sirkel

Sirkel med senter M og radius r

En sirkel er en flat geometrisk figur . Det er definert som settet med alle punkter i et plan som er i konstant avstand fra et gitt punkt på dette planet ( midtpunktet ). Avstanden mellom punktene på sirkelen til sentrum av radius eller radius av sirkelen, det er et positivt reelt tall . Sirkelen er en av de klassiske og grunnleggende objektene til den euklidiske geometrien .

I det vanlige brukes ofte begrepet sirkel for å beskrive et sirkulært område eller en rund plate .

Den gamle egypterne og babylonerne forsøkt å bestemme den delen av sirkelen rundt. I antikkens Hellas vakte sirkelen interesse på grunn av sin perfeksjon. Archimedes forsøkte uten hell å konvertere sirkelen til en firkant med samme område ved hjelp av kompass- og linjalverktøyene for å kunne bestemme sirkelområdet (se kvadrat sirkelen ). Først i 1882 var Ferdinand von Lindemann i stand til å demonstrere ved å demonstrere en spesiell egenskap for sirkelenummeret at denne oppgaven var uløselig.

Forklaringer på ord

Sirkulære områder

I følge definisjonen nevnt i begynnelsen er en sirkel en kurve , dvs. en endimensjonal struktur, og ikke en todimensjonal overflate . Siden ordet “sirkel” ofte brukes upresist for det lukkede området, brukes begrepene sirkel linje, sirkelkant eller sirkel periferi ofte i stedet for sirkel - i motsetning til sirkelområdet eller sirkulær disk. Matematikere skiller deretter mellom det lukkede sirkulære området eller platen og den åpne (eller innsiden av en sirkel ), avhengig av om den sirkulære linjen tilhører den eller ikke.

Bue, sene, sektor, segment og ring

En tilkoblet delmengde av sirkelen (dvs. den sirkulære linjen) er en bue . En linje som forbinder to punkter på den sirkulære linjen kalles en sirkulær akkord . Hver akkord har to buer. De lengste senene i sirkelen er de som går gjennom midtpunktet, dvs. diametrene . De tilknyttede buene kalles halvsirkler. Hvis akkorden ikke har en diameter, har buene forskjellige lengder.

En sektor av en sirkel (seksjon av en sirkel) er et område avgrenset av to radier og en bue mellom dem. Hvis de to radiene danner en diameter, blir sektoren også referert til som en halvcirkel.

Sirkelsegmenter (sirkelsegmenter) er omsluttet av en bue og en akkord.

En sirkelring opprettes når du kutter en mindre sirkel med samme midtpunkt ut av en sirkel.

Tangent, forbipasserende og sekant

Det er tre muligheter for posisjonen til en rett linje i forhold til en gitt sirkel:

Forholdet mellom sirkel og tangent , forbipasserende og sekant
  • Hvis avstanden mellom sentrum og rett linje er mindre enn sirkelens radius, har sirkelen og rett linje to (forskjellige) skjæringspunkter, og den rette linjen kalles en secant (Latin secare = å kutte). Noen ganger blir spesialtilfellet til en sekant som går gjennom sentrum av en sirkel referert til som sentrum.
  • Hvis avstanden mellom midtpunktet og den rette linjen tilsvarer radiusen, er det nøyaktig ett felles punkt. Det sies at den rette linjen berører sirkelen, og den rette linjen kalles en tangens (Latin tangere = å berøre). En tangens er vinkelrett ( ortogonal , normal) til den tilsvarende radien ved kontaktpunktet .
  • Hvis avstanden mellom sentrum av sirkelen og den rette linjen er større enn sirkelens radius, har sirkelen og den rette linjen ikke noe punkt til felles. I dette tilfellet kalles den rette linjen en forbipasserende . Dette navnet har ingen direkte latinsk opprinnelse, men er sannsynligvis avledet fra fransk. eller ital passante = dannet av folk som går forbi. Den latinske roten er passus = trinn.

Formell definisjon

En sirkel med senter , radius og diameter .

I et plan er en sirkel med et senter og en radius settet med punkter

Radien er et positivt reelt tall og angir lengden på ruten .

Den doble radiusen kalles diameter og blir ofte referert til som. Radius og diameter er koblet gjennom forholdene eller med hverandre.

Noen ganger kalles hver linje som forbinder midtpunktet med et punkt på den sirkulære linjen en radius , og hver linje som går gjennom midtpunktet og begge endepunktene er på den sirkulære linjen, kalles en diameter. På denne måten sett, er antallet av lengden av hver radius og antallet er lengden av hver diameter.

Det åpne sirkulære området er formelt definert som sett med punkter

den lukkede sirkulære skiven som

historie

I teknikken gjør sirkulær form av hjulet hjulet , rullende bevegelse.

Egypternes og babylonernes tid

Fragment of the Rhind papyrus
Tilnærming til det sirkulære området i Rhind-papyrus, figuren ovenfor tolkes som en uregelmessig åttekant, under beregningstrinnene ved bruk av eksemplet d = 9 ( Chet ).

Sammen med punktet og den rette linjen er sirkelen et av de eldste elementene i pre-gresk geometri. For fire tusen år siden studerte egypterne det i geometri-studiene. De var i stand til å tilnærme arealet av en sirkel ved å trekke en niendedel av lengden fra diameteren d og multiplisere resultatet med seg selv. Så du gjorde matte

og dermed omtrent (med et avvik på bare ca + 0,6%) arealet til et sirkulært område. Denne tilnærmingen ble funnet i den gamle egyptiske avhandlingen Papyrus Rhind , den kan oppnås hvis sirkelen tilnærmes av en uregelmessig åttekant.

Babylonerne (1900 til 1600 f.Kr.) brukte en helt annen metode for å beregne arealet på den sirkulære skiven. I motsetning til egypterne startet de fra omkretsen , som de anslår å være tre ganger diameteren på sirkelen . Området ble da estimert til å være en tolvtedel av kvadratet av omkretsen, altså

et vesentlig dårligere resultat med et avvik på -4,5%.

Babylonerne behandlet også segmenter av en sirkel. Du kan beregne akkordlengden eller høyden på segmentet til en sirkel (linjen vinkelrett på akkordens sentrum mellom akkord og omkrets). Med dette etablerte de akkordgeometrien , som senere ble utviklet av Hipparchus og som Claudius Ptolemaios plasserte i begynnelsen av sin astronomiske lærebok Almagest .

Antikken

Tittelside til Henry Billingsleys engelske oversettelse av elementene (1570)

Grekerne blir for det meste sett på som grunnleggerne av naturvitenskapen. Thales of Miletus (624-546 f.Kr.) regnes som den første store filosofen i denne tiden som handlet om matematikk . Han tok med seg kunnskap om geometri fra Egypt til Hellas, som påstanden om at diameteren halverer sirkelen. Andre uttalelser om geometri kom fra Thales selv. Setningen , oppkalt i dag etter Thales, sier at perifere vinkler i en halvcirkel er rette vinkler . Spesielt var Thales den første til å bruke konseptet med vinkelen .

Den første kjente definisjonen av sirkelen går tilbake til den greske filosofen Platon (428 / 427-348 / 347 f.Kr.), som han formulerte i sin dialog Parmenides :

"Det er sannsynligvis rundt, hvis ytterste deler er overalt i samme avstand fra sentrum."

- Platon: Parmenides

Den greske matematikeren Euklid av Alexandria levde rundt 300 år før Kristus . Lite er kjent om ham selv, men hans arbeid innen geometri var betydelig. Hans navn er fortsatt i bruk i dag i sammenhenger som det euklidiske rommet , den euklidiske geometrien eller den euklidiske metrikken . Hans viktigste arbeid var The Elements , en tretten bind avhandling der han oppsummerte og systematiserte aritmetikken og geometrien i sin tid. Han trakk de matematiske utsagnene fra postulater og grunnla dermed den euklidiske geometrien. Det tredje volumet av elementene handlet om sirkelens læresetning.

Fra Archimedes , som sannsynligvis bodde mellom 287 f.Kr. F.Kr. og 212 f.Kr. BC bodde på Sicilia, en detaljert avhandling med tittelen Circular Measurement har kommet ned til oss. I dette arbeidet beviste han at arealet til en sirkel er lik arealet til en rett trekant med sirkelradiusen som den ene og omkretsen som det andre benet . Sirkelområdet kan gis som ½ · radius · omkrets . Med denne kunnskapen spores han problemet med å kvadre sirkelen tilbake til spørsmålet om omkretsen kunne konstrueres fra den gitte radiusen.

I sin papir krets måle Archimedes kan også vise at omkretsen av en sirkel som er større enn 3 10 / 71 og mindre enn 3 Anmeldelse for 1. / 7 av diameteren. For praktiske formål, er dette tilnærmet 22 / syv (~ 3,143) fortsatt brukes i dag.

Fra disse to utsagnene konkluderer det at arealet av en sirkel nesten like med kvadratet av dens diameter 11 / 14 oppfører seg. Euklid visste allerede at arealet til en sirkel er proporsjonalt med firkanten av diameteren. Archimedes gir en god tilnærming til proporsjonalitetskonstanten her.

I et annet arbeid på spiraler beskriver Archimedes konstruksjonen av den arkimediske spiralen som senere ble oppkalt etter ham . Med denne konstruksjonen var det mulig for Archimedes å plotte omkretsen av en sirkel på en rett linje. På denne måten kunne området til en sirkel nå bestemmes nøyaktig. Imidlertid kan denne spiralen ikke konstrueres med et kompass og linjal.

Apollonios von Perge levde omtrent 200 år før Kristus. I sin koniske seksjonsteori Konika forsto han blant annet ellipsen og sirkelen som skjæringspunktet mellom en rett sirkulær kjegle - akkurat slik den fremdeles er definert i dag i algebraisk geometri . Hans funn går tilbake til forgjengerne Euclid og Aristaios (rundt 330 f.Kr.), hvis skriftlige avhandlinger om kjeglesnitt imidlertid ikke har overlevd.

Det apollinske problemet er oppkalt etter Apollonios av å konstruere sirkler som berører de gitte sirkler med den euklidske verktøy linjal og kompass for tre gitte sirkler. Imidlertid sammenlignet med Euklids elementer, som også dannet grunnlaget for geometri i middelalderen, fant Apollonios 'verk først utgangspunktet bare oppmerksomhet i den islamske sfæren. I Vest-Europa ble bøkene hans bare viktigere på 1600-tallet, da Johannes Kepler anerkjente ellipsen som den sanne bane til en planet rundt solen.

Renessanse

I vitenskapshistorien kalles vanligvis perioden mellom 1400 og 1630 AD renessansen , selv om perioden ikke for eksempel tilsvarer periodiseringen av kunsthistorien. I løpet av denne tiden fikk elementene til Euclid mer oppmerksomhet igjen. De var blant de første trykte bøkene og ble utgitt i mange forskjellige utgaver i århundrene som fulgte. Erhard Ratdolt produserte den første trykte utgaven av elementene i Venezia i 1482 . En av de viktigste utgavene av Euclid's Elements ble utgitt av jesuitten Christoph Clavius . I tillegg til de sene antikke bøkene XIV og XV, la han til en sekstende bok og andre omfattende tillegg til de faktiske tekstene til Euclid. For eksempel la han til en konstruksjon av de vanlige tangentene i to sirkler.

1800-tallet

Ferdinand von Lindemann

Etter forarbeid av Leonhard Euler , som etablerte Eulers identitet , Johann Heinrich Lambert og Charles Hermite , var Ferdinand von Lindemann i 1882 i stand til å bevise at tallet er transcendent . Det vil si at det ikke er noen polynomfunksjon med rasjonelle koeffisienter der π er null. Siden det ble vist allerede på 1600-tallet at sirkelnummeret måtte være et null av en slik polynomfunksjon for at kvadraturen til sirkelen skulle fungere med kompasser og linjal, ble det også bevist at det ikke kan være noen slik prosedyre.

Ligninger

I analytisk geometri blir geometriske objekter beskrevet ved hjelp av ligninger . Poeng i planet er vanligvis representert av deres kartesiske koordinater, og en sirkel er da settet med alle punkter som koordinatene tilfredsstiller den respektive ligningen.

Koordinatligning

Den euklidiske avstanden til et punkt fra punktet beregnes som

Koordinatligningen blir oppnådd ved å kvadrere den definerende ligningen

for punktene på sirkelen med midtpunkt og radius . Når det multipliseres, resulterer dette i:

med

,     og   .

Et viktig spesialtilfelle er koordinatligningen til enhetssirkelen

Funksjonsligning

Siden sirkelen ikke er en funksjonsgraf , kan den ikke representeres av en funksjonsligning . Som en provisorisk, et par funksjonelle ligninger

bli brukt. For enhetssirkelen er dette forenklet til

Parametrisk representasjon

En annen måte å beskrive en sirkel på ved hjelp av koordinater er å bruke parametervisningen (se også polarkoordinater ):

Her koordinater og er uttrykt ved parameter som kan anta alle verdier .

Hvis man også bruker disse ligningene spesielt på enhetssirkelen, oppnår man:

Det er også mulig å vise parametere uten å benytte seg av en trigonometrisk funksjon (rasjonell parameterisering), men hele settet med reelle tall kreves som parameterområde, og punktet oppnås bare som en grenseverdi for .

Følgende resultater for enhetssirkelen:

Kompleks representasjon

I det komplekse tallplanet kan sirkelen rundt med radius beskrives av ligningen

representere. Parameterrepresentasjonen oppnås ved hjelp av den komplekse eksponensielle funksjonen

Trepunktsform av en sirkulær ligning

Koordinatligningen til sirkelen ved hjelp av tre spesifiserte punkter som ikke er på en rett linje, oppnås ved å transformere 3-punktsformen (fjerning av nevneren og kvadratisk tillegg):

Sirkel gjennom tre punkter

Fra trepunktsformen og koordinatligningens resultater for sirkelen gjennom tre gitte punkter med

og determinantene

for midtpunktet og radiusen

Hvis de tre gitte poengene ligger på en rett linje, da .

Sirkelberegning

Omkrets av sirkelen med d = 1

Sirkelnummer

Siden alle sirkler er like , er forholdet mellom omkrets og diameter konstant for alle sirkler. Den numeriske verdien av dette forholdet brukes i elementær geometri som en definisjon for antall sirkler . Dette er et transcendent tall som også har vist seg å være av enestående betydning i mange områder av høyere matematikk.

omfang

I sammenheng med elementær geometri er forholdet mellom omkrets og diameter for enhver sirkel. Og dermed

Med menes sirkelens radius.

Sirkulært område

Tegningen viser at arealet til en sirkulær disk må være mindre enn .
Representasjon av en tilnærming for det sirkulære området

Den delen av det sirkulære område ( lat. Område: område) er proporsjonal med kvadratet av radien , eller diameteren av sirkelen. Det er også kjent som innholdet i en sirkel.

For å oppnå formelen for sirkelinnholdet er det viktig å ta hensyn til grenseverdier . Dette kan sees ganske tydelig fra tegningen til høyre:

Sirkelområdet har samme nedbrytning som området til figuren til høyre. Når sektorinndelingen blir finere, tilnærmes dette et rektangel med lengde og bredde . Arealformelen er altså

Områdeformelen kan bevises, for eksempel ved å integrere den sirkulære ligningen eller bruke tilnærmingen beskrevet nedenfor ved bruk av vanlige polygoner.

diameter

Diameteren på en sirkel med areal og med radius kan føres gjennom

regne ut.

krumning

En mindre elementær egenskap for sirkelen sammenlignet med mengdene som er beskrevet hittil, er krumningen . For en presis definisjon av krumningen er det nødvendig med termer fra analyse , men det kan beregnes enkelt på grunn av sirkelens symmetriegenskaper. Krumningen på hvert punkt indikerer tydelig hvor mye sirkelen avviker fra en rett linje i umiddelbar nærhet av punktet . Sirkelens krumning på punktet slipper gjennom

Beregn, igjen som sirkelens radius. I motsetning til andre matematiske kurver , har sirkelen samme krumning på hvert punkt. Bortsett fra sirkelen, er det bare den rette linjen som har en konstant krumning, med . For alle andre kurver avhenger krumningen av poenget .

Flere formler

I følgende formler betegner sektorvinkelen i radianer . Hvis vinkelen angir i grader , gjelder konverteringen .

Formler for sirkelen
Område av en sirkulær ring
Lengde på en bue av en sirkel
Område sirkulær sektor
Område i et segment av en sirkel
Lengde på sirkulær sene
Høyde (sirkelsegment)

Omtrentlige arealer

Siden sirkelnummeret er et transcendent tall , er det ingen konstruksjonsmetode med kompasser og linjal som man kan bestemme området nøyaktig med. I tillegg er transcendente tall også irrasjonelle , og har derfor ingen endelig utvidelse av desimalfraksjoner , og derfor har sirkelområdet med en rasjonell radius heller ingen endelig utvidelse av desimalfraksjoner. Av disse grunner har forskjellige tilnærmingsmetoder for området og dermed også sirkelens omkrets blitt utviklet til i dag. Noen av tilnærmingsmetodene, slik som metoden som er forklart i avsnittet Tilnærming ved hjelp av polygoner , kan gi et vilkårlig presist resultat ved gjentatt repetisjon.

Tilnærming etter ruter

En sirkel med en radius er begrenset med en firkant på lengden på siden . Et kvadrat med diagonalen er også innskrevet på den. Arealet av den ytre kvadratet er det i det indre en i henhold til den triangelformede området formel og den midlere verdi er således . Med denne tilnærmingen bestemmes det sirkulære arealet med en relativ feil på mindre enn 5%.

Teller i et rutenett

Det sirkulære området kan tilnærmes ved å plassere mange små firkanter under det (f.eks. Med grafpapir ). Hvis du teller alle rutene som ligger helt innenfor sirkelen, får du en verdi som er litt for lav for området, hvis du også teller alle rutene som bare krysser sirkelen, er verdien for stor. Gjennomsnittsverdien for begge resultatene gir en tilnærming for sirkelarealet, hvis kvalitet øker med finheten i kvadratgitteret.

Sirkelområdeintegrasjon

Tilnærming gjennom integrasjon

Sirkelområdet kan bestå av strimler som er veldig smale i forhold til radiusen . Ligningene brukes til dette

og .

Tilnærming med polygoner

Tilnærming til omkretsen via en sekskant og en dodecagon

En annen måte å bestemme arealet til en sirkel på er å tegne en vanlig sekskant i sirkelen , hvis hjørner ligger på sirkelen. Hvis midten av sidene projiseres fra midten til sirkelen og disse nye punktene er forbundet med de gamle hjørnene, opprettes en vanlig dodecagon . Hvis denne prosessen gjentas, opprettes et 24-hjørne, et 48-hjørne og så videre etter hverandre.

I hver sekskant er sidene like lange som omkretsradiusen. Sidene til de følgende polygonene kommer fra sidene til den forrige ved hjelp av den pythagoreiske teoremet . Områdene til polygonene kan bestemmes nøyaktig fra sidene ved å beregne trekantede områder . De er alle litt mindre enn det sirkulære området, som de nærmer seg når antall hjørner øker.

Det samme kan gjøres med en sekskant som er tegnet på utsiden av sirkelen, med midten av sidene som ligger på den. Det oppnås en avtagende sekvens av arealdimensjoner, hvis grenseverdi igjen er det sirkulære området.

Geometriske setninger og termer rundt sirkelen

Symmetri og bildebehandling

Sirkelen er en geometrisk figur med veldig høy symmetri . Hver rette linje gjennom sentrum er en symmetriakse . I tillegg er sirkelen rotasjonssymmetrisk , dvs. Det vil si at hver rotasjon rundt midtpunktet kartlegger sirkelen på seg selv. I gruppeteori er de nevnte symmetriegenskapene til sirkelen preget av dens symmeturgruppe . Formell oppstår for den ortogonale gruppe som er gruppen av de ortogonale - matriser .

Alle sirkler med samme radius er kongruente til hverandre , slik at de kan kartlegges til hverandre ved hjelp av parallelle skift. Eventuelle to sirkler er like hverandre . De kan alltid kartlegges til hverandre ved hjelp av en sentrisk strekning og et parallelt skifte.

Sirkelvinkler og vinkelsett

Sirkulær vinkel : Omkretsvinkelen avhenger ikke av posisjonen til punkt C på sirkelbuen . Det er halvparten av størrelsen på den sentrale vinkelen og samme størrelse som senetangensvinkelen .

Et akkord med endepunktene A og B deler en gitt sirkel i to buer. En vinkel med toppunkt C på en av de sirkulære buene kalles en omkretsvinkel eller perifer vinkel . Den vinkel med toppunkt på midten M kalles den midten vinkel eller sentral vinkel.

I det spesielle tilfellet at akkorden inneholder midtpunktet, dvs. er en diameter på sirkelen, er midtpunktvinkelen en rett vinkel på 180 °. I denne situasjonen gjelder en grunnleggende uttalelse om sirkulær geometri, Thales teorem: Den sier at omkretsvinkler over en diameter alltid er rette vinkler, dvs. 90 °. Sirkelen rundt høyre trekant kalles også Thales-sirkelen i denne situasjonen .

Selv i tilfelle av hvilken som helst akkord, er alle omkretsvinkler som ligger på samme sirkelbue av samme størrelse. Denne uttalelsen kalles også settet med omkretsvinkler . Den sirkelbuen som toppunktet på omkretsvinkelen ligger på, kalles tønnebuen. Hvis omkretsvinkelen og midtvinkelen er på samme side av akkorden, er den midtre vinkelen dobbelt så stor som omkretsvinkelen (sirkulær vinkelsett). To omkretsvinkler, som er på motsatte sider av senen, legger 180 ° til hverandre.

Den perifere vinkelen er av samme størrelse som den akutte senenes tangensvinkel mellom akkordet og planet som går gjennom et av endepunktens tangens (tangentvinkelsendesett).

Setninger om akkorder, sekanter og tangenter

For sirkler setter de sanne senene to sener [AC] og [BD] som hver skjærer i et punkt S, og deretter: som sier

d. produktene til de respektive seneseksjonene er de samme.

To akkorder av en sirkel som ikke krysser hverandre, kan forlenges til sekanter som enten er parallelle eller krysser et punkt S utenfor sirkelen. Hvis sistnevnte er tilfelle, gjelder secant-setningen analogt til akkordsetningen

Når det gjelder en sekant som krysser sirkelen ved punktene A og C, og en tangens som berører sirkelen ved punkt B, gjelder sekant-tangent- prinsippet : Hvis S er skjæringspunktet mellom sekant og tangens, følger det

Sirkler og sirkler

Hvis A, B, C er tre punkter som ikke ligger på en rett linje, dvs. danner en ikke-degenerert trekant , så er det en tydelig definert sirkel gjennom disse punktene, nemlig omkretsen av trekanten ABC. Senteret av omkretsen er skjæringspunktet mellom de tre vinkelrettene i trekanten. På samme måte kan hver trekant være innskrevet med en tydelig definert sirkel som berører de tre sidene, dvs. Det vil si at sidene av trekanten danner tangenter i sirkelen. Denne sirkelen kalles den innskrevne sirkelen i trekanten. Senteret er skjæringspunktet mellom de tre halveringslinjene .

I elementær geometri er det også sirkler ved trekanten som blir vurdert: eksirkulene ligger utenfor trekanten og berører den ene siden og forlengelsene av de to andre sidene. En annen interessant sirkel på trekanten er Feuerbachkreis , oppkalt etter Karl Wilhelm Feuerbach . De tre sidesentrene og de tre basispunktene i høyden ligger på den . Siden de tre midtpunktene av linjene mellom det vertikale skjæringspunktet og hjørnene av trekanten ligger på den, blir Feuerbach- sirkelen også kalt ni-punkts sirkelen . Senteret, som tyngdepunktet , sentrum av omkretsen og høydekrysset, ligger på Eulers rette linje .

I motsetning til trekanter har uregelmessige polygoner (polygoner) med mer enn tre hjørner generelt ingen omkrets eller innskrevet sirkel. For vanlige polygoner eksisterer begge, tegnet eller ikke, men alltid. Et kvadrat med en omkrets er påskrevet firesidig nevnt. En konveks firkant er en firkantet firkant hvis og bare hvis motsatte vinkler legger opp til 180 °. Et kvadrat som har en innskrevet sirkel kalles et tangent kvadrat . En konveks firkant er en tangent firkant hvis summen av sidelengdene til to motsatte sider er lik summen av de andre to sidelengdene.

Sirkulære refleksjoner og transformasjoner av møbler

Speiling av en sirkel, også kalt inversjon, er en spesiell representasjon av plangeometrien, som beskriver en "speiling" av det euklidiske planet på en gitt sirkel med sentrum og radius . Hvis et gitt punkt, blir bildepunktet bestemt av det faktum at det ligger på halvlinjen og avstanden fra ligningen

Oppfyller. Speilet av sirkelen kartlegger innsiden av den gitte sirkelen på utsiden og omvendt. Alle sirkelpunkter av er kartlagt på seg selv. Sirkulære refleksjoner er tro mot vinkelen , orientering og sirkel . Sistnevnte betyr at generaliserte sirkler - det vil si sirkler og rette linjer - blir kartlagt tilbake til generaliserte sirkler.

Utførelsen av to sirkulære refleksjoner etter hverandre resulterer i en møbeltransformasjon. Møbeltransformasjoner - en annen viktig klasse av kartlegginger av flyet - er derfor også tro mot vinkelen og tro mot sirkelen, men bevarer orienteringen.

Sirkulære refleksjoner og Möbius-transformasjoner kan vises spesielt tydelig ved hjelp av komplekse tall: Når det gjelder en sirkulær refleksjon av et punkt på sirkelen , er formelen for bildepunktet

Følgende gjelder refleksjonen om enhetssirkelen .

Möbius-transformasjoner av det komplekse planet er laget av ødelagte lineære funksjoner i formen

vist med og .

Konstruksjoner med kompass og linjal

I geometri tegnes sirkler ved hjelp av et kompass .

Et klassisk problem med geometri er konstruksjonen av geometriske objekter med kompasser og linjal i et begrenset antall konstruksjonstrinn fra et gitt sett med punkter. I hvert trinn kan rette linjer trekkes gjennom gitte eller allerede konstruerte punkter, og sirkler kan tegnes rundt slike punkter med en gitt eller allerede konstruert radius. Punktene som er konstruert, er resultatet av skjæringspunktet mellom to rette linjer, to sirkler eller en rett linje med en sirkel. Naturligvis spiller sirkler en viktig rolle i alle konstruksjoner med kompasser og linjaler.

I det følgende vil noen konstruksjoner som er viktige i forbindelse med geometrien til sirkler bli adressert som eksempel.

Thales-distriktet

Den Thales sirkel over en gitt avstand tangenter med hjelp av Thales sirkel gjennom punkt til sirkelen

For bygging av Thaleskreis over en gitt rute blir sentrum av denne ruten først konstruert, som også er sentrum for Thaleskreis. For dette formål treffes to korte sirkelbuer med samme radius rundt og rundt , hvorved valget må være stort nok til at de fire sirkelbuer krysser på to punkter og . Dette er f.eks. B. for saken. Linjen skjærer deretter i midten . Thales-sirkelen du leter etter er nå sirkelen med sentrum og radius .

Konstruksjon av tangenter

Gitt et punkt utenfor en sirkel med et midtpunkt , skal de to tangensene til sirkelen som går gjennom punktet konstrueres. Denne elementære konstruksjonsoppgaven kan enkelt løses ved hjelp av Thales teorem: Konstruer Thales-sirkelen med linjen som diameter. Skjæringspunktene til denne sirkelen med er da kontaktpunktene for tangentene som er søkt.

Areal dobling

Arealet til den røde sirkelen er dobbelt så stort som arealet til den lille, blå sirkelen.

Området til en sirkel kan dobles geometrisk ved å tegne en firkant, hvorav det ene hjørnet ligger i midten av sirkelen, med ytterligere to hjørner på sirkelbuen. En sirkel tegnes gjennom det fjerde hjørnet rundt det gamle sentrum. Denne prosedyren ble presentert på 1200-tallet i konstruksjonsboka til Villard de Honnecourt . Denne metoden fungerer fordi (ifølge Pythagoras teorem )

og dermed området til den store sirkelen

er nøyaktig dobbelt så stor som den lille sirkelen.

Inndeling av sirkler

Et annet konstruksjonsproblem som allerede har blitt undersøkt i eldgamle tider er inndelingen av en sirkel. Her, for et gitt naturlig tall, bør et vanlig hjørne være innskrevet i en gitt sirkel . Hjørnepunktene på sirkelen deler den deretter i sirkelbuer med like lang lengde. Denne konstruksjonen er ikke mulig for alle : Ved hjelp av den algebraiske teorien om feltforlengelser kan det vises at den kan utføres nøyaktig når en primær faktorisering av formen

har med og parvis forskjellige Fermat-primtaler , så primer av formen . Slik at konstruksjonen er mulig for eksempel , men ikke for z. B .. Carl Friedrich Gauß beviste i 1796 at konstruksjonen av det vanlige syttende hjørnet bare er mulig ved bruk av kompasser og linjaler .

Beregning av sirkler i analyse

I moderne analyser blir de trigonometriske funksjonene og sirkelnummeret vanligvis definert i utgangspunktet uten å bruke den elementære geometriske visningen og til spesielle egenskaper til sirkelen. For eksempel kan sinus og cosinus defineres ved å bruke deres representasjon som en kraftserie . En vanlig definisjon for verdien av er da dobbelt det minste positive null av cosinus.

Sirkelen som en kurve

I differensialgeometri , en gren av analysen som studerer geometriske former ved hjelp av differensial- og integralkalkulus , blir sirkler sett på som spesielle kurver . Disse kurvene kan beskrives som en sti ved hjelp av parameterrepresentasjonen nevnt ovenfor . Hvis opprinnelsen til koordinatene er plassert i midten av en sirkel med en radius , så funksjonen med

gitt en slik parameterisering. Ved hjelp av den trigonometriske formelen følger den for den euklidiske normen til de parametriserte punktene , det vil si at de faktisk ligger på en sirkel med en radius . Siden sinus og cosinus - periodisk er funksjoner som definerer intervallet tilsvarer fra nøyaktig en sirkelsirkulasjon.

Omkrets

Omkretsen til sirkelen skyldes lengden på veien gjennom integrering til

Det samme gjelder lengden på buen gitt av . Dette gir parametriseringen av sirkelen i henhold til buelengden

med .

Område

Området på den sirkulære skiven , dvs. mål på mengden , kan brukes som en (todimensjonal) integral

å være representert. For å unngå den litt kjedelige beregningen av denne integralen i kartesiske koordinater, er det gunstig for en transformasjon , til polarkoordinater å utføre. Dette resulterer i

En annen måte å beregne arealet av en sirkel på er å bruke Leibniz sektorformel på den parametriske representasjonen av sirkelkanten. Med får du også med deg

krumning

For parameterisering av sirkelen avledet ovenfor i henhold til resultatene av buelengden

For krumningen av sirkelen man oppnår derfor

Så kretsen på sirkelen er konstant, og krumningsradien er bare dens radius.

Differensialgeometri viser at en flat kurve bestemmes unikt av krumningen, bortsett fra kongruens. De eneste flate kurvene med konstant positiv krumning er derfor sirkelbuer. I grense tilfelle at krumningen konstant er lik 0, oppstår rette linjer.

Isoperimetrisk problem

Av alle overflater av det euklidiske planet med en gitt omkrets har den sirkulære overflaten det største overflatearealet. Omvendt har det sirkulære området den minste omkretsen for et gitt område. I flyet er sirkelen derfor den unikt bestemte løsningen på det såkalte isoperimetriske problemet. Selv om matematikere i antikkens Hellas allerede var kjent med dette livlig plausible faktum, ble det ikke gitt formelle bevis før på 1800-tallet. Siden vi ser etter en kurve som maksimerer en funksjonell , nemlig det lukkede området, er dette fra et moderne synspunkt et problem med variasjonens beregning . Et vanlig bevis på stykkevise kontinuerlige kurver bruker teorien om Fourier-serien .

Generaliseringer og relaterte emner

sfære

Det er mulig å generalisere sirkelen som et objekt i planet i et tredimensjonalt rom. Så får du konvolutten til en kule . I matematikk kalles dette objektet sfæren eller, mer presist, 2-sfæren. Analogt kan 2-sfæren generaliseres til dimensjoner til -sfæren . I denne sammenheng kalles sirkelen også 1-kule.

Kjeglesnitt

Sirkelen som en kjeglesnitt

I plan geometri kan sirkelen forstås som en spesiell ellipse der de to fokuspunktene sammenfaller med sentrum av sirkelen. Begge halvaksene er like sirkelens radius. Sirkelen er derfor en spesiell konisk seksjon: Den er opprettet som seksjonen av en rett sirkulær kjegle med et plan vinkelrett på kjegleaksen. Det er derfor et spesielt tilfelle av et todimensjonalt kvadrat .

Dette resulterer i en ytterligere, ekvivalent definisjon for sirkler ( sirkel av Apollonios ): En sirkel er settet med alle punkter i planet som kvotienten av deres avstander fra to gitte punkter er konstant. De to punktene ligger på en utgående stråle på avstand eller og vekselvis på polar av det respektive andre punktet som en pol. Lignende definisjoner eksisterer for ellipsen (konstant sum), hyperbola (konstant forskjell) og Cassini-kurven (konstant produkt av avstandene).

Sirkler i syntetisk geometri

I syntetisk geometri kan sirkler i bestemte affine plan (for eksempel pre-euklidiske plan ) defineres uten et begrep avstand utelukkende ved en ortogonalitetsrelasjon , ved å bruke setningen til omkretsen (sentral vinkelrett teorem ) for å definere sirkelen. Som et resultat kan det innføres et svakere konsept med "avstand" eller "like lengde" av parpar i slike plan. → Se pre-euklidisk nivå .

Tegning i det digitale rutenettet

Flere algoritmer er utviklet for å tegne tilnærmede sirkler i et rutenett av punkter , se rutenett av sirkler . Disse teknikkene er spesielt viktige for datagrafikk . De grunnleggende aritmetiske operasjonene er tilstrekkelig for tofargers rasterisering av sirkler .

Se også

litteratur

weblenker

Commons : Circle  - samling av bilder, videoer og lydfiler
Wiktionary: sirkel  - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Individuelle bevis

  1. Ilya Nikolayevich Bronstein: Håndbok for matematikk. Verlag Harri Deutsch, 5. utgave, Thun og Frankfurt 2001, s. 143.
  2. ^ Max Koecher, Aloys Krieg: nivågeometri. 3. Utgave. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3 , s. 143.
  3. ^ Scriba, Schreiber: 5000 år med geometri. 2005, s. 32-33.
  4. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 års geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 13.
  5. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 18.
  6. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 19-20.
  7. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 31-33.
  8. Ko Max Koecher, Aloys Krieg: nivågeometri . 3. reviderte og utvidede utgave. Springer, Berlin / Heidelberg 2007, korrigert opptrykk 2009, ISBN 978-3-540-49327-3 , s. 145.
  9. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 49-50.
  10. a b I engelsk oversettelse av Thomas Little Heath : Verkene til Archimedes, red. I moderne notasjon, med innledende kapitler. Universitetspresse, Cambridge 1897. Rundmål: s. 91 ff., Om spiraler: s. 151 ff., (Digitalisert versjon).
  11. ^ Euclids elementer . XII, § 2.
  12. Se Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
  13. ^ Scriba, Schreiber: 5000 år med geometri. 2005, s. 40-42.
  14. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 72-73.
  15. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 247-248.
  16. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 år med geometri: historie, kulturer, mennesker (fra å telle stein til datamaskin). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3 , s. 405-406.
  17. Hurwitz: Quelques applikasjoner geometriques des series de Fourier. Annales de l'Ecole Normale, bind 19, 1902, s. 357-408.
    Beviset finnes for eksempel i Blaschke: Lectures on Differential Geometry. Volum 1, Springer, 1924, s.45.