sekskant

Vanlig sekskant

En sekskant eller sekskant [ hɛksaˈgoːn ] (fra gresk ἑξα , héxa , "seks" og γωνία , gonía , "vinkel; hjørne") er en polygon , bestående av seks hjørner og seks sider. Hvis alle seks sidene er like lange, snakker man om en likesidig sekskant. I tillegg, hvis alle vinklene i de seks hjørnene er like, kalles sekskanten vanlig eller vanlig .

Matematiske forhold

De underliggende forholdene til den vanlige sekskanten ble først beskrevet av Euclid i hans 15. matematiske teorem i 4. bok The Elements . Hvis de motsatte hjørnene av sekskanten er koblet sammen, er det seks liksidede trekanter . Hvis derimot alle ikke-motsatte hjørner er koblet til hverandre, oppnås et heksagram .

Formler

Matematiske formler for den vanlige sekskanten
Område	${\ displaystyle A = {\ frac {3 \ cdot {\ sqrt {3}}} {2}} \ cdot a ^ {2} \ approx 2 {,} 598 \ cdot a ^ {2}}$
Område	${\ displaystyle A = 2 \ cdot {\ sqrt {3}} \ cdot r_ {i} ^ {2} \ ca 3 {,} 464 \ cdot r_ {i} ^ {2}}$
Lengde på diagonalene	${\ displaystyle d_ {2} = 2 \ ganger r_ {i} = {\ sqrt {3}} \ ganger a \ ca 1 {,} 732 \ ganger a}$
Lengde på diagonalene	${\ displaystyle d_ {3} = 2 \ cdot r_ {u} = 2 \ cdot a}$
Sirkelradius eller en halv skiftenøkkelstørrelse	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ cdot a \ approx 0 {,} 866 \ cdot a}$
Omkretsradius	${\ displaystyle r_ {u} = a}$
Innvendig vinkel	${\ displaystyle \ alpha = 120 ^ {\ circ}}$

Konstruksjon for en gitt omkrets

En regulær sekskant kan lett representeres som en konstruksjon med kompass og linjal fra en sirkel ved plotting av radien av den sirkel seks ganger på kanten av sirkelen (se konstruksjon 1). De oppnådde punkter er hjørnene av sekskanten. Alternativt, ifølge Euclid, er det tilstrekkelig å fjerne det to ganger på kanten av sirkelen. De manglende hjørnene kan så konstrueres ved hjelp av de rette linjer gjennom senteret av den omkrets og de allerede kjente hjørner (se konstruksjon 2 i henhold til Euclid, som en animert grafisk).

Konstruksjon 1
Konstruksjon 2 ifølge Euclid, som en animert grafikk

Konstruksjon av en sekskant med kompass og linjal

Konstruksjon for en gitt sidelengde

Konstruksjon av en sekskant med en gitt sidelengde

En vanlig sekskant kan også konstrueres hvis en eksisterende linje skal brukes som sidelengde .

Angi sluttpunktene for ruten med A og B.
Tegn en bue rundt punkt A med radius AB .
Tegn en bue rundt punktet B med radien AB , krysspunktet M resulterer, sentrum av den senere omkretsen .
Tegn en sirkel rundt punktet M med radiusen AM , dette er omkretsen av den senere sekskanten.
Merk avstanden AB fra punkt B fire ganger med kompasset på omkretsen.
Koble de nærliggende hjørnepunktene med hverandre, dette resulterer i sekskanten ABCDEF.

Omtrentlig konstruksjon

Omtrentlig konstruksjon av en sekskant

En tilnærming til en vanlig sekskant, som ofte er tilstrekkelig for praktiske formål, oppnås hvis sekskanten er konstruert av tilnærmet ensidige trekanter , som har et høyde-til-grunnforhold på 7: 8. Denne tilnærmingen brukes der en feil på litt under 1% kan tolereres. For eksempel kan kart eller spillefelt deles inn i sektorer som er enkle å tegne og enkle å beregne.

Punktene P _i (x | y) er nummerert i det følgende i samsvar med sifrene i en klokke, er sentrum (0 | 0):

Koordinater for en liggende sekskant
P ₁ (4 | 7), P ₃ (8 | 0), P ₅ (4 | −7), P ₇ (−4 | −7), P ₉ (−8 | 0), P ₁₁ (−4 | 7)
Koordinater for en invertert sekskant
P ₂ (7 | 4), P ₄ (7 | −4), P ₆ (0 | −8), P ₈ (−7 | −4), P ₁₀ (−7 | 4), P ₁₂ (0 | 8.)

En bedre tilnærming oppnås ved å erstatte tallene 4, 7 og 8 i koordinatene ovenfor med henholdsvis 15, 26 og 30. Ytterligere mulige tripler er (56, 97, 112) eller (209, 362, 418). I alle disse trippene avviker trekantene dannet fra de tilsvarende sidelengdene bare veldig lite fra en rettvinklet trekant med spisse vinkler på 30 ° og 60 °. Ytterligere trekanter av denne typen kan bli funnet iterativt ved å danne de nye katetene fra "katetene" og (med ) en allerede kjent slik trekant . "Hypotenusen" er alltid dobbelt så kort katetus på grunn av 30 ° egenskapen. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a <b}$ ${\ displaystyle 2a + b, 3a + 2b}$

Sekskantet flislegging

Flislegging med sekskanter

I tillegg til den ligesidige trekanten og diamanten (med firkanten som et spesielt tilfelle), er den vanlige sekskanten den eneste ligesidige polygonet som et plan kan flislegges uten hull. I motsetning til flislegging med trekanter eller romber, har den enkelte polygon i en sekskantet flis bare naboer som er forbundet med komplette kanter, men ingen som bare er forbundet med hjørner eller kantdeler. Den avstand mellom de sentrene for to direkte tilstøtende sekskanter er

{\ displaystyle 2 \ cdot r_ {i} = {\ sqrt {3}} \ cdot a}

Muligheten for å danne sekskantet flislegging er en grunn til at sekskanter er vesentlig vanligere enn vanlige femkanter , heptagoner og høyere polygoner.

3-6-3-6
3-3-3-3-6 (to speilversjoner)
3-4-6-4
4-6-12

Tallene under figurene viser hvor mange hjørner de vanlige polygonene har, som hver møtes på et punkt . De indre vinklene legge opp til 360 °.

Polyhedron med vanlige sekskanter

Noen polyedre har regelmessige sekskanter som ansikter , for eksempel den avkortede tetraeder , den avkortede oktaeder , den store rombiske kuboktaeder , den avkortede ikosaeder og den store rombikosidodekaeder . Polyederene som er nevnt, er arkimediske faste stoffer .

Avkortet tetraeder
Avkortet oktaeder
Stor diamant cuboctahedron
Avkortet icosahedron (fotball kropp)
Stor rhombicosidodecahedron

Forekomst av sekskanter og sekskantede strukturer

Sekskantet krystallstruktur av grafitt

Vanlige sekskanter er vanlige innen kunst, kultur, natur og teknologi. Den følgende listen viser bare noen få eksempler.

natur

Snøkrystaller, fotografert av snøforsker Wilson Bentley

honningkake

Honeycomb : Den sekskantede formen på veggene gir et optimalt forhold mellom veggmateriale og volum og gir høy stabilitet. Det er i utgangspunktet som en sammenkobling av sirkulær form med fordelene, men uten å etterlate ubrukte mellomrom.
På grunn av de elektron-baner , kovalente bindinger i et molekyl ofte danner 120 ° vinkel med hverandre, som er til stede i en likesidet sekskant, noe som betyr at sekskantede molekylære former er spesielt stabile og sekskantede ringer eller molekylformer ofte forekommer.
Krystallstrukturer : Mange krystaller danner sekskantede former . Velkjente eksempler er naturlig ( vann ) is og seks-spisse snøfnugg , siden hydrogenatomene i vannmolekylet også danner en vinkel på omtrent 120 ° i forhold til oksygenet.
I krystallstrukturen til grafitt danner karbon plane overflater som består av sekskanter. Andre elementære former for karbon - grafen , fullerener og karbonnanorør - består også av seksleddede ringer, muligens litt buede.
En viktig grunnleggende struktur for organiske molekyler er den ( aromatiske ) benzenringen , som danner en vanlig sekskant med karbonatomer som hjørnepunkter. I motsetning til en alifatisk hydrokarbonring som cykloheksan , danner benzen til og med en flat sekskant når den sees romlig.
Når den sakte stivner, danner basalt ofte meter lange sekskantede søyler.
Når det gjelder overflødighet av væsker: arrangement av kvantiserte mekaniske virvler
Nordpolen til planeten Saturn er sentrum for en stabil atmosfærisk struktur i form av en nesten vanlig sekskant . Den har en diameter på nesten 25.000 kilometer.
Konveksjonscellene i Bénard-eksperimentet kan utvikle seg som vanlige sekskanter.
Stedcellene i hippocampus , som koder for et dyrs posisjon i det romlige miljøet, kan representeres som hjørnepunkter på sekskanter.
The Winter Hexagon er en konstellasjon som skjer for å danne en uregelmessig sekskant sett fra Jorden.

Kunst og kultur

Luftfoto av Fort Jefferson i Florida Keys

Kapell med en sekskantet base på Comburg

I arkitekturen, maleriet og grafikken til jødedommen og kristendommen, er bruken av sekskanten basert på symbolikken til tallet 6 , hvis betydning er resultatet av summen av de tre første tallene (1 + 2 + 3) og deres antall symbolikk. De og dermed den likesidige sekskanten symboliserer Guds allmakt i begge religioner. Men de står også for balanse og harmoni mellom det guddommelige og det verdslige, som også ligger i liksidigheten til sekskanten og dens sammensetning av seks imaginære eller geometrisk synlige ensidige trekanter, dvs. inneholder også symbolikken til tallet 3. Avhengig av sammenhengen kan tallet 6 og sekskanten også være symboler på det seks dager lange skapelsesverket ( Genesis ).

Et eksempel fra det kristne maleriet fra senmiddelalderen er det sekskantede bordet i " Paradiesgärtlein " av Øvre Rhin-mesteren (rundt 1410; Frankfurt, Städelsches Kunstinstitut): Det dominerer bildet med lyse farger i form og symbolsk kraft av sekskant og er en avgjørende faktor for å forstå bildet som også understrekes av dets rolle i sammensetningen av bildet .

Ytterligere eksempler på bruk av sekskanten, men bare av begrenset symbolsk betydning:

Arkitektur : I mange kulturer er sekskanten et grunnleggende element i utformingen av vinduer, fliser og mosaikker . Eksempler er freskomalerier på katedralen i Pisa eller veggelementer i noen bygninger i Pompeii ; Glastonbury Abbey ligger også i en (tenkt) sekskant. I den private villaen Kentuck Knob av arkitekten Frank Lloyd Wright , er sekskanten det kontinuerlige konstruksjonsprinsippet, Lantern Tower i Skottland hever seg over en sekskantet planløsning, det samme er Muses tempel i Tiefurt Castle Park i Thuringia, så vel som Zörbig vanntårn i Sachsen-Anhalt. Flere sekskanter danner planløsningen til Rank-Xerox-Haus i Düsseldorf .

MC Escher : Mange av hans mosaikkvariasjoner er basert på sekskanter.
Frankrike : På grunn av sin omtrent sekskantede form er Frankrikes territorium på fastlands-Europa også kjent som l'hexagone . Derfor, på baksiden av de franske 1 og 2 euromyntene, er det et stilisert tre i en sekskant, og marskalk av Frankrike bærer sine syv stjerner på skulderbitene ordnet i en sekskant.
Musikkelektronikk: De første kommersielle elektroniske trommesettene fra det britiske selskapet Simmons hadde sekskantet form.

teknologi

Allen skrue

Hodene til skruene er ofte sekskantet, enten som en utvendig sekskant eller en innvendig sekskant ( Allen ). Også sekskantmuttere er vanlige.
Et sandwichpanel med en bikakekjerne , dvs. en komposittstruktur med en kakeformet støttekjerne, brukes i konstruksjoner som krever høy styrke med lav vekt eller materialforbruk.
Støttestrukturer til mange 3D-skrivere som er basert på Fused Deposition Modeling- prosessen kan skrives ut i mange modeller som en bikakestruktur, som i likhet med sandwichkonstruksjonen nevnt ovenfor kombinerer høy stabilitet med lav vekt og filamentforbruk.

Spill

I mange spill , spesielt konfliktsimuleringsspill , består spillbrettet av et sekskantet rutenett . Dette betyr at blant annet avstander mellom to felt lettere kan bestemmes enn med et firkantet rutenett (for eksempel et sjakkbrett). Spillet The Settlers of Catan er spesielt fremtredende her , der både selve spillbrettet og de enkelte landskapsflisene er sekskantede.

Se også

weblenker

Wiktionary: Hexagon - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Commons : Hexagons - samling av bilder, videoer og lydfiler

Mathworld (engelsk)
Polygon, Tiling & Sacred Geometry - illustrerte eksempler på sekskanter i kunst og arkitektur (engelsk)

Notater og individuelle referanser

^ Johann Friedrich Lorenz : Euclids elementer, femten bøker . Red.: I forlaget til bokhandelen des Waysenhauses. Hall 1781, S. 65 ff . ( Euclid's Elements, Fourth Book, The 15. Movement. , In a given circle, ABCDEF, for å beskrive en likesidet og likevektig sekskant. [Besøkt 17. juni 2017]).
↑ Dr. Christian Wolf: Ønsket og funnet: Orienteringsceller 2014 se Strange Pattern and Mental Coordinate System . Hentet 17. juni 2017.

[1] Johann Friedrich Lorenz : Euclids elementer, femten bøker . Red.: I forlaget til bokhandelen des Waysenhauses. Hall 1781, S. 65 ff . ( Euclid's Elements, Fourth Book, The 15. Movement. , In a given circle, ABCDEF, for å beskrive en likesidet og likevektig sekskant. [Besøkt 17. juni 2017]).

[2] Dr. Christian Wolf: Ønsket og funnet: Orienteringsceller 2014 se Strange Pattern and Mental Coordinate System . Hentet 17. juni 2017.

Languages