Atiyah-Bott-setning med fast punkt

Den Atiyah-Bott faste punkt teoremet ble bevist i 1966 av Michael Atiyah og Raoul Bott og generaliserer Lefschetz faste punkt teoremet for glatte mangfoldigheter .

Foreløpige merknader

La være en glatt, lukket manifold, deretter Lefschetz-nummeret${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle L (f): = \ sum _ {i \ geq 0} (- 1) ^ {i} \ mathrm {Tr} (f_ {i} | H_ {i} (M, \ mathbb {Q}) )}$

definert av en kontinuerlig selvkartlegging . Den bilde fremkalt ved er betegnet med. Lefschetz-tallet er veldefinert, fordi singularhomologiene til en glatt, kompakt manifold er endelig-dimensjonale som vektorrom. Atiyah-Bott Fixed Point Theorem generaliserer nå denne uttalelsen til en klasse kohomologier og gir en formel for å beregne Lefschetz-tallet. ${\ displaystyle f \ colon M \ to M}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i} \ colon H_ {i} (M, \ mathbb {Q}) \ to H_ {i} (M, \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle H_ {i} (M, \ mathbb {Q})}$

Vær et elliptisk kompleks . Det vil si, er en sekvens med glatte vektorpakker og en sekvens av (geometriske) differensialoperatorer slik at ${\ displaystyle (E, \ mathrm {d})}$${\ displaystyle E = (\ pi _ {i} \ colon E_ {i} \ to M) _ {i \ in \ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} = (\ mathrm {d} _ {i} \ colon \ Gamma (E_ {i}) \ to \ Gamma (E_ {i + 1})) _ {i \ in \ mathbb { Z}}}$

1. ${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {i + 1} \ circ \ mathrm {d} _ {i} = 0}$ gjelder og
2. den sekvens er nøyaktig. Vektoren bunt over cotangential bunt betegner som er indusert av, og den viktigste symbolet av${\ displaystyle \ ldots \ to \ pi ^ {*} (E_ {i}) {\ stackrel {\ sigma (\ mathrm {d} _ {i})} {\ longrightarrow}} \ pi ^ {*} (E_ {i + 1}) \ til \ ldots}$${\ displaystyle \ pi ^ {*} (E_ {i})}$ ${\ displaystyle T ^ {*} M,}$${\ displaystyle \ pi \ colon T ^ {*} M \ to M}$${\ displaystyle \ sigma (\ mathrm {d} _ {i})}$${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {i}.}$

På grunn av den første egenskapen kan en kohomologi oppnås fra alle elliptiske komplekser , og på grunn av den andre egenskapen er kohomologiene endelig-dimensjonale. Vær en kjedeendomorfisme . Dette induserer en endomorfisme av kohomologier I analogi med Lefschetz nummer én definerer ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T = (T_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {Z}} \ kolon (E, \ mathrm {d}) \ to (E, \ mathrm {d})}$${\ displaystyle K (T) \ colon K (\ Gamma (E)) \ to K (\ Gamma (E)).}$

${\ displaystyle L (T) \ colon {=} \ sum _ {i \ geq 0} (- 1) ^ {i} \ mathrm {Tr} (K ^ {i} (T)).}$

La være en differensierbar funksjon hvis graf er tverrgående til diagonalen . De faste punktene for er skjæringspunktene mellom grafen og diagonalen. Fra transversalitet følger for alle faste punkter som holder, hvor den deriverte av poenget er. En heis fra over en elliptisk kompleks er en sekvens av bunt homomorfier , slik at for med ${\ displaystyle f \ colon M \ rightarrow M}$${\ displaystyle M \ times M}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle \ det (I-Df_ {x}) \ neq 0}$${\ displaystyle Df_ {x}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi = (\ phi _ {i}) _ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (\ phi _ {i} \ kolon f ^ {*} E_ {i} \ til E_ {i}) _ {i}}$${\ displaystyle T_ {i}: = \ Gamma \ phi _ {i} \ circ f ^ {*} \ colon \ Gamma (E_ {i}) \ to \ Gamma (E_ {i})}$

${\ displaystyle \ Gamma (E_ {i}) {\ stackrel {f ^ {*}} {\ longrightarrow}} \ Gamma (f ^ {*} E_ {i}) {\ stackrel {\ Gamma \ phi _ {i }} {\ longrightarrow}} \ Gamma (E_ {i})}$

identiteten gjelder. Spesielt er det da en endomorfisme av seksjoner i det elliptiske komplekset . ${\ displaystyle T_ {i + 1} \ mathrm {d} _ {i} = \ mathrm {d} _ {i} T_ {i}}$${\ displaystyle T \ colon {=} (T_ {i}) _ {i}: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E)}$${\ displaystyle (E, \ mathrm {d})}$

Atiyah-Bott fast formel

La være et glatt, lukket manifold og et differensierbart kart slik at grafen er tverrgående diagonalen . Vær også et elliptisk kompleks, et løft fra og endomorfismen definert av . Da er Lefschetz-tallet gjennom ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f \ colon M \ to M}$${\ displaystyle M \ times M}$${\ displaystyle (E, \ mathrm {d})}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T: \ Gamma (E) \ til \ Gamma (E)}$${\ displaystyle T: = \ Gamma \ phi \ circ f ^ {*}}$${\ displaystyle L (T)}$

${\ displaystyle L (T) = \ sum _ {\ {x \ in M ​​| f (x) = x \}} {\ frac {\ sum _ {i} (- 1) ^ {i} \, \ operatorname {Spor} (\ phi _ {i} | _ {x})} {| \ det (I-Df_ {x}) |}}}$

bestemt, karakterisert ved at sporet av på et fast punkt på nevnte og det avledning av i er. ${\ displaystyle \ operatorname {track} (\ phi _ {j} | _ {x})}$${\ displaystyle \ phi _ {j}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Df_ {x}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

En anvendelse av Atiyah-Bott-satsen for fast punkt er et enkelt bevis på Weyls tegnformel for representasjon av Lie-grupper .

Spesielt tilfelle

La være den De Rham komplekset , her er det algebra av differensial skjemaer og den Cartan derivatet . Dette er et elliptisk kompleks, så formelen for fast punkt kan brukes på dette komplekset. La være et differensierbart kart igjen, slik at grafen er tverrgående diagonalen og den tilsvarende heisen. Gjelder da indeksen ${\ displaystyle ({\ mathcal {A}} (M), \ mathrm {d})}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} (M) = \ Gamma (\ Lambda (T ^ {*} M))}$${\ displaystyle \ mathrm {d}}$${\ displaystyle f \ colon M \ to M}$${\ displaystyle M \ times M}$${\ displaystyle \ phi \ colon \ Lambda (T ^ {*} M) \ to \ Lambda (T ^ {*} M)}$

${\ displaystyle L (T) = \ sum _ {\ {x \ in M ​​| f (x) = x \}} {\ frac {\ det (I-Df_ {x})} {| \ det (I- Df_ {x}) |}}.}$

Siden det er differensierbart og bare har isolerte faste punkter, tilsvarer dette Lefschetzs faste punktformel. ${\ displaystyle f}$

historie

Den tidlige historien er knyttet til Atiyah-Singer indeksrente . I en smalere forstand oppsto de første ideene på en konferanse i Woods Hole , Massachusetts i 1964 (derfor også kalt Woods Hole Fixed Point Theorem). Tilsynelatende kommer den opprinnelige grunnen fra en kommentar fra Martin Eichler om sammenhengen mellom faste punktumsetninger og automorfe former, som Gorō Shimura forklarte på Raoul Bott- konferansen . Han antok eksistensen av en Lefschetz-sats for fast punkt for holomorfe kartlegginger.

litteratur

• Michael F. Atiyah, Raoul Bott: En Lefschetz fastpunktsformel for elliptiske differensialoperatører. I: Bulletin of the American Mathematical Society . Vol. 72, nr. 2, 1966, s. 245-250, ( online ).
• Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I. I: Annals of Mathematics . Serie 2, bind 86, nr. 2, september 1967 s. 374-407, doi : 10.2307 / 1970694 .
• Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications. I: Annals of Mathematics. Serie 2, bind 88, nr. 3, november 1968, s. 451-491, doi : 10.2307 / 1970721 , (bevis og applikasjoner).
• Nicole Berline , Ezra Getzler , Michèle Vergne : Heat Kernels and Dirac Operators. Springer, Berlin et al. 2004, ISBN 3-540-20062-2 , kap. 6. 2.

weblenker

• Seksjon i essay om Botts arbeid av Tu, engelsk
• Møte på teoremets 35-årsdag i Woods Hole, engelsk ( Memento fra 6. januar 2004 i Internet Archive )
• McPherson foredrag på Woods Hole Conference, engelsk (PDF-fil; 560 kB)