelle er homotopien av stier i forhold til sluttpunktene: En sti er en kontinuerlig kartlegging ; hvor er enhetsintervallet. To baner kalles homotopisk relativ av endepunktene hvis de er homotopiske relative , dvs. H. når homotopien fikser start- og sluttpunktene. (Ellers baner i samme baneforbindelse-komponenten vil alltid være homotopic.) Dersom , og er to veier i med og , deretter en homotopiteori i forhold til endepunktene mellom dem er en kontinuerlig tilordning ${\ displaystyle \ gamma \ colon [0,1] \ til X}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle \ {0.1 \}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ gamma _ {0} (0) = \ gamma _ {1} (0) = x}$${\ displaystyle \ gamma _ {0} (1) = \ gamma _ {1} (1) = y}$

${\ displaystyle H: [0.1] \ times [0.1] \ to Y}$

med , , og . ${\ displaystyle H (t, 0) = \ gamma _ {0} (t)}$${\ displaystyle H (t, 1) = \ gamma _ {1} (t)}$${\ displaystyle H (0, s) = x}$${\ displaystyle H (1, s) = y}$

En sti kalles null homotop hvis og bare hvis det er homotop til den konstante måten . ${\ displaystyle \ gamma (t) = x_ {0}}$

Det andre vanlige tilfellet er homotopi av kartlegginger mellom stiplede mellomrom . Hvis og er prikkede mellomrom, er to sammenhengende kartlegginger homotopiske enn kartlegginger av prikkede mellomrom hvis de er relativt homotopiske. ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ displaystyle (Y, y_ {0})}$${\ displaystyle f, g \ colon (X, x_ {0}) \ to (Y, y_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Eksempel: den grunnleggende gruppen

Settet med homotopiklasser av kartlegginger av prikkede mellomrom fra til er den grunnleggende gruppen fra til grunnpunktet . ${\ displaystyle (S ^ {1}, *)}$${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0}}$

For eksempel, hvis en sirkel med et valgt punkt , så er ikke banen som er beskrevet ved å gå rundt sirkelen en gang homotopisk til banen som oppnås ved å stå stille ved startpunktet . ${\ displaystyle (X, x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Homotopiekvivalens

La og være to topologiske mellomrom og er og kontinuerlige kartlegginger. Deretter linkene og er henholdsvis kontinuerlige kartlegginger av eller på seg selv, og man kan prøve å homotopi dem til identitet på X eller Y. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle g \ kolon Y \ til X}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle f \ circ g}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Hvis det er slike og der som homotopiske til og til homotopiske er, kalles det og homotopi-ekvivalent eller samme homotopitype . Kartene og kalles da homotopiekvivalenser . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X}}$${\ displaystyle f \ circ g}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {Y}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Homotopy-ekvivalente rom har de fleste av de topologiske egenskapene til felles. Hvis og tilsvarer homotopi, gjelder det ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

• hvis stierelatert , så også .${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$
• hvis og banekoblet, er de grunnleggende gruppene og de høyere homotopigruppene isomorfe.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$
• de homologi og kohomologi grupper av og er de samme.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$
• ${\ displaystyle X}$og er deformasjonsretrakter i et topologisk rom .${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$

Isotopi

definisjon

Hvis to gitte homotopiske kartlegginger og tilhører en viss regelmessighetsklasse eller har andre tilleggsegenskaper, kan man spørre om de to kan kobles sammen med en bane innenfor denne klassen. Dette fører til begrepet isotopi . En isotopi er en homotopi ${\ displaystyle f \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle g \ kolon X \ til Y}$

${\ displaystyle H \ colon X \ times [0,1] \ to Y}$

Som ovenfor, hvor alle mellombilder (for fast t ) også skal ha de nødvendige tilleggsegenskapene. De tilhørende ekvivalensklassene kalles isotopklasser . ${\ displaystyle H_ {t}: = H (\ cdot, t)}$

Eksempler

Så to homeomorfismer er isotopiske hvis en homotopi eksisterer, slik at alle er homeomorfismer. To diffeomorphisms er isotopic hvis de alle er diffeomorphisms selv. (De kalles da også diffeotopic .) To embeddings er isotopic når alle embeddings er. ${\ displaystyle H_ {t}}$${\ displaystyle H_ {t}}$${\ displaystyle H_ {t}}$

Forskjell fra homotopi

Faktisk kan det være et sterkere krav å kreve at to kartlegginger er isotopiske enn å kreve at de er homotopiske. For eksempel er homeomorfismen til enhetssirkelskiven i , som er definert av , det samme som en 180 graders rotasjon rundt opprinnelsen, derfor identitetskartet og er isotopisk fordi de kan kobles sammen ved rotasjoner. I motsetning til dette mapping på intervallet i er definert ved ikke isotopisk til identitet. Dette er fordi hver homotopi av de to bildene må bytte de to endepunktene på et bestemt tidspunkt; på dette punktet blir de kartlagt til samme punkt, og det tilsvarende kartet er ikke en homeomorfisme. I motsetning er homotop til identitet, for eksempel gjennom homotopy , gitt av . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle f (x, y) = (- x, -y)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ left [-1.1 \ right]}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) = - x}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle H '' \ kolon \ venstre [-1.1 \ høyre] \ ganger \ venstre [0.1 \ høyre] \ til \ venstre [-1.1 \ høyre]}$${\ displaystyle H (x, t) = 2tx-x}$

applikasjoner

I geometrisk topologi brukes isotoper for å etablere ekvivalensforhold.

For eksempel i knute teori - når er to knop og å bli ansett like? Den intuitive ideen om å deformere den ene knuten til den andre fører til kravet om en vei av homeomorfismer: en isotopi som begynner med identiteten til et tredimensjonalt rom og ender med en homeomorfisme h , slik at h knuten i knuten dømt. Slike isotoper i det omkringliggende rommet kalles isotopisk eller Umgebungsisotopie . ${\ displaystyle K_ {1}}$${\ displaystyle K_ {2}}$${\ displaystyle K_ {1}}$${\ displaystyle K_ {2}}$

En annen viktig anvendelse er definisjonen av kartleggingen klassen gruppe Mod (M) en manifold M . Man vurderer diffeomorfismer av M "opp til isotopi", det betyr at Mod (M) er den ( diskrete ) gruppen av diffeomorfismer av M , modulo for gruppen av diffeomorfismer som er isotopisk til identitet.

Homotopi kan brukes i numerisk matematikk for en robust initialisering for løsning av differensial-algebraiske ligninger (se homotopimetoden ).

Kjedehomotopi

To kjede homomorfier

${\ displaystyle f _ {\ bullet}, g _ {\ bullet} \ colon (A _ {\ bullet}, d_ {A, \ bullet}) \ to (B _ {\ bullet}, d_ {B, \ bullet})}$

mellom kjedekomplekser og kalles chain homotop hvis det er en homomorfisme ${\ displaystyle (A _ {\ bullet}, d_ {A, \ bullet})}$${\ displaystyle (B _ {\ bullet}, d_ {B, \ bullet})}$

${\ displaystyle K _ {\ bullet} \ colon (A _ {\ bullet}) \ to (B _ {\ bullet +1})}$

Med

${\ displaystyle d_ {B, {\ bullet +1}} K _ {\ bullet} + K _ {\ bullet -1} d_ {A, {\ bullet}} = f _ {\ bullet} -g _ {\ bullet}}$

gir.

Hvis det er homotopiske kart mellom topologiske mellomrom, er de induserte kartene singular chain complexes${\ displaystyle f, g \ kolon X \ til Y}$

${\ displaystyle f _ {\ bullet}, g _ {\ bullet} \ colon (C _ {\ bullet} (X), d _ {\ bullet}) \ to (C _ {\ bullet} (Y), d _ {\ bullet}) }$

kjeden homotop.

Prikket homotopi

To prikkete figurer

${\ displaystyle f, g \ colon (X, x_ {0}) \ to (Y, y_ {0})}$

hot homotopic hvis det er et kontinuerlig kart med ${\ displaystyle H \ kolon X \ ganger \ venstre [0,1 \ høyre] \ til Y}$

${\ displaystyle H (x, 0) = f (x)}$og for alle${\ displaystyle H (x, 1) = g (x)}$${\ displaystyle x \ i X}$

${\ displaystyle H (x_ {0}, t) = y_ {0}}$ for alle ${\ displaystyle t \ in \ left [0,1 \ right]}$

gir. Settet med homotopiklasser med stiplede kart er betegnet med. ${\ displaystyle \ left [X, Y \ right]}$

litteratur

• Brayton Gray: Homotopiteori. En introduksjon til algebraisk topologi (=  Ren og anvendt matematikk . Nr. 64 ). Academic Press, New York et al. 1975, ISBN 0-12-296050-5 . 
• Allen Hatcher: Algebraisk topologi . Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79540-0 . 
• John McCleary (red.): Høyere homotopistrukturer i topologi og matematisk fysikk . Forhandlinger fra en internasjonal konferanse 13. - 15. juni 1996 på Vassar College, Poughkeepsie, New York, for å hedre Jim Stasheffs sekstårsdag. American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0913-X ( Contemporary Mathematics 227). 
• George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory . Korrigert 3. utskrift. Springer, New York et al. 1995, ISBN 0-387-90336-4 ( Graduate Texts in Mathematics 61). 
• M. Sielemann, F. Casella, M. Otter, C. Claus, J. Eborn, SE Mattsson, H. Olsson: Robust Initialization of Differential-Algebraic Equations Using Homotopy . Internasjonal Modelica-konferanse, Dresden 2011, ISBN 978-91-7393-096-3 . 

Individuelle bevis

1. ↑ Tammo tom Dieck : Topologi . 2. utgave. de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 3-11-016236-9 , s. 277 .