Begrens syklus

Begrens syklusen til Van der Pol-oscillatoren

En grensesyklus eller grensesyklus er i matematikk og teorien om dynamiske systemer , en isolert periodisk løsning av et autonomt system med differensiallikninger .

Hvis løsningene til differensiallikningssystemet blir sett på som kurver i faselokalet , er grensesyklusen en lukket kurve ( syklus ) som nabobaner nærmer seg eller hvorfra de avgår ved grenseverdien av uendelig tid:

• Hvis nabobaner nærmer seg grensesyklusen i grenseverdien av uendelig tid, er grensesyklusen en endimensjonal tiltrekker og kalles stabil .
• På den annen side, hvis nabobaner beveger seg bort i grensen for uendelig tid (eller nærmer seg grensesyklusen i grensen til uendelig negativ tid), er grensesyklusen en endimensjonell repeller eller negativ tiltrekker og kalles ustabil .

Hvis naboløsninger også er periodiske løsninger i seg selv, er det ikke snakk om en grensesyklus, siden det ikke representerer en isolert periodisk løsning.

I flyet setter Poincaré-Bendixson-setningen uttalelser om eksistensen av grensesykluser . Grensesykluser ble først studert av Henri Poincaré .

I konservative dynamiske systemer og spesielt dynamiske systemer der F kan uttrykkes som en gradient av en potensiell funksjon, er det ingen grensesykluser.${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ vec {x}}} (t) = F ( {\ vec {x}} (t))}$

Åpent problem

Andre del av det 16. Hilbert-problemet ber om en øvre grense for antall grensesykluser (og uttalelser om deres relative posisjon) for autonome systemer med differensiallikninger i planet

${\ displaystyle {\ begin {justert} {dx \ over dt} & = P (x, y) \\ {dy \ over dt} & = Q (x, y) \ end {justert}}}$

hvor P, Q er polynomer av grad  n.

Problemet ble også inkludert i hans liste over åpne problemer av Stephen Smale , som sammen med Riemann-antagelsen anser det som den minst håndgripelige av Hilbert- problemene . Smale begrenset problemet ytterligere: La P og Q være polynomer med maksimal grad d; er det en øvre grense for antall grensesykluser med en universell konstant ? Det er kjent at tallet er endelig ( Juli Ilyashenko , Jean Écalle , basert på forarbeid av Henri Dulac ). ${\ displaystyle d ^ {q}}$${\ displaystyle q}$

Innledning basert på to eksempler

Moteksempel: faseplass Portrett av en pendel med rødt registrert separatrix

Dynamiske systemer er systemer med autonome differensiallikninger av formen:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ vec {x}}} (t) = F ( {\ vec {x}} (t)), \ \ \ \ \ \ {\ vec {x}} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Løsningen av disse differensialligningene kalles baner og beskriver systemets atferd / utvikling i tid  t . I teorien om dynamiske systemer er den asymptotiske stabiliteten til slike løsninger av interesse, dvs. deres oppførsel i tidsfristen . Hvis oscillerende løsninger av systemet resulterer i nevnte grenseverdi, reflekteres de som en syklisk, lukket kurve i dette faseområdet; det kalles grensesyklusen. ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$

Hvis andre baner (med ulike startbetingelser ) kommer nærmere og nærmere til den lukkede kurve for lang tid  t ( “spiral”), da det er en attraktor ( “puller”) eller stabil grensesyklus. Et klassisk eksempel på dette er Van der Pol-oscillatoren , hvis faseplassportrett er vist i figuren ovenfor.

Hvis alle baner beveger seg bort fra grensesyklusen, kalles den ustabil eller også kalt repeller. ${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$

En enkel matematisk pendel har derimot periodiske baner, men ingen grensesyklus. Dette kan sees i figuren til høyre ved at ingen baner nærmer seg eller avviker fra syklusene, dvs. H. syklusene forekommer ikke isolert. Ikke isolert her betyr at det er andre sykluser i alle miljøer i en syklus.

stabilitet

Poincaré-kartlegging av en grensesyklus og tilgrensende baner. I Poincaré-delen vist i blått trenger grensesyklusen igjen og igjen det samme punktet etter en viss periode, dette punktet er et fast punkt på Poincaré-kartet (også kalt Poincaré retur-kart ). Avstanden mellom skjæringspunktene og banene som ligger ved siden av grensesyklusen, derimot, avtar når grensesyklusen er stabil, og den øker når grensesyklusen er ustabil.

Stabiliteten til en grensesyklus for periode  T bestemmes av dens Floquet- multiplikatorer.

Grensesyklusen tilsvarer et fast punkt i Poincaré-kartet . Poincaré-kartet oppnås gjennom et snitt ( Poincaré-snitt ) i faseområdet, slik at grensesyklusen trenger inn i snittplanet vinkelrett med sin periode (se blå snittplan i illustrasjonen tilstøtende).

Stabiliteten av grensesyklus tilsvarer nå til stabiliteten av det faste punkt av sin Poincaré kartlegging  P .

La  x * være det faste punktet til  P , da . ${\ displaystyle Px ^ {*} = x ^ {*}}$

For et punkt  x som er nær det faste punktet, det vil si at figuren nå gjelder ${\ displaystyle x = x ^ {*} + \ delta x}$

${\ displaystyle Px (k) = x (k + 1)}$

med  k den kth gjennomtrengningen av Poincaré kuttet.

Forutsatt at den er liten, kan P antas å være lineær nær  x * ( DP (x *) er den Jacobianske matrisen til  P ved  x * ), og den følger ${\ displaystyle \ delta x}$

${\ displaystyle DP (x ^ {*}) \ delta x (k) = \ delta x (k + 1)}$.

De egenverdiene av  DP (x ') nå bestemme stabiliteten av  x * og kalles Floquet multiplikatorer på grensen syklusen. En av Floquet-multiplikatorene er alltid 1 og tilsvarer bevegelsesretningen på grensesyklusen; denne multiplikatoren kalles Goldstone Mode .${\ displaystyle m_ {i}}$

• hvis alle andre multiplikatorer er mindre enn 1 i størrelse (dvs. for alle  i unntatt Goldstone-modus ), er grensesyklusen asymptotisk stabil;${\ displaystyle | m_ {i} | <1}$
• hvis er for alle  i unntatt Goldstone-modus , er grensesyklusen ustabil.${\ displaystyle | m_ {i} |> 1}$

I tillegg til stabile og ustabile grensesykluser, er det også halvstabile grensesykluser, dvs. H. eksterne baner spiral mot grensesyklusen og indre spiraler vekk fra den (eller omvendt).

Hopf-bifurkasjon

Parameteren endres. I de to øvre tilfellene går begge banene til et fast punkt, i tilfelle av en negativ parameter (nedre bilder), går de to banene mot en grensesyklus. Ved en viss parameterverdi mellom −0.1 og 0.1, har det stabile faste punktet resultert i en stabil grensesyklus, dette punktet kalles Hopf-bifurkasjon.${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$

Grensesykluser oppstår generelt fra Hopf-bifurkasjoner . Hvis man vurderer en løsning av et system med differensiallikninger med en gratis parameter og endrer den kontinuerlig, kan forgreningspunkter oppstå, dvs. H. den vurderte løsningen endres kvalitativt. En grensesyklus kan oppstå fra et fast punkt og omvendt.

Et eksempel er å slå på en laser :

• Så lenge pumpestrømmen er under terskelstrømmen , tennes ikke laseren, dvs. H. det utstrålede elektriske feltet er , og et stabilt fast punkt.${\ displaystyle p_ {th}}$${\ displaystyle {\ vec {E}} (t) = 0}$
• Så snart terskelstrømmen overskrides, begynner imidlertid laseren å skinne, den gjelder, og dette er en stabil grensesyklus med perioden . Forgreningen som oppstår ved er derfor en superkritisk Hopf-forgrening.${\ displaystyle {\ vec {E}} (t) \ propto e ^ {i \ omega t}}$${\ displaystyle 2 \ pi / \ omega}$${\ displaystyle p_ {th}}$

Faseplass for Hopf-bifurkasjonen. Mulige baner i røde, stabile strukturer i mørkeblå, ustabile strukturer i stiplet lyseblå. Forekomsten av en grensesyklus og dens stabilitet avhenger av valg av parametere.

applikasjon

Grensesykluser brukes i mange vitenskapelige modeller av systemer med selvbærende svingninger. Noen eksempler:

• Den Hodgkin - Huxley modell for nevrale aksjonspotensialer .
• Sel'kov-modellen for glykolyse .
• De daglige svingningene i hormoner og temperaturer hos dyr.
• Den migrering av kreftceller i lukkede mikromiljøer.

hovne opp

1. ↑ Definisjon av grensesyklus på PlanetMath.org
2. ↑ For eksempel Johnstone, Limit cycles, van der Pol oscillator og Poincaré-Bendixson teorem , pdf
3. ↑ KT Chau, Zheng Wang: Kaos i elektriske drivsystemer: analyse, kontroll og anvendelse . John Wiley & Sons, 31. mars 2011, ISBN 978-0-470-82836-6 (åpnet 7. august 2012).
4. ↑ Valentin Flunkert: Delay-Coupled Complex Systems: and Applications to Lasers . Springer, 1. juli 2011, ISBN 978-3-642-20249-0 , s. 159– (åpnet 7. august 2012). Legg merke til forholdet mellom Floquet-eksponenten og Floquet-multiplikatoren med perioden  T i grensesyklusen.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle m = e ^ {\ mu T}}$
5. ↑ Richard H. Enns, George McGuire: Ikke-lineær fysikk med lønn for forskere og ingeniører . Springer, 2000, ISBN 978-0-8176-4119-1 , s. 260– (åpnet 7. august 2012).
6. ↑ EE Sel'kov: Selvoscillasjoner i glykolyse 1. En enkel kinetisk modell . I: European Journal of Biochemistry . 4, nr. 1, 1968, ISSN  1432-1033 , s. 79-86. doi : 10.1111 / j.1432-1033.1968.tb00175.x .
7. ↑ Jean-Christophe Leloup, Didier Gonze, Albert Goldbeter: Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora . I: Journal of Biological Rhythms . 14, nr. 6, 1. desember 1999, ISSN  0748-7304 , s. 433-448. doi : 10.1177 / 074873099129000948 .
8. ^ Till Roenneberg, Elaine Jane Chua, Ric Bernardo, Eduardo Mendoza: Modellering av biologiske rytmer . I: Nåværende biologi . 18, nr. 17, 9. september 2008, ISSN  0960-9822 , s. R826-R835. doi : 10.1016 / j.cub.2008.07.017 .
9. ^ David B. Brückner, Alexandra Fink, Christoph Schreiber, Peter JF Röttgermann, Joachim Rädler, Chase P. Broedersz: Stokastisk ikke-lineær dynamikk av begrenset cellevandring i tostatssystemer . I: Naturfysikk . 15, nr. 6, 2019, ISSN  1745-2481 , s. 595-601. doi : 10.1038 / s41567-019-0445-4 .

litteratur

• Cristoforo Sergio Bertuglia; Franco Vaio: Ikke-linearitet, kaos og kompleksitet: dynamikken i naturlige og sosiale systemer Oxford; New York: Oxford University Press, 2005, ISBN 9780198567905