Van der Pol-systemet

Den van der Pol oscillator er et oscillerende system med ikke-lineær demping og selv-eksitasjon . For små amplituder er dempingen negativ (amplituden økes); Fra en viss terskelverdi på amplituden blir dempingen positiv, systemet stabiliserer seg og går inn i en grensesyklus . Modellen ble oppkalt etter den nederlandske fysikeren Balthasar van der Pol , som presenterte den i 1927 som et resultat av sin forskning på oscillatorer med vakuumrør .

applikasjon

Det homogene (dvs. uforstyrrede) Van der Pol-systemet oppfyller betingelsene i Poincaré-Bendixson-teoremet , og det er derfor kaos ikke kan oppstå med det. I motsetning til det, oppfylles ikke lenger betingelsene for Poincaré-Bendixson-teoremet i det inhomogene (dvs. forstyrrede) Van der Pol-systemet , her kan deterministisk kaos forekomme.

Matematisk beskrivelse

Homogen Van der Pol-ligning

Oppførsel til den homogene van der Pol-ligningen

Den dimensjonsløse homogene differensiallikningen til andre orden

${\ displaystyle {\ ddot {x}} - \ varepsilon (1-x ^ {2}) {\ dot {x}} + x = 0}$

med som parameter og som en tidsavhengig variabel beskriver oppførselen til en gratis van der Pol-oscillator over tid. En lukket løsning eksisterer ikke. Stasjonære punkter er nyttige for å undersøke prinsippatferden . For : ${\ displaystyle \ varepsilon \ geq 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = \ mathrm {const}}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {s} = 0}$

De linearisering av differensialligningen med

${\ displaystyle x (t) = x_ {s} + \ Delta x (t)}$

resultater

${\ displaystyle \ Delta {\ ddot {x}} - \ varepsilon \ Delta {\ dot {x}} + \ Delta x = 0}$

Den karakteristiske ligningen er

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - \ varepsilon \ cdot \ lambda + 1 = 0}$

med løsningene

${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = {\ frac {\ varepsilon} {2}} \ pm {\ frac {\ sqrt {\ varepsilon ^ {2} -4}} {2}}}$

I henhold til størrelsen på er det følgende tilfeller: ${\ displaystyle \ varepsilon}$

• ${\ displaystyle \ varepsilon> 2}$; eksponentiell vekst av det lineariserte systemet, d. H. systemet er ustabilt rundt det stasjonære punktet
• ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon <2}$; økende vibrasjoner
• ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$; harmonisk svingning .

Den negative dempingen ( ) for små forlengelser av oscillatoren blir positiv for større forlengelser ( ). Svingningen dempes for å stimuleres igjen i tilfelle små forlengelser. ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle | x |> 1}$

Egenskapene til løsningsadferden er:

• Den periode av svingningen øker med parameteren .${\ displaystyle \ varepsilon}$
• Når den øker , blir svingningen mer anharmonisk og endres til vippende svingninger .${\ displaystyle \ varepsilon \;}$
• Uavhengig av de valgte startbetingelsene , tilstreber systemet en viss grensesyklus.

Beviset for eksistensen av en utvetydig, asymptotisk stabil grensesyklus blir gjort ved hjelp av Poincaré-kartet .

Inhomogen Van der Pol-ligning

Oppførsel til den inhomogene Van der Pol-ligningen

Den dimensjonsløse inhomogene differensialligning av andre orden

${\ displaystyle {\ ddot {x}} - \ varepsilon (1-x ^ {2}) {\ dot {x}} + x = F \ cdot \ sin (\ omega \ cdot t)}$

beskriver den drevne van der Pol-oscillatoren med amplituden og vinkelfrekvensen . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Noen funksjoner i løsningen:

• For små amplituder av eksitasjonen, svinger systemet med den naturlige frekvensen .
• For større amplituder oppstår andre frekvenser i tillegg til den naturlige frekvensen og eksitasjonsfrekvensen. Det viser kvasiperiodisk oppførsel: Hvis man definerer følgende Poincaré-kutt med tiden t

${\ displaystyle t = {\ frac {n \ cdot 2 \ pi} {\ omega}}, n \ in \ mathbb {N}}$

det todimensjonale (stroboskopiske) bildet oppnås. Den ene Lyapunov-eksponenten er null, og den andre er negativ, noe som betyr en kvasi-periodisk bevegelse.

• En ytterligere økning i amplituden fører til låsing: systemet svinger ved eksiteringsfrekvensen.

weblenker

• Van der Pol Oscillator på Scholarpedia
• Van Der Pol Oscillator Interactive Demo

Individuelle bevis

1. ↑ Gerald Teschl : ordinære differensialligninger og dynamiske systemer (=  Graduate studier i matematikk . Volume 140 ). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 ( gratis online versjon ).