Algebraisk topologi

Den algebraiske topologien er et delområde i matematikken , de topologiske rommene (eller posisjonsforhold i rommet som i knute teorien ) ved hjelp av studerte algebraiske strukturer . Det er en subdisiplin av topologi .

Den grunnleggende ideen er å tildele bestemte topologiske rom, for eksempel delmengder av det visuelle rommet som kuler, tori eller deres overflater , visse algebraiske strukturer som grupper eller vektorrom , og dette på en slik måte at kompliserte forhold på siden av topologiske rom er forenklet Finn sidene til de algebraiske strukturene og bli dermed tilgjengelige for behandling.

Oppgave

Enkle komplekser består av enkle komponenter.

Et viktig mål for topologi er å klassifisere alle topologiske rom bortsett fra homeomorfisme . Dette målet kan ikke oppnås i denne omfattende formen. Likevel søkes effektive og pålitelige metoder ved hjelp av hvilke bestemte rom kan analyseres eller til og med visse klasser av topologiske rom kan klassifiseres .

Vanligvis blir enkle komplekser , cellekomplekser , manifolder med og uten grenser undersøkt, dvs. mellomrom som er sammensatt av topologisk enkle komponenter. Kartleggingen som vurderes mellom dem, kan være kontinuerlige , stykkevise lineære eller differensierbare kart. Målet er å klassifisere de observerte rommene og kartleggingen mellom dem så langt som mulig ved hjelp av tildelte algebraiske strukturer som grupper , ringer , vektorrom og homomorfismene (strukturer) mellom dem og mengdene avledet fra dem, ned til homeomorfisme eller i det minste ned til grovere en Homotopy-ekvivalens . For dette formål brukes ingen faste topologiske egenskaper som separasjonsaksiomer eller metrizabilitet , men heller globale egenskaper som "viklinger" eller "hull" i mellomrom, termer som først må spesifiseres i sammenheng med algebraisk topologi.

metodikk

Noen resultater av algebraisk topologi er negative, slik som utsagn om umuligheter. Så det kan vises at det ikke er noen kontinuerlig, surjektiv kartlegging av sfæren på den sfæriske overflaten som etterlater den sfæriske overflaten fast i følgende forstand: hvert punkt på den sfæriske overflaten er kartlagt på seg selv. En slik kartlegging vil på en eller annen måte måtte skape hullet som er lukket av den sfæriske overflaten, og som ikke ser ut til å være mulig med en kontinuerlig kartlegging. En spesifikasjon av disse ideene fører til homologiteori . Slike umulighetsuttalelser kan definitivt få positive konsekvenser. For eksempel er Brouwer's Fixed Point Theorem , ifølge hvilken hver kontinuerlig kartlegging av sfæren har et fast punkt , en enkel konsekvens, fordi det kan vises at en kartlegging av typen akkurat ekskludert kan konstrueres med et fastpunktfritt kartlegging av sfæren i seg selv.

En annen typisk prosedyre i algebraisk topologi er etablering av invarianter for klassifisering av visse topologiske strukturer. For eksempel, hvis du vil klassifisere lukkede kontinuerlige kurver i planet opp til konstant deformasjon (som fortsatt må spesifiseres), vil du oppdage at det bare er en slik klasse, fordi du tydelig kan trekke fra hverandre slik lukket kurve til en sirkel og deretter deformeres dette til en enhetssirkel (med radius 1 rundt koordinatens opprinnelse). Hver lukket kurve er derfor deformasjon-lik enhetssirkelen. Merk at kurvene får trenge inn i seg selv; det er ingen noder i planet ( tre dimensjoner kreves for noder , som også behandles i algebraisk topologi).

Kurven sirkler nullpunktet to ganger.

Situasjonen som bare ble indikert endres hvis flyet erstattes av flyet uten nullpunktet. Å trekke fra hverandre for å danne en sirkel fungerer ikke alltid fordi kurven ikke lenger kan passere over nullpunktet i løpet av deformasjonsprosessen. En spesifikasjon av disse ideene fører til den grunnleggende gruppen og mer generelt til homotopiteorien . Man kan vurdere at to lukkede kurver tilhører samme klasse hvis og bare hvis antall omdreininger rundt nullpunktet (f.eks. Mot klokken) ikke er synkronisert. Hver kurve tildeles derfor et tall fra , nemlig rotasjonsnummeret , og dette tallet klassifiserer kurvene. Hvis du begrenser deg til kurver som starter på et spesifisert punkt og ender der igjen på grunn av kurvenes lukkede natur, kan du løpe gjennom to kurver på rad ved først å gå gjennom den første kurven og deretter etter at du har kommet til den faste utgangspunktet igjen er det andre. Tallene i omløp legger seg opp. Tillegget av hele tall på den algebraiske siden tilsvarer den etterfølgende løp av kurvene på den topologiske siden. Dette betyr at det topologiske romnivået uten nullpunkt er tildelt en algebraisk struktur, gruppen og de lukkede kurvene i den er klassifisert av et element i denne gruppen.

Disse betraktningene antyder rollen som kategoriteori i algebraisk topologi. Den generelle ideen er en topologisk situasjon, dvs. topologiske mellomrom og kontinuerlige kart mellom dem, en algebraisk situasjon, det vil si grupper, ringer eller vektorrom og morfismer mellom seg på en uforanderlig og funksjonell tildelings måte og å trekke konklusjoner. I dette tilfellet betyr invariant at isomorfe algebraiske strukturer er tildelt homomorfe eller homotopi-ekvivalente rom .

Historisk utvikling

De gamle greske matematikerne var allerede opptatt av deformasjoner av tredimensjonale legemer ( klipping , strekking ) og var også interessert i kompleksiteten til knuter, men den første presise konseptformasjonen som kunne tildeles algebraisk topologi er Euler- karakteristikken introdusert av Leonhard Euler .

På 1800-tallet oppdaget Gauss antall koblinger mellom to kurver, som ikke endres med konstant deformasjon uten gjensidig penetrasjon. Fysikeren Kelvin begynte å være interessert i knuter , Betti undersøkte hull og håndtak på manifoldene og kom opp med Betti- tallene oppkalt etter ham . Mot slutten av 1800-tallet klassifiserte Poincaré todimensjonale manifolder (se klassifiseringsteorem for 2-manifolder ) og introduserte i denne sammenheng det grunnleggende konseptet til den fundamentale gruppen .

De første fremragende resultatene i den algebraiske topologien fra det 20. århundre var beviset på invariansen av den topologiske dimensjonen av Brouwer i 1913 og invariansen av homologien , dvs. Betti-tallene, av Alexander på 1920-tallet. Av Vietoris , Alexandrow og Čech ble homologiteorien utvidet til generelle rom. Etter ideer av Poincaré og Riemann , Cartan introdusert differensialformer og en homologiteori basert på dem, de som likeverdighet til vanlig homologiteori ble påvist av hans elev de Rham på 1930-tallet. Hurewicz generaliserte konseptet med den grunnleggende gruppen til homotopigruppen . Etter at det ble fastslått at n-sfærene har ikke-trivielle høyere homotopigrupper, ble deres besluttsomhet en sentral oppgave.

På slutten av 1930-tallet oppdaget Whitney , Stiefel , Pontryagin og Chern forskjellige topologiske invarianter oppkalt etter dem, såkalte karakteristiske klasser , som fremstår som hindringer: visse ting kan bare fungere eller eksistere hvis disse klassene oppfyller visse betingelser, ellers utgjør de hindring for det.

På 1940-tallet ble Morse-teorien etablert, og Eilenberg lyktes i å bevise homotopi-invariansen i singularhomologien . En mer omfattende algebraisering av Poincaré-dualiteten førte til slutt til teorien om kohomologi . Eilenberg og Mac Lane abstraherte videre til den såkalte homologiske algebraen og anses i denne sammenheng å være grunnleggerne av kategoriteori . Disse betraktningene resulterte i Eilenberg-Steenrods unikhetssetning .

Et gjennombrudd i klassifiseringen av manifoldene som allerede ble startet av Poincaré var den kirurgiske teorien til Browder , Nowikow , Sullivan og Wall , med hvilken en klassifisering bortsett fra diffeomorfisme av de enkelt tilkoblede manifoldene av dimensjonen som er homotopi-ekvivalent med en gitt manifold, .

Et annet viktig fremskritt innen de algebraiske metodene for topologi og homologiteori var Grothendiecks arbeid med Riemann-Roch-teoremet , som etablerte K-teorien . Den Bott periodisitet og Atiyah-Singer indeks rente i 1960 er betydelige resultater her.

Den algebraiske topologien er fremdeles gjenstand for aktuell forskning, hvor en generelt forståelig fremstilling av resultatene blir stadig vanskeligere. For ytterligere detaljer, se artikkelen av Novikow gitt nedenfor .

I forsøket på å klassifisere tredimensjonale manifolder som allerede ble gjennomført av Poincaré, oppstod problemet med å vise at hver enkelt tilkoblede, kompakte, ubegrensede tredimensjonale manifold er homomorf til 3-sfæren . Dette problemet, kjent som Poincaré-formodningen , ble først løst av Perelman i 2002 .

applikasjoner

Det er også mange anvendelser av algebraisk topologi utenfor topologi. Rotasjonstallet nevnt ovenfor er en viktig variabel for integrasjonsveier , i funksjonsteori snakker man om null-homologe sykluser som en selvfølge . Metoder for kohomologi teori spiller en viktig rolle i etterforskningen av Riemann overflater .

Hvis man identifiserer et kompakt rom med algebraen for kontinuerlige, komplekse verdsatte funksjoner på hva man kan gjøre i henhold til Gelfand-Neumark-teoremet , oversetter konseptformasjonene ovenfor til ringteori eller C * teori , i det minste for kommutative ringer eller C * -Algebras, fordi det er kommutativt. Hvis kommutativiteten nå droppes, fører dette til den såkalte ikke-kommutative topologien, for eksempel til KK-teorien, som går tilbake til Kasparov . Dette gir deg viktige impulser for algebra og funksjonsanalyse .

I fysikk spiller algebraisk topologi en viktig rolle i den topologiske kvantefeltteorien TQFT.

litteratur