Euler-karakteristikk

I det matematiske underområdet for topologi er Euler-karakteristikken en nøkkelfigur / topologisk invariant for topologiske rom, for eksempel for lukkede overflater . Vanligvis brukt som et begrep . ${\ displaystyle \ chi}$

Det er oppkalt etter matematikeren Leonhard Euler , som beviste i 1758 at forholdet gjelder antall hjørner, antall kanter og antall ansikter til en konveks polyhedron . Denne spesielle uttalelsen kalles Eulers polyhedronsubstitusjon . Den Euler-karakteristikk , dvs. nummeret , kan også bli definert mer generelt for CW-komplekser . Denne generaliseringen kalles også Euler-Poincaré-karakteristikken , som skal referere til matematikeren Henri Poincaré . Områder som anses som de samme fra et topologisk synspunkt har samme Euler-karakteristikk. Det er derfor et helt tall topologisk invariant . Euler-karakteristikken er et viktig objekt i Gauss-Bonnet-teoremet . Dette etablerer nemlig en sammenheng mellom den gaussiske krumningen og Euler-karakteristikken. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle E-K + F = 2}$ ${\ displaystyle E-K + F}$

definisjon

For overflater

En lukket overflate kan alltid trianguleres , dvs. den kan alltid dekkes med et endelig trekantet rutenett. Euler-karakteristikken blir deretter definert som ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ chi}$

{\ displaystyle \ chi (S): = E-K + F.}

hvor antall hjørner, antall kanter og antall trekanter i trianguleringen menes. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle F}$

For CW-komplekser

La være et topologisk rom som er et endelig dimensjonalt CW-kompleks . Med antall celler av dimensjon som er angitt, og er dimensjonen til CW-komplekset. Da blir Euler-karakteristikken gitt av den vekslende summen ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ chi (X): = \ chi (T) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} k_ {i}}

Er definert. Denne Euler-karakteristikken for CW-komplekser kalles også Euler-Poincaré-karakteristikken. Hvis rommet brytes ned i forenklinger i stedet for celler , kan Euler-karakteristikken også defineres analogt av det enkle komplekset som oppnås på denne måten. Følgende gjelder Euler-karakteristikken ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle \ chi (X): = \ chi (C) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} f_ {i}}

hvor er antall -dimensjonale enkelheter av . For et forenklet kompleks av et todimensjonalt rom med , og definisjonen av Euler-karakteristikken på overflater er oppnådd igjen. Verdien av karakteristikken er uavhengig av beregningstypen. ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle E = f_ {0}}$ ${\ displaystyle K = f_ {1}}$ ${\ displaystyle F = f_ {2}}$

Definisjon ved hjelp av entall homologi

Vær et topologisk rom igjen. Rangeringen til -th singular homology grupper kalles -th Bettiz nummer og er betegnet med. Hvis de enslige homologigruppene har endelig rangering og bare et endelig antall Betti-tall ikke er lik null, er Euler-karakteristikken for durch ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle \ chi (X): = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} b_ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1 ) ^ {i} \ dim (H_ {i} (X))}

Er definert. Hvis er et CW-kompleks, så gir denne definisjonen samme verdi som i definisjonen for CW-komplekser. For eksempel oppfyller en lukket , orienterbar, differensierbar manifold kravene til enestående homologi. ${\ displaystyle X}$

kjennetegn

Vel definisjon

En viktig observasjon er at den gitte definisjonen er uavhengig av det valgte trekantede gitteret. Dette kan vises ved å gå over til en felles forbedring av gitte gitter uten å endre Euler-karakteristikken.

Siden homeomorfismer er triangulert, avhenger Euler-karakteristikken også bare av den topologiske typen. Motsatt følger det av en annen Euler-karakteristikk av to overflater at de må være topologisk forskjellige. Derfor kalles det en topologisk invariant .

Forholdet til kjønnet i området

Euler-karakteristikken og kjønnet på overflaten er relatert. Hvis overflaten kan orienteres , gjelder forholdet ${\ displaystyle \ chi}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle \ chi (S) = 2-2g,}

hvis overflaten ikke kan orienteres, gjelder ligningen

{\ displaystyle \ chi (S) = 2-g.}

Denne formelen for orienterbare områder resulterer som følger: Vi starter med en 2- sfære , dvs. et område med kjønn 0 og Euler-karakteristikk 2. Et område av kjønn oppnås ved å multiplisere den sammenhengende summen med en torus. Den sammenkoblede summen kan settes opp på en slik måte at limingen foregår langs en trekant av trianguleringen. Følgende balanseresultater for hver obligasjon: ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$

Overflater: (de to selvklebende overflatene ) ${\ displaystyle F '= F-2}$
Kanter: (hver 3 kanter er limt, de teller bare en gang) ${\ displaystyle K '= K-3}$
Hjørner: (hver 3 hjørner er limt, de teller også bare en gang) ${\ displaystyle E '= E-3}$

alt i alt . Hver av toriene reduserer Euler-karakteristikken med 2. ${\ displaystyle \ chi '= \ chi -3 + 3-2 = \ chi -2}$ ${\ displaystyle g}$

Forbindelse med Eulers polyhedronsubstitusjon

La være en konveks polyhedron som kan legges inn i det indre av en 2- sfære . Nå kan hjørnene, kantene og ytre overflatene til dette polyhedronet sees på som celler i et CW-kompleks. Singulære homologigrupper i komplekset er også endelige dimensjonale. Siden polyhedronen er orienterbar og har kjønn 0, følger det av avsnittet ovenfor at Euler-karakteristikken har verdien 2. Samlet sett resulterer formelen ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle E-K + F = 2}

,

der antall hjørner beskriver kantene og antall ansikter. Denne formelen kalles Eulers polyederformel . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle F}$

Eksempler

2-sfæren har Euler-karakteristikken 2. ${\ displaystyle S ^ {2}}$
Det virkelige projiserende planet kan ikke orienteres og har Euler-karakteristikken 1. ${\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {2}}$
Den torus har Euler-karakteristikk 0.
Hver odimensjonal lukket manifold har Euler-karakteristikk 0. (Dette følger av Poincaré-dualiteten .)
Euler-karakteristikken til jevndimensjonale lukkede manifolder kan beregnes ved hjelp av krumningen, se Chern-Gauss-Bonnet-setningen .

Tilkobling til Euler-klassen

For lukket , orienterbare , differensierbare manifolder med tangent bunter og grunnleggende klasser, kan Euler karakteristisk for også bli definert ekvivalent med , hvor den Euler klasse av er. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle TM}$ ${\ displaystyle \ left [M \ right]}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ langle e (TM), \ left [M \ right] \ rangle = \ chi (M)}$ ${\ displaystyle e (TM)}$ ${\ displaystyle TM}$