Innbygging (matematikk)

Innenfor ulike områder av matematikk forstås innebygging som en kartlegging som gjør det mulig å forstå et objekt som en del av et annet.

Ofte bare en injektiv kartlegging (i tilfelle av “flat”, dvs. ustrukturerte sett) eller et monomorphism ( strukturelt trofast injektiv kartlegging, i tilfelle av matematiske strukturer ) er tiltenkt.

Et spesielt tilfelle er den kanoniske innebyggingen (inkluderingen) av en delmengde eller underkonstruksjon i et sett eller en struktur som inneholder dem. Et eksempel er den kanoniske forankringen av de reelle tallene i de komplekse tallene .

I tillegg er det mer spesifikke innebyggingsbetingelser i noen områder.

topologi

I topologi man beskriver en mapping mellom to topologiske rom og som innebygging av i , hvis en homeomorfi er fra på den underrom av dets bilde (i underrom topologien ). ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f (X)}$

Følgende utsagn er ekvivalente:

• bildet er en innebygging.${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow Y}$
• ${\ displaystyle f}$er injiserende, kontinuerlig og som en kartlegging for å åpne, d. dvs. for hvert åpent sett med , er bildet åpent igjen .${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (O)}$${\ displaystyle f (X)}$
• ${\ displaystyle f}$er injiserende og kontinuerlig, og for alle topologiske rom og alle kontinuerlige kart som faktoriserer over (dvs. det er et kart med ) er det induserte kartet kontinuerlig.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle t \ colon T \ rightarrow Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t_ {0} \ colon T \ rightarrow X}$${\ displaystyle t = f \ circ t_ {0}}$${\ displaystyle t_ {0} \}$
• ${\ displaystyle f}$er en ekstrem monomorfisme , jeg. H. er injeksjonsdyktig for hver faktorisering i en epimorfisme ( dvs. en kontinuerlig kartlegging) og et kontinuerlig kart , er ikke bare en bimorfisme (d. h. bijektiv) som for enhver injeksjon , men til og med en homeomorfisme.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f = g \ circ e}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle f}$
• ${\ displaystyle f}$er en vanlig monomorfisme .

Generelt sett er ikke innebygging åpen; Det vil si at for åpen trenger ikke å være åpen i , som eksemplet på den vanlige innebyggingen viser. En innebygging er åpen nøyaktig når bildet i er åpent. ${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle U \ subset X}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (X)}$${\ displaystyle Y}$

Differensiell topologi

Med en jevn innebygging forstås en topologisk innebygging av en differensierbar manifold i en differentierbar manifold , som også er en nedsenking . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Differensiell geometri

Under en isometrisk innebygging menes en Riemannian-manifold i en Riemannian-manifold en jevn innebygging av in , slik at for alle tangentvektorer i ligningen er gyldig. ${\ displaystyle (X, g_ {1})}$${\ displaystyle (Y, g_ {2})}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle T_ {x} X}$${\ displaystyle g_ {2} (Df (v), Df (w)) = g_ {1} (v, w)}$

En isometrisk innebygging bevarer lengdene på kurvene , men trenger ikke nødvendigvis å bevare avstandene mellom punktene. Tenk som eksempel på den med den euklidiske metriske og enhetskulen med den induserte metrikk. I henhold til definisjonen av den induserte beregningen er inkluderingen en isometrisk innebygging. Imidlertid er det ikke avstandsopprettholdende: for eksempel er avstanden mellom nord- og sørpolen (dvs. lengden på en korteste tilkoblingskurve) den samme på , mens avstanden im er den samme . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n-1} \ delmengde \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n-1} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S ^ {n-1}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle 2}$

Kroppsteori

I kroppsteori er hver ikke-ringhomomorfisme allerede en kroppsinnbinding , dvs. en monomorfisme . ${\ displaystyle E \ til F}$

Et tallfelt kan ha forskjellige innblandinger . En innebygging kalles en ekte innebygging hvis bildet ditt er i , og komplekst innebygging ellers. For eksempel har en ekte og to komplekse innebygginger. (De komplekse innebyggingene tilordnes til de andre nullene av .) For hver kompleks innblanding leverer det komplekse konjugatet en annen kompleks innlejring, og det er derfor antallet komplekse innlejringer alltid er jevnt. Følgende gjelder , der angir antall reelle og antall komplekse innlejringer. ${\ displaystyle K \ subset \ mathbb {C}}$${\ displaystyle K \ subset \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$${\ displaystyle \ left [K: \ mathbb {Q} \ right] = r_ {1} + 2r_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle 2r_ {2}}$

Se også

• Underområde
• Faktisk innebygging
• Mitchell innebygd teorem
• Teori for innstøping av Nash
• Sobolevs innebygde teorem
• Whitney innebygd teorem
• Innbygging av ord

Individuelle bevis

1. ↑ ekstrem monomorfisme , oppføring i nLab . (Engelsk)

litteratur

• Boto von Querenburg : Sett teoretisk topologi (= Springer lærebok ). 3., revidert og utvidet utgave. Springer, Berlin et al. 2001, ISBN 3-540-67790-9 .

weblenker

Wiktionary: embedding  - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser