Gromov-Witten invariant

Gromov-Witten invarianter er en spesiell form for topologiske invarianter som etablerer en sammenheng mellom topologi og algebra .

Mer presist, i symplektisk topologi og algebraisk geometri , betegner de rasjonelle tall som teller pseudoholomorfe kurver (med visse tilleggsbetingelser) på en symplektisk manifold og tjener til å skille symplektiske manifolder. De kan forstås som en homologi eller kohomologiklasse i et tilhørende rom eller som et deformert koppprodukt av en kvantekohomologi . Gromov-Witten-invarianter er oppkalt etter Michail Gromow og Edward Witten . De spiller også en viktig rolle i topologisk strengteori .

Den eksakte matematiske konstruksjonen er behandlet i en egen artikkel " Stabil kartlegging ".

definisjon

La være en lukket symplektisk manifold av dimensjon , en 2-dimensjonal homologiklasse i og , vilkårlige naturlige tall inkludert null. Vær lenger ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle 2k}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle {\ bar {M}} _ {g, n}}

den Deligne-Mumford modul plass av kurver av kjønn med merket (utmerker) punkter, og ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle M: ​​= {\ bar {M}} _ {g, n} (X, A)}

modulområdet til stabile kartlegginger i henhold til klassen , den av den virkelige dimensjonen ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle d: = 2c_ {1} ^ {X} (A) + (2k-6) (1-g) + 2n.}

Har. Endelig være

{\ displaystyle Y: = {\ bar {M}} _ {g, n} \ ganger X ^ {n},}

med den virkelige dimensjonen . Implementeringskartleggingen kartlegger den grunnleggende klassen fra en dimensjonell rasjonell homologiklasse i : ${\ displaystyle 6g-6 + 2kn}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} \ i H_ {d} (Y, \ mathbb {Q}).}

Denne homologiklassen er på en måte den Gromov-Witten invarianten av verdiene , og . Det er en invariant av den symplektiske isotopien til den symplektiske manifolden . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$

For å tolke Gromov-Witten-invarianten geometrisk, la en homologiklasse inn og homologiklasser inn , slik at summen av kodedimensjonene av er lik . Dette omfatter homologi klasser via Künneth formel . Være ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}} _ {g, n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ gamma, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} (\ gamma, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}): = GW_ {g, n} ^ {X, A} \ cdot \ gamma \ cdot \ alpha _ {1} \ cdot \ cdots \ cdot \ alpha _ {n} \ i H_ {0} (Y, \ mathbb {Q}),}

karakterisert ved at den gjennomsnittlige produkt ( kryss produkt ) i den rasjonelle homologi refereres til. Dette er et rasjonelt tall, Gromov-Witten-invarianten for disse klassene. Den teller de pseudo-alkoholomorfe kurvene (i klassen med kjønn , med definisjonsområde i " delen" av Deligne-Mumford-rommet) "virtuelt", med de markerte punktene kartlagt til syklusene som er representert. ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

Enkelt sagt, Gromov-Witten-invarianten teller hvor mange kurver som krysser utvalgte underretter av . På grunn av arten av denne oppregningen, indikert med begrepet "virtuell", trenger disse ikke å være naturlige tall, siden plassen til de stabile kartleggingen er en orbifold , hvis isotropipunkt kan ikke-heltall bidra til invarianterne. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X}$

Det er mange varianter av dette designet der f.eks. B. i stedet for homologi brukes kohomologi eller i stedet for kutter en integrasjon. Noen ganger er også " pull-back " (fra Deligne-Mumford-rommet) Chern-klasser integrert.

Beregningsmetode

Gromov-Witten invarianter er generelt vanskelig å beregne. Selv om de er definert for hver generiske, nesten komplekse struktur som operatørens linearisering er antatt , må man i praksis velge en spesifikk . Vanligvis velges en med spesielle egenskaper, for eksempel spesielle symmetrier eller integrerbarhet. Faktisk blir beregningene ofte utført på Kahler manifolder ved hjelp av algebraiske geometri teknikker. ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {j, J}}$ ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle J}$

En spesiell kan imidlertid føre til en ikke-surjektiv og dermed til et modulrom med pseudoholomorfe kurver som er større enn forventet. Grovt sett korrigerer man denne effekten ved å danne en vektorpakke fra koks av, kalt en hindringspakke , og deretter definere Gromov-Witten-invarianten som en integrert del av Euler-klassen i denne bunten. Teknisk sett brukes teorien om flerfolds . ${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D}$

Hovedberegningsmetoden er lokalisering . Det er aktuelt hvis det er en torusmanifold, det vil si hvis virkningen av en kompleks torus er tilstede på den, eller hvis den i det minste er en torus lokalt. Deretter kan man redusere Atiyah-Bott-setning (av Michael Atiyah og Raoul Bott ) til beregning av invarianter til en integrasjon over plasseringen av de faste punktene for effekten ("lokaliser"). ${\ displaystyle X}$

En annen tilnærming bruker symplektisk " kirurgi " ( kirurgi ) for å bryte ned i manifolder der beregningen av Gromov-Witten-invarianter er lettere. Selvfølgelig må man først forstå oppførselen til manifoldene under operasjon. For disse applikasjonene brukes ofte de mer detaljert definerte "relative Gromov-Witten invarianter", som teller kurver med foreskrevne tangensielle egenskaper langs symplektiske delmanifold med en reell kodimensjon på 2. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Beslektede invarianter og konstruksjoner

Gromov-Witten-invarianter er nært beslektet med andre geometriske konsepter som Donaldson-invarianter og Seiberg-Witten-invarianter . For kompakte symplektiske 4-manifolds viste Clifford Taubes at en variant av Gromov-Witten-invarianter ( Taubes 'Gromov-invariant ) tilsvarer Seiberg-Witten-invarianter. Det antas at de inneholder samme informasjon som Donaldson-Thomas-invarianten og Gopakumar-Vafa-invarianter , som begge er heltall.

Gromov-Witten invarianter kan også formuleres på språket til algebraisk geometri. I noen tilfeller er de enige med de klassiske tellende invarianter, men er generelt også preget av en lov om komposisjon for å "holde sammen" kurver. Invarianter kan oppsummeres i kvantkohomologiringen til manifolden , en deformasjon av den vanlige kohomologien. Loven om sammensetningen av invarianter gjør det deformerte koppproduktet assosiativt. ${\ displaystyle X}$

Kvantkohomologiringen er isomorf i forhold til den symplektiske Floer-homologien med sitt " buksepar " -produkt.

Søknader i fysikk

Gromov-Witten invarianter er av interesse for strengteori , der elementærpartiklene er representert som eksitasjoner av 1 + 1-dimensjonale strenger. "1 + 1" refererer til romtid-dimensjonen til strengen "Verdensark", som sprer seg i en 10-dimensjonal romtid-bakgrunn. Siden modulrommet til slike overflater (antall frihetsgrader) er uendelig dimensjonalt og det ikke er kjent noe matematisk mål for det, mangler den integrerte beskrivelsen av denne teorien et matematisk strengt grunnlag.

Når det gjelder matematiske modeller kalt topologiske strengteorier som har 6 rom-tid-dimensjoner som utgjør en symplektisk manifold, er situasjonen bedre. Verdensflatene er parametriserte av pseudo-alkoholomorfe kurver, hvis modulrom er endelige dimensjoner. Gromov-Witten invarianter er integraler over disse modulområdene og tilsvarer banen integraler i disse teoriene. Spesielt er partisjonsfunksjonen til den topologiske strengteorien om kjønn lik den genererende funksjonen til Gromov-Witten-invarianten på kjønn . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$

litteratur

Dusa McDuff , Dietmar Salamon : J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology (= American Mathematical Society. Colloquium Publications 52). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3485-1 .
Sergei Piunikhin, Dietmar Salamon, Matthias Schwarz: Symplectic Floer-Donaldson teori og kvantekohomologi. I CB Thomas (red.): Contact and Symplectic Geometry (= Publikasjoner fra Newton Institute 8). Cambridge University Press, Cambridge et al. 1996, ISBN 0-521-57086-7 , s. 171-200.

Languages