Fixed point theorem av Lefschetz

Når fastpunktssetningen til Lefschetz er en topologisk teorem, som i visse under stabile bilder er eksistensen av et fast punkt sikret. Grunnlaget for den av Solomon Lefschetz bevist rekord i 1926 er det såkalte Lefschetz-tallet , det er når en parameter er kontinuerlige funksjoner, de relativt abstrakte begrepene ved hjelp av algebraisk topologi er definert og en homotopi - invariant er.

En innstramming av fastpunktssetningen er Lefschetzs fastpunktsformel , der Lefschetz-tallet uttrykkes som summen av fastpunktsindekser . Brouwer's Fixed Point Theorem resulterer i et spesielt tilfelle av Lefschetzs Fixed Point Theorem, og en vidtrekkende generalisering av denne teoremet er Atiyah og Bott's Fixed Point Theorem fra feltet for global analyse .

Lefschetz-nummer

Lefschetz-nummeret kan brukes til kontinuerlig selvkartlegging

${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow X}$

definere på et topologisk rom , hvis alle Betti-tall , dvs. dimensjonene til de enslige homologigruppene forstått som vektorrom , er endelige: ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {f}: = \ sum _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} \ mathrm {Tr} (f_ {k} | H_ {k} (X, \ mathbb {Q })),}$

Summandene til den vekslende sumen er sporene av homomorfismene indusert på homologigruppene . Lefschetz-tall er i utgangspunktet hele tall. På grunn av sin definisjon endres de ikke ved overgang til en homotopisk kartlegging. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$

Lefschetz-tallet for identisk kartlegging er lik Euler-karakteristikken

${\ displaystyle \ chi (X) = \, \ Lambda _ {\ mathrm {id}}.}$

Fixed point theorem av Lefschetz

For eksempel, i tilfelle at det topologiske rommet har en endelig triangulering (det er da spesielt kompakt ), kan Lefschetz-tallet allerede beregnes på nivået med det tildelte endelige kjedekomplekset . Spesielt gjelder den såkalte Lefschetz-Hopfsche sporformelen for en forenklet tilnærming av figuren${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle C _ {*} (K, \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle f ^ {K}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {f} = \ sum _ {k \ geq 0} (- 1) ^ {k} \ mathrm {Tr} (f_ {k} ^ {K} | C_ {k} (K, \ mathbb {Q})).}$

I tilfelle en selvkarting uten faste punkter , det vil si en kartlegging uten punkter med , kan en tilstrekkelig raffinert triangulering brukes til å oppdage . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x) = x}$${\ displaystyle \ Lambda _ {f} = 0}$

Omvendt må hvert selvbilde med et Lefschetz-nummer ha minst ett fast punkt. Dette er uttalelsen til Lefschetzs faste punktesetning. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Lambda _ {f} \ neq 0}$

Fastpunktsformel fra Lefschetz

Lefschetz-tallet på et bilde avhenger bare av dets oppførsel i nærheten av fastpunktskomponentene. Hvis figuren bare har isolerte faste punkter, kan Lefschetz-tallet gis med formelen ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {f} = \ sum _ {x \ in \ operatorname {Fix} (f)} i (f, x)}$

bli uttrykt. Det betegner det endelige settet med isolerte faste punkter og fast punktindeksen til det faste punktet . ${\ displaystyle \ operatorname {Fix} (f)}$${\ displaystyle i (f, x)}$${\ displaystyle x}$

Fastpunktsindeksen kan forstås som mangfoldet av det relevante faste punktet: Hvis et fast punkt ligger inne i et polyhedron , er dets faste punktindeks lik graden av kartlegging av bildet definert på en liten kule${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i (f, x)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle g (y) = {\ frac {yf (y)} {|| yf (y) ||}}.}$

Brouwer's Fixed Point Theorem som en spesiell sak

Siden homologigruppene forsvinner for alle de lukkede- dimensjonale enhetssfærene , er Lefschetz-tallet for hver selvkarting lik 1. Hver slik kartlegging må derfor ha minst ett fast punkt. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle D ^ {n}}$${\ displaystyle k \ geq 1}$${\ displaystyle H_ {k} (D ^ {n}, \ mathbf {Q})}$${\ displaystyle D ^ {n}}$

Individuelle bevis

1. ↑ S. Lefschetz: Kryss og transformasjoner av komplekser og manifolder , Transactions American Mathematical Society 1926, Vol. 28, s. 1-49 ( Online ; PDF; 4,3 MB)
2. ↑ Heinz Hopf : Et nytt bevis på Lefschetz-formelen på uforanderlige punkter , Proceedings of the National Academy of Sciences i USA, Vol. 14 (1928), s. 149–153 ( Online ; PDF; 421 kB)

weblenker

• Algebraisk topologi og faste punkter . Innledende oversiktsartikkel av Jörg Bewersdorff . (PDF-fil; 179 kB)

litteratur

• Robert F. Brown: Fixed Point Theory. I: IM James : History of Topology. Elsevier, Amsterdam et al. 1999, ISBN 0-444-82375-1 , s. 271-299.