Algebraisk geometri

Den algebraiske geometrien er en gren av matematikken som den abstrakte algebra , spesielt studiet av kommutative ringer , med geometrien knyttet. Det kan kort beskrives som studiet av nullene til algebraiske ligninger .

Geometriske strukturer som et sett med nuller

Sfære og den "skråstilte" sirkelen

I algebraisk geometri er geometriske strukturer definert som et sett med nuller i et sett med polynomer . For eksempel kan den todimensjonale enhetssfæren i det tredimensjonale euklidiske rommet defineres som settet med alle punkter som følgende gjelder for: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0}$.

En "skrå" sirkel i kan defineres som settet med alle punkter som oppfyller følgende to polynomiske forhold: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0,}$

${\ displaystyle x + y + z = 0.}$

Affine varianter

Hvis det generelt er et felt og et sett med polynomer i variabler med koeffisienter i , er settet med nuller definert som delmengden som består av de vanlige nullene til polynomene i . Et slikt sett med nuller kalles en affinert variant . De affine variantene definerer en topologi på , kalt Zariski topologi . Som en konsekvens av Hilberts grunnleggende setning , kan hver sort defineres av bare endelig mange polynomiske ligninger. En variant kalles irredusible hvis det ikke er foreningen av to virkelige lukkede undergrupper. Det viser seg at en variasjon er irredusibel hvis og bare hvis polynomene som definerer den, genererer et hovedideal for polynomringen. Korrespondansen mellom varianter og idealer er et sentralt tema i algebraisk geometri. Man kan nesten gi en ordbok mellom geometriske termer, som variasjon, ikke-reduserbar, etc., og algebraiske termer, som ideal, primærideal osv. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle V (S)}$${\ displaystyle K ^ {n}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle K ^ {n}}$

En kommutativ ring kan assosieres med hver sort , den såkalte koordinatringen . Den består av alle polynomfunksjonene som er definert på sorten. De viktigste idealene til denne ringen tilsvarer de irredusible undervarianter av ; hvis den er algebraisk lukket , noe som vanligvis antas, tilsvarer punktene de maksimale idealene til koordinatringen ( Hilberts nullsetning ). ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle V}$

Projektivt rom

I stedet for å jobbe i affinert rom , beveger man seg vanligvis til prosjektivt rom . Den største fordelen er at antall kryss av to varianter lett kan bestemmes ved hjelp av Bézouts teorem . ${\ displaystyle K ^ {n}}$

I det moderne synet er korrespondansen mellom varianter og deres koordinatringer omvendt: man starter med en hvilken som helst kommutativ ring og definerer en tilhørende variant ved hjelp av dens viktigste idealer. Først konstrueres et topologisk rom fra de viktigste idealene , ringens spektrum . I sin mest generelle formulering fører dette til Alexander Grothendiecks ordninger .

En viktig klasse av varianter er de abelske variantene . Dette er projiserende varianter , hvis poeng danner en abelsk gruppe . De typiske eksemplene på dette er elliptiske kurver , som spiller en viktig rolle i beviset på Fermats store teori . Et annet viktig bruksområde er kryptografi med elliptiske kurver.

Algoritmiske beregninger

Mens abstrakte uttalelser om strukturen til varianter har blitt gjort i algebraisk geometri i lang tid, har det nylig blitt utviklet algoritmiske teknikker som tillater effektiv beregning med polynomiske idealer. De viktigste verktøyene er Gröbner-basene , som er implementert i de fleste av dagens datamaskinalgebra- systemer.

historisk oversikt

Algebraisk geometri ble i stor grad utviklet av de italienske geometrikerne på begynnelsen av det tjuende århundre. Arbeidet deres var grundig, men ikke på et tilstrekkelig grundig grunnlag. Den kommutativ algebra (som studiet av kommutative ringer og deres idealer) ble utviklet av David Hilbert , Emmy Noether også utviklet og andre i begynnelsen av det tjuende århundre. De hadde allerede de geometriske applikasjonene i tankene. På 1930- og 1940-tallet innså André Weil at algebraisk geometri måtte plasseres strengt, og utviklet en tilsvarende teori. På 1950- og 1960-tallet reviderte Jean-Pierre Serre, og spesielt Alexander Grothendieck, disse prinsippene ved bruk av Sheaves og senere ved bruk av ordningene . I dag er det mange veldig forskjellige delområder av algebraisk geometri, på den ene siden abstrakt teori i fotsporene til Grothendieck, på den andre siden områder der kombinatorikk og diskret matematikk brukes, som torisk geometri eller tropisk geometri .

Eksempler på affine varianter

• Kjeglesnitt
  • sirkel
  • ellips
  • parabel
  • overdrivelse
• Sett med røtter av tredjeordens polynomer
  • Kartesisk ark
  • Cissoids
  • Strofoider
• Setter av nuller av fjerde ordens polynomer
  • Conchoid
  • Pascal snegl

litteratur

• Karl-Heinz Fieseler, Ludger Kaup: Algebraisk geometri. Grunnleggende. Heldermann Verlag , Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3 .
• Alexander Grothendieck : Eléments de géométrie algébrique. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 0-387-05113-9 .
• Robin Hartshorne : Algebraisk geometri. Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9 .
• Klaus Hulek : Elementær algebraisk geometri. Vieweg / Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9
• Ernst Kunz : Introduksjon til algebraisk geometri. Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3 .
• Igor Shafarevich : Grunnleggende algebraisk geometri. Springer-Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-540-54812-2 .

weblenker

• @1@ 2Mal: Dead Link / www.aviduratas.de( Siden er ikke lenger tilgjengelig , søk i nettarkiver: Kommutativ algebra og algebraisk geometri ) (PDF; 1,8 MB) Skript
• @1@ 2Mal: Dead Link / planetmath.org( Siden er ikke lenger tilgjengelig , søk i nettarkiver : PlanetMath oversiktsartikkel )
• Septic med 99 kolon (engelsk)
• Dieudonne Den historiske utviklingen av algebraisk geometri , American Mathematical Monthly 1982
• Abhyankar Historical Ramblings in Algebraic Geometry and Related Algebra , American Mathematical Monthly 1976