Symplektisk manifold

Symplektiske manifolder er de sentrale objektene til symplektisk geometri , et underområde av differensialgeometri . De symplektiske manifoldene har en veldig sterk relasjon til teoretisk fysikk .

definisjon

En symplektisk manifold er en glatt manifold sammen med en symplektisk form , det vil si en global, glatt og lukket 2-form som ikke har degenerert punkt for punkt (se også symplektisk rom ). "Stengt" betyr at det ytre derivatet av differensialformen forsvinner .${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}$

Symplektiske manifolder har alltid en jevn dimensjon, siden antisymmetriske matriser i odde dimensjoner ikke kan inverteres, og derfor har antisymmetriske bilineære former degenerert i odde dimensjoner.

Poisson-brakett

Siden formen ikke har degenerert, definerer den med sitt inverse på hvert punkt en bilinær kartlegging av enformer og${\ displaystyle \ textstyle \ omega = \ sum _ {ij} \ omega _ {ij} \, \ mathrm {d} x ^ {i} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {j}}$${\ displaystyle \ textstyle \ eta = \ sum _ {i} \ eta _ {i} \, \ mathrm {d} x ^ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ chi = \ sum _ {j} \ chi _ {j} \, \ mathrm {d} x ^ {j}}$

${\ displaystyle \ Omega (\ eta, \ chi) = \ sum _ {ij} \ omega ^ {ij} \, \ eta _ {i} \, \ chi _ {j} \ ,, \ quad \ sum _ { j} \ omega ^ {ij} \ omega _ {jk} = \ delta ^ {i} {} _ {k}}$

og Poisson braketten av funksjonene og , ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ {f, g \} = \ Omega (\ mathrm {d} f, \ mathrm {d} g) = \ sum _ {ij} \ omega ^ {ij} \, \ partial _ {i} f \, \ delvis _ {j} g \,.}$

Lagrangian submanifold

En lagrangisk delmanifold av en 2n-dimensjonal symplektisk manifold er en n-dimensjonal submanifold med ${\ displaystyle (M, \ omega)}$${\ displaystyle L \ subset M}$

${\ displaystyle \ omega \ mid _ {TL} = 0}$,

d. H. begrensningen av den symplektiske formen til det tangente rommet til L forsvinner.

Hamilton River

I et euklidisk rom er gradienten til en funksjon det vektorfeltet der skalarproduktet for et gitt vektorfelt stemmer overens med anvendelsen av on , ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g_ {f}}$${\ displaystyle \ langle g_ {f}, w \ rangle}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ mathrm {d} f}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle \ langle g_ {f}, w \ rangle = \ mathrm {d} f [w] = w [f] \,.}$

I en symplektisk manifold tilhører vektorfeltet en gitt f og en gitt vilkårlig funksjon${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle v_ {h}: f \ mapsto \ {f, h \} \ ,,}$

som avleder funksjoner langs en integrert kurve av de Hamiltoniske ligningene som tilhører (tolket som den såkalte Hamilton-funksjonen til systemet) . Rollen til w antas her av h , og den symplektiske geometrien eller Hamilton-dynamikken brukes til h . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h}$

Vektorfeltet er altså den symplektiske gradienten av eller den uendelig minimale Hamiltonian-strømmen av . ${\ displaystyle \, v_ {h}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$

Darboux teorem

Darboux teorem, oppkalt etter matematikeren Jean Gaston Darboux, sier:

I nærheten av hvert punkt i en symplektisk manifold er det lokale koordinatpar med ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i})}$

${\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ land \ mathrm {d} p_ {i} \,.}$

Koordinatparene som er definert på denne måten blir referert til som kanonisk konjugert .

Forholdet til Hamilton-mekanikken

I Hamiltonias mekanikk er faseplassen en symplektisk manifold med den lukkede, symplektiske formen

${\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ land \ mathrm {d} p_ {i} \ ,, \ quad \ mathrm {d} \ omega = 0 \,.}$

Dette er ikke et spesielt tilfelle, for ifølge Darboux teorem kan lokale koordinater alltid skrives som. Symplektiske manifolder er faseområdene til Hamilton-mekanikken. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ land \ mathrm {d} p_ {i} \}$

Den matematiske påstanden angående tilsvarer de såkalte kanoniske ligningene til teoretisk fysikk, spesielt i analytisk mekanikk . ${\ displaystyle \ omega}$

I denne sammenheng er også Liouville-teoremet , som spiller en rolle i statistisk fysikk, av betydning . Det sier i hovedsak at med Hamiltonian-strømninger forblir faseplassvolumet konstant, noe som er viktig for å bestemme sannsynlighetsmålene for denne teorien.

Se også

• Canonical transformation , spesielt avsnittet "Symplectic structure"
• Symplectic mapping , homomorfismen i kategorien symplectic manifolds

litteratur

• VI Arnold : Matematiske metoder for klassisk mekanikk (= Graduate Texts in Mathematics 60). 2. utgave, Springer, New York NY et al. 1989, ISBN 0-387-96890-3 .
• Rolf Berndt: Introduksjon til symplektisk geometri. Vieweg, Braunschweig et al. 1998, ISBN 3-528-03102-6 .

weblenker

• Article Symplectic Structure in Springer Online Reference
• Artikkel i Weisstein, Encyclopedia of Mathematics, at Math World
• Dusa McDuff Symplectic strukturer - en ny tilnærming til geometri , Notices AMS, november 1998, PDF-fil

Individuelle bevis

1. ^ Definisjon av symplektiske manifolder i følge Vladimir I. Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. utgave, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 , s. 201 (kapittel 8 - Symplectic Manifolds). Likeledes i Ana Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry . Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-42195-5 . 
2. ^ Et bevis finnes i VI Arnold : Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. utgave. Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 , kapittel 8.