Solid vinkel

Solid vinkel i en kule med radius R.${\ displaystyle W}$

Den faste vinkelen er den tredimensjonale motstykket til den todimensjonale vinkelen som er definert for planet . Den beskriver andelen av hele det tredimensjonale rommet som z. B. ligger inne i en gitt kjegle eller pyramidejakke .

definisjon

Det faste vinkel er definert som det område i et delvis område av en sfærisk overflate dividert med kvadratet av radien av den kule : ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {A} {r ^ {2}}}}$.

Når man vurderer enhetssfæren ( ) er den samme som den tilsvarende solid vinkelen. Så full solid vinkel er lik overflaten til enhetens kule, nemlig . ${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi}$

Delområdet kan ha hvilken som helst form. Vectorially skrevet som en overflate integral er

${\ displaystyle \ Omega = \ iint _ {F} {\ frac {{\ hat {\ vec {n}}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}} {r ^ {2}}} }$.

Det er den enhetsvektor fra opprinnelsen til koordinatene , differensialoverflateelementet og dets avstand fra origo. ${\ displaystyle {\ hat {\ vec {n}}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$${\ displaystyle r}$

I motsetning til hva bildet kan antyde, er ikke områdets form viktig. Hver omrissform på den sfæriske overflaten med samme område definerer en solid vinkel av samme størrelse. Hvis du putter en stråle gjennom hvert punkt av omrisset med sentrum av den sfæren som utgangspunkt, får du en geometrisk figur som illustrerer solid vinkel. Dette kan sammenlignes med representasjonen for en vinkel i planet : to halvlinjer med et felles utgangspunkt.

enheter

Selv om den faste vinkelen er en mengde av dimensjonstallet , blir den vanligvis gitt i enheten steradian (sr) for klarhet ; dette tilsvarer radianmål med enheten radian (rad) for en plan vinkel. En solid vinkel på 1 sr omslutter et område på 1 m ² på en kule med en radius på 1 m . Siden en hel sfærisk flate har det området , er den tilsvarende hele romvinkelen ${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi \ cdot r ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ cdot \ pi \ \ mathrm {sr} \ ca 12 {,} 56637 \ \ mathrm {sr}}$.

Noen ganger er solide vinkler også gitt i kvadratgrader , (°) ². 1 (°) ² er den samme . ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {360}} \ right) ^ {2} \ approx 0 {,} 00030462 \ \ mathrm {sr}}$

Bruken av en ekstra måleenhet for en mengde av dimensjonstallet har fordelen, som i mange områder, særlig også når det gjelder faste vinkler, at den anvendte enheten viser hvilken fysisk størrelse som menes. I motsetning til den lysstrøm (lm), den lysende intensitet (cd = lm / sr) viser avhengigheten av den faste vinkel gjennom forekomst av steradian i enheten. Lysintensiteten beskriver altså en lysstrøm som er avhengig av den faste vinkelen.

Representasjon med vektorer

Tre vektorer som starter fra et punkt P , og definerer en generell trekant . Følgende gjelder for den spente faste vinkelen med toppunkt P: ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {3}}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ Omega} {2}} \ right) = {\ frac {({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2 }, {\ vec {r}} _ {3})} {| {\ vec {r}} _ {1} | \ cdot | {\ vec {r}} _ {2} | \ cdot | {\ vec {r}} _ {3} | + ({\ vec {r}} _ {1} \ cdot {\ vec {r}} _ {2}) \ cdot | {\ vec {r}} _ {3} | + ({\ vec {r}} _ {1} \ cdot {\ vec {r}} _ {3}) \ cdot | {\ vec {r}} _ {2} | + ({\ vec {r }} _ {2} \ cdot {\ vec {r}} _ {3}) \ cdot | {\ vec {r}} _ {1} |}}}$.

Det er den triple produkt av vektorene , og , er det skalare produkt og er den lengden av vektoren. ${\ displaystyle ({\ vec {r}} _ {1}, {\ vec {r}} _ {2}, {\ vec {r}} _ {3})}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {3}}$${\ displaystyle ({\ vec {r}} _ {1} \ cdot {\ vec {r}} _ {2})}$${\ displaystyle | {\ vec {r}} _ {1} |}$

Denne representasjonen ble gitt og bevist i 1983 av Oosterom og Strackee.

Representasjon med sfæriske koordinater

En solid vinkel fra et kartesisk polarkoordinatsegment

Den faste vinkelen til en sfærisk trekant er steradian, avhengig av dens indre vinkler (se sfærisk trekant - egenskaper ). ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$

I et sfærisk koordinatsystem kan den faste vinkelen defineres tydelig, siden det ikke er noen radial variabel. To meridian vinkel , og to vidvinkel , bestemme et overflateelement på en sfærisk overflate . Den tilsvarende faste vinkelen er: ${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle \ Omega = \ int \ limits _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} \ int \ limits _ {\ gamma _ {1}} ^ {\ gamma _ {2}} \ sin (\ gamma) \ \ mathrm {d} \ gamma \ \ mathrm {d} \ varphi}$

Solid vinkel på en kjegle

Kanonisk solid vinkel

Velger du en sirkel som omrissform på den sfæriske overflaten , får du den kanoniske, faste vinkelen. Romvinkelen da danner mantelen av en rett, sirkulær konus , ved hvis spiss det midten av den kulen er plassert.

Hvis åpningsvinkelen er i toppen av kjeglen , er den faste vinkelen resultatet av den doble integralen${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin (\ theta ') \ \ mathrm {d} \ theta '\ \ mathrm {d} \ phi = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ phi \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin (\ theta') \ \ mathrm {d} \ theta '= 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int _ {0} ^ {\ theta} \ sin (\ theta') \ \ mathrm {d} \ theta '= 2 \ cdot \ pi \ cdot (- \ cos (\ theta) - (- \ cos (0))) \\ & = 2 \ cdot \ pi \ cdot (1- \ cos (\ theta)) = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ left ( 1- \ venstre (1-2 \ cdot \ sin ^ {2} \ venstre ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ høyre) \ høyre) \ høyre) \\ & = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ sin ^ {2} \ venstre ({\ tfrac {\ theta} {2}} \ høyre) \ slutt {justert}}}$

Åpningsvinkel i grader ${\ displaystyle 2 \ theta}$	0	1	2	5	10	15.	30.	45	57,2958
Åpningsvinkel i radianer ${\ displaystyle 2 \ theta}$	0,0000	0,0175	0,0349	0,0873	0,1745	0,2618	0,5236	0,7854	1.0000
Solid vinkel i kvadratgrader ${\ displaystyle \ Omega}$	0,00	0,79	3.14	19.63	78.49	176.46	702,83	1570.10	2525.04
Solid vinkel hos steradianer ${\ displaystyle \ Omega}$	0,0000	0,0002	0,0010	0,0060	0,0239	0,0538	0,2141	0.4783	0,7692
Åpningsvinkel i grader ${\ displaystyle 2 \ theta}$	60	65.5411	75	90	120	150	180	270	360
Åpningsvinkel i radianer ${\ displaystyle 2 \ theta}$	1.0472	1.1439	1.3090	1,5708	2.0944	2.6180	3.1416	4.7124	6.2832
Solid vinkel i kvadratgrader ${\ displaystyle \ Omega}$	2763.42	3282,81	4262,39	6041,36	10313,24	15287,95	20626.48	35211,60	41,252.96
Solid vinkel hos steradianer ${\ displaystyle \ Omega}$	0,8418	1.0000	1.2984	1,8403	3.1416	4,6570	6.2832	10,7261	12.5664

Solid vinkel på en pyramide

Til den faste vinkelen til en pyramide

Spesiell tilfelle av den faste vinkelen med en rektangulær og flat omriss tilsvarer den geometriske formen til en pyramide , og opprinnelsen er nøyaktig vinkelrett på midten av det flate rektangelet (se illustrasjon). Denne faste vinkelen oppstår z. B. ved beregning av middagen til optiske systemer med rektangulære blenderåpninger.

Det kan beregnes veldig enkelt ved hjelp av Oosterom og Strackee-formelen. Med pyramidebunnene og i tillegg til høyden h får vi: ${\ displaystyle w_ {x}}$${\ displaystyle w_ {y}}$

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {w_ {x} \ cdot w_ {y}} {2 \ cdot h \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + w_ {x} ^ {2} + w_ {y} ^ {2}}}}} til høyre$

Hvis de to åpningsvinklene og , hvor og er, brukes til beregningen , følger det etter noen få trigonometriske transformasjoner: ${\ displaystyle 2 \ cdot \ varphi _ {x}}$${\ displaystyle 2 \ cdot \ varphi _ {y}}$${\ displaystyle \ tan (\ varphi _ {x}) = {\ frac {w_ {x}} {2 \ cdot h}}}$${\ displaystyle \ tan (\ varphi _ {y}) = {\ frac {w_ {y}} {2 \ cdot h}}}$

${\ displaystyle \ Omega = 4 \ cdot \ arcsin \ left (\ sin (\ varphi _ {x}) \ cdot \ sin (\ varphi _ {y}) \ right)}$

Eksempler

En rektangulær blenderåpning foran en punktlyskilde begrenser lysstrålen til vinklene 45 ° ( ) og 20 ° ( ). Den faste vinkelen er 0,27 sr. ${\ displaystyle \ varphi _ {x} = 22 {,} 5 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ varphi _ {y} = 10 ^ {\ circ}}$

Hvis det er en firkantet blenderåpning og begge vinklene er 20 °, er den faste vinkelen 0,12 sr. Den kanoniske faste vinkelen på en 20 ° sirkulær blenderåpning er 0,10 sr.

Solid vinkel på et polyeder

Den faste vinkelen i hjørnet av et polyeder kan beregnes ved hjelp av L'Huiliers teorem.

For den faste vinkel i hjørnet med innvendige vinkler , , blir gjelder ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s}} {2}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {a}} {2}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {b}} {2}} \ høyre) \ cdot \ tan \ venstre ({\ frac {\ theta _ {s} - \ theta _ {c}} {2}} \ høyre)}} \ høyre) \ \ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta + \ gamma} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {- \ alpha + \ beta + \ gamma} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ alpha - \ beta + \ gamma} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ venstre ({\ frac {\ alpha + \ beta - \ gamma} {4}} \ høyre)}} \ høyre) \ slutt {justert}}}$

hvori , , og er. ${\ displaystyle \ theta _ {s} = {\ frac {\ alpha + \ beta + \ gamma} {2}}}$${\ displaystyle \ theta _ {a} = \ alpha}$${\ displaystyle \ theta _ {b} = \ beta}$${\ displaystyle \ theta _ {c} = \ gamma}$

Eksempler

Følgende faste vinkler er resultatet av halvvinkelformlene , addisjonssetningene for tangenten og ligningene , og . ${\ displaystyle 2 \ cdot \ arctan (x) = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ cdot x} {1-x ^ {2}}} \ right)}$${\ displaystyle \ arctan (x) = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}} \ høyre)}$${\ displaystyle \ arctan (x) = \ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}} \ right)}$

Vanlig tetraeder

En vanlig tetraeder har 4 hjørner , hver med 3 like innvendige vinkler på 60 °, fordi alle de 4 sideflatene er ensidige trekanter . Slik er det og ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 60 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} + 60 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {-60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ}} {4}} \ right)}} \ right) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan (45 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {3} (15 ^ {\ circ})}} \ høyre) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {1 \ cdot \ left ({\ frac {\ tan (30 ^ {\ circ})} {1 + {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} (30 ^ {\ circ})}}}} høyre) ^ {3} }} \ høyre) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ left ({\ frac {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} {1 + {\ sqrt {1+ \ left ( {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ høyre) ^ {2}}}}} høyre) ^ {3}}} \ høyre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ venstre ({ \ sqrt {(2 - {\ sqrt {3}}) ^ {3}}} \ right) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {26-15 \ cdot {\ sqrt {3}}}} \ right) = 2 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {5}} \ right) = \ arctan \ left ({\ frac {10 \ cdot {\ sqrt {2}}} {23}} \ høyre) \\ & = \ arcsin \ venstre ({\ frac {10 \ cdot {\ sqrt {2}}} {27}} \ r ight) = \ arccos \ left ({\ frac {23} {27}} \ right) \\ & \ approx 0 {,} 551285598 \ \ mathrm {sr} \ end {align}}}$

Firkantet pyramide

En rett firkantet pyramide har en kvadratisk og fire likesidete trekanter som sideflater , har har ved firkantet basis 4 hjørner med de indre vinklene , , . Følgende gjelder solid vinkel i disse 4 hjørnene ${\ displaystyle \ alpha = 60 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ beta = 60 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} + 90 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {-60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} -60 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {60 ^ {\ circ} +60 ^ {\ circ} -90 ^ {\ circ}} {4}} \ right)}} \ right) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan (52 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (7 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ høyre) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan (30 ^ {\ circ} +22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (30 ^ {\ circ } -22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ høyre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ( {\ sqrt {{\ frac {\ tan ^ {2} (30 ^ {\ circ}) - \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})} {1- \ tan ^ {2 } (30 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ høyre) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {{\ frac {\ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) ^ {2} - ({ \ sqrt {2}} - 1) ^ {2}} {1- \ left ({\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) ^ {2} \ cdot ({\ sqrt {2} } -1) ^ {2}}} \ cdot ({\ sqrt { 2}} - 1) ^ {2}}} \ høyre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ venstre ({\ sqrt {({\ sqrt {2}} - 1) ^ {4}}} \ høyre ) = 4 \ cdot \ arctan \ left (3-2 \ cdot {\ sqrt {2}} \ right) = 2 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ right ) = \ arctan \ left ({\ frac {4 \ cdot {\ sqrt {2}}} {7}} \ right) \\ & = \ arcsin \ left ({\ frac {4 \ cdot {\ sqrt {2 }}} {9}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {7} {9}} \ right) \\ & \ approx 0 {,} 6796738189 \ \ mathrm {sr} \ end {aligned} }}$

oktaeder

En oktaeder består av 2 kongruente rette firkantede pyramider , hver med en firkant og 4 ensidige trekanter som ansikter . Den faste vinkelen i de seks hjørnene av oktaederet - og i toppen av den firkantede pyramiden - er derfor dobbelt så stor som den faste vinkelen i de andre 4 hjørnene av den firkantede pyramiden og er

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 2 \ ganger 4 \ ganger \ arctan \ left (3-2 \ ganger {\ sqrt {2}} \ høyre) = 4 \ ganger \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ right) = 2 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {4 \ cdot {\ sqrt {2}}} {7}} \ right) = \ arctan \ venstre ({\ frac {56 \ cdot {\ sqrt {2}}} {17}} \ høyre) \\ & = \ arcsin \ left ({\ frac {56 \ cdot {\ sqrt {2}}} {81 }} \ høyre) = \ arccos \ venstre ({\ frac {17} {81}} \ høyre) \\ & \ ca. 1 {,} 3593476378 \ \ mathrm {sr} \ end {justert}}}$

prisme

Et rett prisme har hjørner med en hvilken som helst innvendig vinkel og to rette vinkler på 90 °, fordi den ytre overflaten av et rett prisme består av rektangler . Følgende gjelder den faste vinkelen i hjørnene ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {\ alpha +90 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}) } {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ venstre ({\ frac {- \ alpha +90 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ venstre ({\ frac {\ alpha -90 ^ {\ circ} +90 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ alpha +90 ^ {\ circ} - 90 ^ {\ circ}} {4}} \ right)}} \ right) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left (45 ^ {\ circ} + {\ frac {\ alpha} {4}} \ right) \ cdot \ tan \ left (45 ^ {\ circ} - {\ frac {\ alpha} {4}} \ right) \ cdot \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ alpha} {4}} \ right)}} \ right) = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left (45 ^ {\ circ} + {\ frac {\ alpha } {4}} \ høyre) \ cdot \ cot \ left (45 ^ {\ circ} + {\ frac {\ alpha} {4}} \ right) \ cdot \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {4}} \ right)}} \ right) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {4) }} \ høyre)}} \ høyre) = 4 \ cdot \ arctan \ venstre (\ tan \ venstre ({\ frac {\ alpha} {4}} \ høyre) \ høyre) = \ alpha \ ende {justert}} }$

Denne solide vinkelen har åpenbart samme andel i full solid vinkel som den innvendige vinkelen i den todimensjonale fullvinkelen . ${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi \ \ mathrm {sr}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 2 \ cdot \ pi}$

Avkortet oktaeder

Romfylling med kongruent avkortet oktaeder . I hvert hjørne møtes 4 avkortede oktaederer og danner en full solid vinkel.

En avkortet oktaeder har 24 hjørner , hvor en firkant og to vanlige sekskanter møtes. Hvert hjørne har så de indre vinklene , , og romvinkelen ${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ beta = 120 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ gamma = 120 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ} + 120 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {-90 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ} -120 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan \ left ({\ frac {90 ^ {\ circ} +120 ^ {\ circ} -120 ^ {\ circ}} {4}} \ right)}} \ right) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan (82 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (37 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ høyre) = 4 \ cdot \ arctan \ venstre ({\ sqrt {\ tan (60 ^ {\ circ} +22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan (60 ^ {\ circ } -22 {,} 5 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ høyre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left ( {\ sqrt {{\ frac {\ tan ^ {2} (60 ^ {\ circ}) - \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})} {1- \ tan ^ {2 } (60 ^ {\ circ}) \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ})}} \ cdot \ tan ^ {2} (22 {,} 5 ^ {\ circ} )}} \ høyre) = 4 \ cdot \ arctan \ venstre ({\ sqrt {{\ frac {({\ sqrt {3}}) ^ {2} - ({\ sqrt {2}} - 1) ^ { 2}} {1 - ({\ sqrt {3}}) ^ {2} \ cdot ({\ sqrt {2}} - 1) ^ {2}}} \ cdot ({\ sqrt {2}} - 1 ) ^ {2}}} \ høyre) \\ & = 4 \ cdot \ arctan \ left (1 \ right) = \ pi \ \ mathrm {sr} \ end {align}}}$

De faste vinklene i hjørnene av den avkortede oktaeder er derfor lik full solid vinkel. Dette resultatet blir bekreftet av det faktum at det tredimensjonale euklidiske rommet kan fylles fullstendig med kongruente avkortede oktaeder, hvorved 4 avkortede oktaeder møtes i hvert hjørne (se romfylling ). ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$

weblenker

Individuelle bevis

1. ^ A. Van Oosterom, J. Strackee: The Solid Angle of a Plane Triangle . I: Biomedisinsk ingeniørfag, IEEE Transactions on . BME-30, nei. 2 , 1983, s. 125-126 , doi : 10.1109 / TBME.1983.325207 . 
2. ↑ Oleg Mazonka: Solid vinkel på koniske overflater, polyhedrale kjegler og kryssende sfæriske kapsler
3. ^ Wolfram MathWorld: Sfærisk overflødig