Pseudoholomorf kurve

I symplektisk topologi betegner pseudoholomorfe kurver (PHK) en jevn kartlegging av en Riemann-overflate til en nesten kompleks manifold som tilfredsstiller differensialligningene i Cauchy-Riemann . De ble introdusert av Mikhail Gromow i 1985 og har siden revolusjonert studiet av symplektiske manifolder , hvor de er spesielt viktige for definisjonen og studien av Gromov-Witten invarianter og Floer-homologi . De spiller også en rolle i strengteori .

definisjon

La være en manifold med en nesten kompleks struktur og en jevn Riemann-overflate (tilsvarende en kompleks algebraisk kurve) med en kompleks struktur . En pseudoholomorf kurve i er en figur som representerer Cauchy-Riemann differensiallikninger ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f \ kolon C \ til X}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {j, J} f: = {\ frac {1} {2}} (df + J \ circ df \ circ j) = 0.}$

Oppfyller. På grunn av dette tilsvarer ${\ displaystyle J ^ {2} = - 1}$

${\ displaystyle J \ circ df = df \ circ j,}$

Geometrisk betyr dette at differensialet er kompleks-lineært, det vil si kartlegger hvert tangensrom på seg selv. Av tekniske årsaker introduseres ofte et inhomogent begrep, og de forstyrrede Cauchy-Riemann-differensialligningene blir deretter brukt ${\ displaystyle df}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle T_ {x} f (C) \ subset T_ {x} X}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {j, J} f = \ nu.}$

utdannet. De tilsvarende kurvene kalles da -holomorfe kurver . Noen ganger antar man at forstyrrelsen er produsert av en Hamilton- funksjon (spesielt i Floertheory ), men dette trenger ikke være tilfelle. ${\ displaystyle (j, J, \ nu)}$${\ displaystyle \ nu}$

I følge deres definisjon er PHC alltid parametriserte, men i praksis er man også interessert i ikke-parametrerte kurver, det vil si innebygde 2-delmanifold av , og "integrert" via reparameteriseringsfrihetsgraden i området som bevarer strukturen. Når det gjelder Gromov-Witten-invarianter, blir for eksempel bare lukkede områder med et fast kjønn vurdert og markerte punkter (eller punkteringer , dvs. fjerne punkter) blir introdusert . Så snart den prikkete Euler-karakteristikken er negativ, er det bare endelig mange holomorfe reparametriasjoner av som mottar de markerte poengene. Kurven er et element i Deligne-Mumford modulære kurverom. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle 2-2g-n}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

Analogi med de klassiske Cauchy-Riemann differensiallikninger

I den klassiske tilfellet begge er lik det komplekse tallplan. I virkelige koordinater er ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle j = J = {\ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$

og

${\ displaystyle df = {\ begin {bmatrix} du / dx & du / dy \\ dv / dx & dv / dy \ end {bmatrix}}}$

hvorved . Hvis du multipliserer disse matrisene i de to mulige ordrene, kan du umiddelbart se at ligningen ovenfor ${\ displaystyle f (x, y) = (u (x, y), v (x, y))}$

${\ displaystyle J \ circ df = df \ circ j}$

tilsvarer de klassiske Cauchy-Riemann differensiallikningene:

${\ displaystyle {\ begin {cases} du / dx = dv / dy \\ dv / dx = -du / dy. \ end {cases}}}$

Søknader i symplektisk topologi

Selv om de kan defineres for hvilken som helst nesten kompleks manifold, er PHK spesielt interessant når de er assosiert med en symplektisk form . En nesten kompleks struktur er -tame ( -tame) hvis og bare hvis ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega (v, Jv)> 0}$

for alle tangentvektorer som ikke er null . "Tameness" har den konsekvensen at ${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle (v, w) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ omega (v, Jw) + \ omega (w, Jv) \ right)}$

definerer en Riemannian beregning på . Mikhail Gromov viste at det tamme rommet for et gitt rom ikke er tomt og smidig . Han beviste altså sin ”ikke-pressende teorem” om den symplektiske innebyggingen av kuler i sylindere. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle J}$

Gromov viste videre at visse modulære rom for PHK (med visse tilleggsbetingelser) er kompakte og beskrev hvordan PHK kan degenerere hvis bare begrenset energi er tilgjengelig. Denne "Gromovs kompaktitetssetning" - senere sterkt generalisert gjennom bruk av stabile kart - gjør definisjonen av Gromov-Witten invarianter mulig, som teller PHK i symplektiske manifolder.

Kompakte modulrom fra PHK brukes også til å konstruere Floer-homologien , som Andreas Floer brukte for å bevise den berømte Arnold-formodningen.

Søknader i fysikk

I superstrengsteori type II vurderer man “World Sheet” - områder av strenger som beveger seg på tredimensjonale Calabi-Yau manifolds . I banens integrerte formulering av kvantefeltteori , vil man integrere alle disse overflatene over rommet ("modulrom"). Dette rommet har imidlertid et uendelig antall dimensjoner og er generelt ikke matematisk tilgjengelig, men man kan utlede i den såkalte A-vridningen at disse overflatene er parametrerte av PHK, slik at man har å gjøre med en integrering i den endelige dimensjonale modulen plass på PHK. I II A-strengteorien er disse integralene nettopp Gromov-Witten-invarianter .

litteratur

• Dusa McDuff , Dietmar Salamon : J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology ( American Mathematical Society. Colloquium publikasjoner 52). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3485-1 .
• Mikhail Gromov : Pseudo holomorfe kurver i symplektiske manifolder. I: Inventiones Mathematicae . 82, 1985, s. 307-347, online .

weblenker

• Donaldson Hva er en pseudoholomorf kurve , Merknader AMS 2005 (engelsk)