Område

Etternavn

Overflate
område
tverrsnittsareal

${\ displaystyle A}$ (område)

Avledet fra

Størrelse og enhetssystem	enhet	dimensjon
SI	m ²	L ²
cgs	cm ²	L ²
Planck	Plank overflate	ħ · G · c ⁻³

Den området er et mål på størrelsen av et område . Med en overflate forstås todimensjonale strukturer, dvs. de der man kan bevege seg i to uavhengige retninger. Dette inkluderer de vanlige figurene av flat geometri som rektangler , polygoner , sirkler , men også grenseoverflater av tredimensjonale legemer som kuboider , kuler , sylindere osv. Disse overflatene er tilstrekkelig for mange bruksområder; mer komplekse overflater kan ofte være sammensatt av dem eller tilnærmet av dem .

Overflatearealet spiller en viktig rolle i matematikk, i definisjonen av mange fysiske størrelser, men også i hverdagen. For eksempel er trykk definert som kraften per område eller magnetmomentet til en lederløkke som strømmen ganger området rundt det . Eiendoms- og leilighetsstørrelser kan sammenlignes ved å spesifisere området. Materialforbruk, for eksempel frø til et felt eller maling for å male et område, kan estimeres ved hjelp av området.

Området er normalisert i den forstand at enhetsfeltet , det vil si firkanten med sidelengde 1, har arealet 1; Uttrykt i måleenheter har et kvadrat med en sidelengde på 1 m et areal på 1 m ² . For å gjøre overflater sammenlignbare med overflatearealet, må man kreve at kongruente overflater har samme overflateareal, og at overflaten til kombinerte overflater er summen av innholdet i delarealene.

Off måling av overflate områder skjer ikke riktig i regelen. I stedet måles visse lengder, hvorfra arealet deretter beregnes. For å måle arealet til et rektangel eller en sfærisk overflate, måler man vanligvis lengden på sidene av rektangelet eller kuleens diameter og oppnår ønsket område ved hjelp av geometriske formler som listet opp nedenfor.

Område med noen geometriske figurer

Tre kjente figurer fra flygeometri på rutet bakgrunn

Tabellen nedenfor viser noen kjente figurer fra plan geometri sammen med formler for beregning av arealet.

Figur / objekt	Betegnelser	Område ${\ displaystyle A}$
torget	Sidelengde ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = a ^ {2}}$
rektangel	Sidelengder ${\ displaystyle a, \, b}$	${\ displaystyle A = a \ cdot b}$
Trekant (se også: trekantet overflate )	Bunnside , høyde , i rett vinkel mot ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle g}$	${\ displaystyle A = {\ frac {g \ cdot h} {2}}}$
Trapes	sider parallelle med hverandre , høyde , vinkelrett på og ${\ displaystyle a, \, c}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle c}$	${\ displaystyle A = {\ frac {a + c} {2}} \ cdot h}$
Rhombus	Diagonaler og ${\ displaystyle d_ {1}}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$	${\ displaystyle A = {\ frac {d_ {1} \ cdot d_ {2}} {2}}}$
parallellogram	Sidelengde , høyde , vinkelrett på ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle h_ {a}}$ ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = a \ cdot h_ {a}}$
sirkel	Radius , diameter , antall sirkler ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle {\ pi}}$	${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} = {\ frac {\ pi} {4}} d ^ {2}}$
ellips	Store og små halvakser eller , sirkelnummer ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle {\ pi}}$	${\ displaystyle A = \ pi fra}$
vanlig sekskant	Sidelengde ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} a ^ {2}}$

For å bestemme arealet til en polygon , kan du triangulere det, det vil si dele det opp i trekanter ved å tegne diagonaler, og deretter bestemme arealet til trekanten og til slutt legge til disse delområdene. Er koordinatene , de punktene av polygonet i et kartesisk koordinatsystem er kjent, området, med Gaussian trapesformede regelen er beregnet: ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ ${\ displaystyle i = 1 \ dotsc n}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (y_ {i} + y_ {i + 1}) (x_ {i} -x_ {i + 1})}

Følgende gjelder for indeksene: med er og med er ment. Summen er positiv hvis hjørnepunktene krysses i henhold til koordinatsystemets rotasjonsretning . Hvis resultatene er negative, kan det hende at beløpet må velges. Pick's teorem kan brukes spesielt på polygonale overflater med rutenettpunkter som hjørner . Andre områder kan vanligvis lett tilnærmes ved hjelp av polygoner , slik at en tilnærmet verdi enkelt kan oppnås. ${\ displaystyle x_ {n + j}}$ ${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle y_ {n + j}}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$

Beregning av noen overflater

Tetraeder

Rett kjegle med utviklet sideoverflate

Her er noen typiske formler for beregning av overflater:

Figur / objekt	Betegnelser	flate ${\ displaystyle A}$
terning	Sidelengde ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = 6a ^ {2}}$
Cuboid	Sidelengder ${\ displaystyle a, \, b, \, c}$	${\ displaystyle A = 2 (ab + ac + bc)}$
Tetraeder	Sidelengde ${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle A = {\ sqrt {3}} \, a ^ {2}}$
Sfære (se også: sfærisk overflate )	Radius , diameter ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle d}$	${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$
sylinder	Baseradius , høyde ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$	${\ displaystyle A = 2 \ pi r (r + h)}$
Kjegle	Baseradius , høyde ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$	${\ displaystyle A = \ pi r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$
Torus	Ringradius , tverrsnittsradius ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle r}$	${\ displaystyle A = 4 \ pi ^ {2} \ cdot R \ cdot r}$

En typisk prosedyre for å bestemme slike overflater er den såkalte "rulling" eller "avvikling" i planet, det vil si at man prøver å kartlegge overflaten i planet på en slik måte at overflatearealet beholdes, og deretter bestemmer areal av de resulterende flyene Figur. Dette fungerer imidlertid ikke med alle overflater, som eksempelet på sfæren viser. For å bestemme slike overflater kan analysemetoder som brukes i balleksemplet dreie seg om rotasjonsflater . Ofte fører Guldins første regel også til rask suksess, for eksempel med torus.

Integrert kalkulator

Arealet under kurven fra a til b er tilnærmet av rektangler

Den integrerte kalkulatoren ble utviklet blant annet for å bestemme områder under kurver, dvs. under funksjonsgrafer . Tanken er å tilnærme området mellom kurven og aksen med en serie smale rektangler, og deretter la bredden på disse rektanglene nærme seg 0 i en grenseprosess. Konvergensen av denne grensen avhenger av kurven som brukes. Hvis man ser på et begrenset område, for eksempel kurven over et begrenset intervall som i den tilstøtende tegningen, viser analysesetninger at kontinuiteten til kurven er tilstrekkelig til å sikre konvergensen av grenseprosessen. Fenomenet oppstår at områder under aksen blir negative, noe som kan være uønsket når man bestemmer områder. Hvis du vil unngå dette, må du gå over til mengden av funksjonen. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle [a, b]}$ ${\ displaystyle x}$

Gaussisk bjellekurve

Hvis du vil ha intervallgrensene og tillate, bestemte vi først områdene for begrensede grenser og som nettopp beskrevet, og forlater deretter i en ytterligere grenseprosess , eller søker begge. Her kan det skje at denne grenseprosessen ikke konvergerer, for eksempel i tilfelle oscillerende funksjoner som sinusfunksjonen . Hvis du begrenser deg til funksjoner som har funksjonsgrafer i det øvre halvplanet, kan disse svingningseffektene ikke lenger forekomme, men det hender at området mellom kurven og aksen blir uendelig. Siden det totale arealet har uendelig grad, er dette til og med et sannsynlig og til slutt også forventet resultat. Hvis imidlertid kurven nærmer seg til- aksen tilstrekkelig raskt for punkter langt fra 0 , kan fenomenet oppstå at et uendelig utvidet område også har et endelig område. Et velkjent eksempel som er viktig for sannsynlighetsteorien er området mellom den Gaussiske bjellekurven ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle b \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} }

og aksen. Selv om området er fra til , er området lik 1. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle - \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$

Når man prøver å beregne ytterligere områder, for eksempel også under diskontinuerlige kurver, kommer man til slutt opp med spørsmålet om hvilke mengder i planet som et meningsfylt område i det hele tatt skal tildeles. Dette spørsmålet viser seg vanskelig, som beskrevet i artikkelen om dimensjonsproblemet . Det viser seg at det intuitive begrepet areal som brukes her ikke meningsfylt kan utvides til alle delmengder av flyet.

Differensiell geometri

I differensialgeometri beregnes arealet til en flat eller buet overflate ved hjelp av koordinatene som et arealintegral: ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle (u, v)}$

{\ displaystyle \ iint _ {F} \ mathrm {d} \ sigma}

Arealelementet tilsvarer bredden på intervallet i den endimensjonale integralkalkylen . Det er arealet av tangentene til koordinatlinjene som er strukket parallellogram med sider og på. Overflateelementet avhenger av koordinatsystemet og overflaten Gaussian krumning . ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} u}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} v}$

Arealelementet er i kartesiske koordinater . På den sfæriske overflaten med radius og lengde og bredde som koordinatparametere gjelder . For overflaten til en sfære ( ) får man arealet: ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = r ^ {2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L}$ ${\ displaystyle - \ pi / 2 \ leq B \ leq \ pi / 2, - \ pi \ leq L \ leq \ pi}$

{\ displaystyle A = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \ cos B \, \ mathrm {d} B \, \ mathrm {d} L = r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left [\ sin B \ right] _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} \, \ mathrm {d} L = 2r ^ {2} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ mathrm {d} L = 4 \ pi r ^ {2}}

For å beregne arealelementet er det ikke absolutt nødvendig å vite posisjonen til et romlig område i rommet. Overflateelementet kan bare avledes fra slike dimensjoner som kan måles i overflaten og dermed teller til overflatens indre geometri . Dette er også grunnen til at overflatearealet til en (utviklingsbar) overflate ikke endres når den utvikles, og kan derfor bestemmes ved å utvikle seg til et plan.

Overflater i fysikk

Naturligvis ser overflater også ut som en størrelse som måles i fysikk. Områder måles vanligvis indirekte ved hjelp av formlene ovenfor. Typiske størrelser der overflater oppstår er:

Trykk = kraft per område
Intensitet = energi per tid og område
Magnetisk øyeblikk av en ledersløyfe = gjeldende ganger området dekket
Overflatespenning = arbeid utført for å forstørre området per ekstra område
Overflateladingstetthet = ladning per område
Strømtetthet = strøm per strømningsareal

Område som vektor

Ofte tildeles overflaten også en retning som er vinkelrett på overflaten, noe som gjør overflaten til en vektor og gir den en retning på grunn av de to mulige valgene i den vinkelrette retningen . Lengden på vektoren er et mål på området. I tilfelle av et parallellogram avgrenset av vektorer, og dette er vektorproduktet ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}}

.

Hvis det er overflater, brukes vanligvis det normale vektorfeltet for å kunne tilordne en retning til dem lokalt på hvert punkt. Dette fører til fluksmengder som er definert som det skalære produktet til vektorfeltet og området (som en vektor). Strømmen beregnes ut fra strømtettheten iht ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$

{\ displaystyle I = \ int \ limits _ {A} {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

,

hvor i integralet skalarproduktet

{\ displaystyle {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}}

er formet. For evaluering av slike integraler er formler for beregning av overflater nyttige.

I fysikk er det også arealstørrelser som faktisk bestemmes eksperimentelt, for eksempel spredning av tverrsnitt . Antakelsen her er at en partikkelstrøm treffer et solid målobjekt, det såkalte målet, og partiklene i partikkelstrømmen treffer partiklene til målet med en viss sannsynlighet. Den makroskopisk målte spredningsadferden gjør det da mulig å trekke konklusjoner om tverrsnittsområdene som målpartiklene holder mot strømningspartiklene. Størrelsen bestemt på denne måten har dimensjonen til et område. Siden spredningsatferden ikke bare avhenger av geometriske parametere, men også av andre interaksjoner mellom spredningspartnerne, kan det målte arealet ikke alltid likestilles direkte med det geometriske tverrsnittet av spredepartnerne. Man snakker da mer generelt om tverrsnittet , som også har dimensjonen til et område.

Arealberegning i kartlegging

Som regel kan ikke landarealer, deler av land, land eller andre områder bestemmes ved hjelp av formlene for enkle geometriske figurer. Slike områder kan beregnes grafisk, semi-grafisk, fra feltdimensjoner eller fra koordinater.

En kartlegging av området må være tilgjengelig for den grafiske prosessen. Områder, hvis grenser er dannet av en polygon, kan brytes ned i trekanter eller trapeser, hvis grunnlinjer og høyder måles. Arealet til delområdene og til slutt arealet av det totale arealet blir deretter beregnet ut fra disse målingene. Den semi-grafiske arealberegningen brukes når området kan brytes ned i smale trekanter, hvis korte baseside er målt nøyaktig i feltet. Siden den relative feilen i området hovedsakelig bestemmes av den relative feilen på den korte basesiden, vil måling av basesiden i feltet i stedet for i kartet øke nøyaktigheten til området sammenlignet med den rent grafiske metoden.

Uregelmessige overflater kan registreres ved hjelp av et firkantet glasspanel. På undersiden har dette et rutenett av firkanter hvis sidelengde er kjent (f.eks. 1 millimeter). Brettet plasseres på det kartlagte området, og området bestemmes ved å telle rutene som ligger innenfor området.

En planimeterharpe kan brukes til langstrakte overflater. Dette består av et ark med parallelle linjer hvis jevne avstand er kjent. Planimeterharpen er plassert på overflaten på en slik måte at linjene er omtrent vinkelrett på overflatens lengderetning. Dette deler området i trapeser, hvis midtlinjer er lagt til med et par skillevegger. Arealet kan beregnes ut fra summen av lengden på senterlinjene og linjeavstanden.

Polarplanimeter, til høyre kjørepennen med forstørrelsesglass, til venstre rullen med telleren, på toppen av stangen festet under målingen

Planimeteret , et mekanisk integrasjonsinstrument, er spesielt egnet for å bestemme overflatearealet til områder med en krumlinjeformet grense . Grensen må krysses med planimeterens drivpenn. Når du kjører rundt i området, roterer en rulle og rotasjonen av rullen og størrelsen på området kan leses på en mekanisk eller elektronisk teller. Nøyaktigheten avhenger av hvor nøyaktig operatøren kjører kanten av området med kjørepennen. Resultatet er mer nøyaktig jo mindre omkretsen er i forhold til området.

Arealberegningen fra feltdimensjoner kan brukes hvis området kan brytes ned i trekanter og trapeser og avstandene som kreves for arealberegningen måles i feltet. Hvis hjørnepunktene på overflaten er vinklet på en mållinje ved hjelp av den ortogonale metoden, kan overflaten også beregnes ved hjelp av den Gaussiske trapesformelen .

I dag blir arealer ofte beregnet fra koordinater. Dette kan for eksempel være koordinatene til grensepunkter i eiendomskadasteren eller hjørnepunkter i et område i et geografisk informasjonssystem . Ofte er hjørnepunktene forbundet med rette linjer, noen ganger også med buer. Derfor kan området beregnes ved hjelp av den gaussiske trapesformelen. Når det gjelder sirkelbuer, må de sirkulære segmentene mellom polygonsiden og sirkelbuen tas i betraktning. Hvis innholdet i et mer uregelmessig område skal bestemmes i et geografisk informasjonssystem, kan området tilnærmes med en polygon med korte sidelengder.

Se også

Størrelsesorden (område)

Individuelle bevis

↑ Heribert Kahmen: Kartlegging jeg . Walter de Gruyter, Berlin 1988.

weblenker

Wiktionary: area - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

[1] Heribert Kahmen: Kartlegging jeg . Walter de Gruyter, Berlin 1988.

Languages