Hilbert problemer

De Hilbert problemer er en liste over 23 problemer i matematikk . De ble presentert av den tyske matematikeren David Hilbert 8. august 1900 på den internasjonale matematikerkongressen i Paris og var ikke løst på den tiden.

historie

Forhistorie og bakgrunn

Hilberts forberedelse til matematikerkongressen i 1900

Hilbert var invitert til å holde et foredrag for den andre internasjonale matematikerkongressen i Paris i august 1900 . Han bestemte seg for ikke å holde et "foredrag" der han ville forelese og sette pris på det som hittil hadde blitt oppnådd i matematikk, og heller ikke svare på forelesningen av Henri Poincaré på den første internasjonale matematikerkongressen i 1897, som handlet om forholdet mellom matematikk og fysikk hadde presentert. I stedet var foredraget hans ment å tilby et programmatisk syn på fremtidig matematikk i det kommende århundre . Dette målet kommer til uttrykk i hans innledende ord:

Han brukte derfor kongressen som en mulighet til å lage en tematisk bred liste over uløste matematiske problemer. Allerede i desember 1899 begynte han å tenke på emnet. På begynnelsen av det nye året ba han sin nære venn Hermann Minkowski og Adolf Hurwitz om forslag til hvilke områder et tilsvarende foredrag skulle dekke; både leste manuskriptet og kommenterte det før forelesningen. Hilbert skrev ikke endelig ned listen sin før rett før kongressen - så den vises ikke i det offisielle kongressprogrammet. Foredraget skulle opprinnelig holdes ved åpningen, men Hilbert jobbet fortsatt med det på den tiden.

Matematikerkongressen

Færre matematikere kom til kongressen enn forventet (rundt 250 i stedet for de forventede 1000). Hurwitz og Felix Klein var ikke til stede, men Minkowski. Hilbert var president for seksjonen om algebra og tallteori, som møttes fra 7. august (den andre dagen av konferansen) til 10. august. Hilberts foredrag fant sted i seksjoner 5 og 6 (Bibliografi, historie, undervisning og metoder, Moritz Cantors presidentskap ) onsdag 8. august om morgenen i Sorbonne .

På grunn av tidsbegrensninger presenterte han i utgangspunktet bare ti problemer (nr. 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22). De fremmøtte fikk et fransk sammendrag av listen, som dukket opp kort tid etter i det sveitsiske magasinet L'Enseignement Mathématique . Den komplette tyske originalartikkelen dukket opp kort tid senere i nyhetene om Royal Society of Sciences i Göttingen og i 1901 med noen tillegg i arkivet for matematikk og fysikk .

I 2000 oppdaget den tyske historikeren Rüdiger Thiele et 24. problem i Hilberts originale notater , som imidlertid manglet i den endelige versjonen av listen og kan tilskrives bevisteori .

Problemer med arbeidet

Formulering av problemet

Matematikk ved århundreskiftet var ennå ikke godt etablert. Tendensen til å erstatte ord med symboler og vage begreper med streng aksiomatikk var ennå ikke veldig uttalt og var bare å la neste generasjon matematikere formalisere faget sitt sterkere. Hilbert kunne ennå ikke falle tilbake på Zermelo-Fraenkel settteori , begreper som topologisk rom og Lebesgue-integralen eller Church-Turing-avhandlingen . Den funksjonell analyse , som i seg selv blant annet ved Hilbert med innføringen av den med samme navn Hilbert rom ble etablert, hadde ennå ikke som en matematisk felt av den variasjonsregning separert.

Mange av problemene på Hilberts liste er - delvis av denne grunn - ikke formulert på en så presis og begrenset måte at de klart kan løses ved publisering av bevis . Noen problemer er mindre konkrete spørsmål enn krav om forskning på visse områder; for andre problemer er spørsmålene for vage til å kunne si nøyaktig hva Hilbert ville ha vurdert løsningen.

En feil fra Hilbert, som imidlertid ikke påvirker formuleringen av problemene, finner du i innledningen til artikkelen. Der uttrykker han sin overbevisning om at ethvert problem må være fundamentalt løst:

Løseligheten til problemene

Hilberts grunnleggende epistemologiske optimisme måtte relativiseres noe. Senest i 1931 med oppdagelsen av Gödel's ufullstendighetssetning og Turing's bevis på 1936 for at beslutningsproblemet ikke kan løses, kan Hilberts († 1943) tilnærming i sin opprinnelige formulering betraktes som for smal. Dette devalverer imidlertid ikke listen, fordi negative løsninger, for eksempel det tiende problemet, noen ganger fører til en stor gevinst i kunnskap.

Utvalg av problemer

Valget av problemer er delvis et veldig personlig utvalg av Hilbert og vokste ut av hans eget arbeid, selv om han som nevnt konsulterte sine nære venner Minkowski og Hurwitz (som var kjent for allsidigheten i sitt matematiske arbeid og hans leksikonoverblikk) . Ivor Grattan-Guinness nevner noen merkbare hull.

På den ene siden, den store Fermat formodning og tre-body problem (som Poincaré jobbet på mye), som han nevner i innledningen som førsteklasses eksempler på matematiske problemer, men ikke ta dem med i sin liste. Anvendt matematikk er sjelden representert (på det meste kan problem 6 klassifiseres der), like lite numerisk matematikk (bare kort nevnt i oppgave 13, hvis kjerne ligger andre steder) og underområdet for analysen senere kalt funksjonell analyse, som Hilbert selv arbeidet intensivt fra 1903 til 1910. Elektrodynamikken til bevegelige kropper (forhistorie om relativitetsteorien) manglet også og var et veldig aktivt forskningsområde på den tiden, der Poincaré også arbeidet og som Joseph Larmor , som også ledet en seksjon på kongressen, publiserte en viktig bok samme år (Aether and Matter) .

På den annen side finner Grattan-Guinness utelatelsen av matematisk logikk, statistikk og matriksteori (lineær algebra) forståelig, siden de ikke var så fremtredende som de er i dag. I motsetning til dette la Poincaré i sin forelesning på den internasjonale kongressen for matematikere i 1908 om matematikkens fremtid, på en måte et svar på Hilbert, stor vekt på applikasjoner og understreket den fremtidige utviklingen av topologi ("geometri av situasjonen") som en sentral bekymring for matematikk (Hos Hilbert vises den i oppgaver 5 og 16) og understreket også viktigheten av mengdeteori ("Cantorism"), med Hilbert representert i oppgave 1. Samlet sett var skildringen hans imidlertid mye mer vag og sketchy enn Hilberts.

Innflytelse av listen

Reaksjoner fra kongressdeltakerne

Ifølge Charlotte Angas Scott var den umiddelbare reaksjonen på kongressen skuffende, muligens på grunn av Hilberts tørre presentasjonsstil eller språkproblemer (Hilbert foreleste på tysk, men hadde tidligere hatt et sammendrag distribuert på fransk). Giuseppe Peano snakket for å bemerke at skolen hans ( Cesare Burali-Forti , Mario Pieri , Alessandro Padoa ) i det vesentlige hadde løst problemet med grunnlaget for regning, og at studenten Alessandro Padoa holdt et foredrag om den samme kongressen.

Rudolf Mehmke , som også var til stede på foredraget , kom med en kommentar om fremgang gjennom numeriske (nomografiske) metoder i oppgave 13, spesielt i ligningen til 7. grad. Ingen reaksjon er kjent fra Poincaré, og han var sannsynligvis ikke til stede på Hilberts foredrag. Etter Ivor Grattan-Guinness var han mer interessert i anvendte spørsmål på den tiden og også mindre interessert i den aksiomatiske tilnærmingen. På den samme kongressen holdt han en av de to avsluttende forelesningene 11. august om rollen som intuisjon og logikk i matematikk og understreket rollen som intuisjon. Senere tok han imidlertid opp problemet med ensartethet (Hilberts problem 22), og i sitt foredrag om fremtiden for matematikk ved den internasjonale kongressen for matematikere i Roma i 1908 inkluderte han også problemet med grensesykluser (del av oppgave 16, i som Hilbert eksplisitt henviste til Poincaré tok) inn i sin egen liste over problemer. Der hyllet han også Hilbert for sitt arbeid med den aksiomatiske metoden og Dirichlet-problemet. Da konferansevolumet ble utgitt i 1902, ble viktigheten av Hilberts foredrag uttrykkelig anerkjent, og den ble derfor trykt utenfor sin seksjon i begynnelsen, umiddelbart etterfulgt av Poincarés foredrag.

Innflytelse på utviklingen av matematikk

Hilberts liste var ment å påvirke den videre utviklingen av matematikk. Dra nytte av det faktum at Hilbert var en av de mest kjente matematikerne i sin generasjon, og denne planen virket: Den lovet betydelig berømmelse å løse et av problemene i deler, slik at flere og flere matematikere var opptatt av temaene fra Hilberts foredrag og dermed - seg selv hvis de mislyktes - videreutviklet de relevante delområdene. Presentasjonen av denne listen hadde således en betydelig innflytelse på utviklingen av matematikk i det 20. århundre.

Selv om det har vært flere forsøk på å gjenskape denne suksessen, har ingen andre samlinger av problemer og antagelser hatt en lignende innvirkning på utviklingen av matematikk. Weil-antagelsene , oppkalt etter matematikeren André Weil , var innflytelsesrike, men begrenset til et underområde av tallteori , og lignende lister av John von Neumann ved den internasjonale kongressen for matematikere i 1954 (med liten innflytelse var foredraget ikke til og med publisert) og fra Stephen Smale på ( Smale problems ). I 2000 tildelte Clay Mathematics Institute premier på 1 million dollar hver for å løse syv viktige problemer . Imidlertid er kjendisen til Hilberts artikkel fortsatt unik til dags dato.

Problemene

I begynnelsen av listen stilte Hilbert spørsmål om aksiomatisk mengde teori og andre aksiomatiske betraktninger. Etter hans mening var det spesielt viktig at det matematiske samfunnet fikk klarhet i grunnleggende matematikk for å kunne forstå mer inngående uttalelser. Dette gjaldt ikke bare de aksiomatiske grunnlaget for geometrien, som Hilbert selv hadde utgitt en bok om kort tid før (1899), men også fysikk. Noen spørsmål om tallteori følger , som suppleres av algebraiske emner og til slutt av problemer fra funksjonsteori og beregning av variasjoner eller analyse.

Kort oversikt:

• 1. Problem , område: matematisk logikk
• 2. Problem , område: matematisk logikk
• 3. problem , domene: geometri
• 4. problem , domene: geometri
• 5. oppgave , område: algebraisk topologi
• 6. Problem , område: fysikk
• 7. Problem , domene: algebra
• 8. Problem , domene: analytisk tallteori
• 9. Problem , område: analytisk tallteori
• 10. Problem , domene: algebraisk tallteori
• 11. Problem , domene: tallteori
• 12. Problem , domene: algebraisk tallteori
• 13. Problem , område: tallteori
• 14. Problem , domene: algebra
• 15. Problem , domene: algebraisk geometri
• 16. Problem , domene: algebraisk kurve
• 17. Problem , domene: algebra
• 18. Problem , domene: geometri
• 19. Problem , domene: beregning av variasjoner
• 20. Problem , domene: differensiallikninger
• 21. Problem , domene: differensiallikninger
• 22. Problem , område: differensiell geometri
• 23. Problem , domene: beregning av variasjoner

Legende:

• Problemer som i stor grad er løst er markert i grønt.
• Problemer som er delvis løst er uthevet i gult.
• Problemer som fremdeles er uløste er markert med rødt.

Hilberts første problem

I mengdeteorien i dag starter matematikere for det meste fra ZFC , Zermelo-Fraenkel aksiomsystem med aksiom av valg (sistnevnte er noen ganger utelatt), som formelt underbygger alle matematiske hensyn. Man kan vise at på dette grunnlaget har mange sett den samme kraften, for eksempel settet med reelle tall, settet med komplekse tall , (reelle) intervallet eller maktsettet med naturlige tall . Den kontinuum hypotesen sier nå at alle apparater som ikke lenger kan telles , det vil si, kan ikke bringes inn i et 1: 1 forhold med naturlige tall , har minst makt de reelle tallene. ${\ displaystyle [0,1]}$

Kurt Gödel var i stand til å vise i 1939 at kontinuumhypotesen for ZFC er relativt fri for motsetninger: Hvis ZFC ikke fører til en motsetning, beholdes denne egenskapen dersom aksiomsystemet suppleres av kontinuumhypotesen. Paul Cohen var endelig i stand til å vise i 1963 at negasjonen av kontinuumhypotesen også er relativt konsistent med ZFC, så det kan ikke utledes fra ZFC. Det følger at kontinuumhypotesen er uavhengig av det klassiske aksiomsystemet og kan brukes som et nytt aksiom om nødvendig. For å bevise dette utviklet Cohen en av de viktigste metodene for aksiomatisk mengde teori, tvangsmetoden , som også ble brukt i undersøkelsen av uavhengigheten til mange andre teoremer i ZFC.

Et beslektet spørsmål som Hilbert la til i formuleringen av problemet sitt, er om det er en ordning av de reelle tallene. Ernst Zermelo var i stand til å bevise at dette faktisk er tilfelle på grunnlag av ZFC. Uten det valgte aksiomet, dvs. i ZF-systemet, kan ikke påstanden vises.

• Donald A. Martin : Hilberts første problem: kontinuumhypotesen . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 81-92.

Hilberts andre problem

I 1889 hadde Giuseppe Peano beskrevet et aritmetisk aksiomsystem som skulle etablere grunnlaget for matematikken. Hilbert var overbevist om at det skulle være mulig å vise at bare å starte fra dette grunnlaget i et endelig antall trinn (med begrensede metoder), kan ingen motsetninger genereres. Imidlertid ødela Kurt Gödel dette håpet da han med sin ufullstendighetssetning i 1930 viste at dette ikke er mulig å bruke bare Peano-aksiomene . Med transfinite metoder, som ikke var tillatt i henhold til Hilberts opprinnelige program, lyktes Gerhard Gentzen å bevise konsistensen av aritmetikk i 1936 .

• Georg Kreisel : Hva har vi lært av Hilberts andre problem? I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 93-130.

Hilberts tredje problem

To kropper kalles like hvis man kan bryte ned i et endelig antall deler slik at de enkelte delene kan settes sammen igjen for å danne det andre legemet. I det todimensjonale planet har polygoner samme område hvis og bare hvis de har samme nedbrytning (se Bolyai-Gerwiens teorem ). Det er en elementær teori basert på inndelingen i trekanter av området med enkle figurer (polygoner) avgrenset av rette sider, og man er ikke avhengig av ikke-elementære metoder som utmattelsesmetoden , som krever en grenseovergang og for overflater med buede kanter Påføring kommer. Spørsmålet oppstår om dette resultatet også gjelder i tredimensjonalt rom.

Max Dehn , en student av Hilbert, kunne svare på dette spørsmålet med "Nei" allerede i 1900, kort tid etter at de 23 problemene ble publisert. For å gjøre dette tildelte han hvert nummer et nummer kalt en strekningsvariant . I tillegg til volumet, var det et annet nummer som ble tildelt polyeder, som forble det samme (invariant) da polyhedrene ble spaltet. Det var avhengig av vinklene til nabosidene i polyhedronet og dets kantlengder (og er definert som summen av tensorproduktene til kantlengden og vinkelen på sidene som grenser til en kant over polyhedronens kanter). Med observasjonen at hver kube har Dehn-invarianten og hver vanlig tetraeder har en annen Dehn-invariant, følger uttalelsen. Problemet er det første på Hilberts liste som er løst. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0}$

Mens Dehn viste at likhetsgrad av utvidelse i tredimensjonalt euklidisk rom krever likestilling av utvidelsestallene (dette var allerede klart for volumet), viste JP Sydler i 1965 at dette også er tilstrekkelig : to polyeder er lik utvidelse hvis og bare hvis volum og utvidelsesnummer er det samme. I mer enn fire dimensjoner (for fire dimensjoner kan en lignende teorem bevises ved hjelp av Hadwiger-invarianter i stedet for Dehn-invarianter, generaliseringer av Dehn-invarianter på høyere dimensjoner introdusert av Hugo Hadwiger ) eller for eksempel det ikke-euklidiske rommet, ingen sammenlignbart resultat er kjent. Hvis man begrenser bevegelsene til oversettelser, kan likevel nedbrytning av polyedre karakteriseres ved hjelp av Hadwiger-invarianter i alle dimensjoner.

• CH Saw: Hilberts tredje problem: saks kongruens . Pitman, 1979.
• VG Boltianskii: Hilberts tredje problem . Wiley, 1978.

Hilberts fjerde problem

I over 2000 år ble geometri undervist ved hjelp av de fem aksiomene til Euklid. Mot slutten av 1800-tallet begynte man å undersøke konsekvensene av å legge til og fjerne forskjellige aksiomer. Lobachevsky undersøkte en geometri der aksiomet av paralleller ikke holder, og Hilbert undersøkte et system der det arkimediske aksiomet var fraværende. Hilbert undersøkte til slutt de aksiomatiske grunnlaget for geometrien i detalj i sin bok med samme navn. I sine 23 problemer ba han endelig om en "liste og systematisk behandling av [...] geometrier" som tilfredsstiller et visst aksiomsystem der den korteste forbindelsen mellom to punkter alltid er den rette linjen mellom punktene. Problemet tilsvarer undersøkelsen av geometrier som er så nær som mulig den vanlige euklidiske geometrien. I Hilberts system for aksiomer med euklidisk geometri beholdes aksiomene for forekomst, arrangement og kontinuitet, men aksiomene for kongruens svekkes: det sterke aksiomet for kongruens III-6 (trekantet kongruens) antas ikke lenger, men at lengden på sider i en trekant er mindre enn eller lik Er summen av lengden på de andre to (som tilsvarer det faktum at den rette linjen er den korteste forbindelsen mellom to punkter). Euklids teorem om at den rette linjen er den korteste forbindelsen mellom to punkter ble avledet ved hjelp av den trekantede kongruenssatsen. Hilbert fant et eksempel på en slik geometri nær euklidisk geometri med de nye postulatene i geometrien av tall av Hermann Minkowski og Hilbert selv ga et annet eksempel.

Allerede i 1901 var Georg Hamel , en student av Hilbert, i stand til å komme med viktige uttalelser om slike systemer i sin avhandling, som han publiserte i 1903. Når det gjelder flyet, var han i stand til å spesifisere og klassifisere en hel serie av slike geometrier, hvorav de nevnte Hilbert- og Minkowski-geometriene er typiske eksempler. I følge Isaak Moissejewitsch Jaglom løste Hamel det fjerde Hilbert-problemet på en bestemt måte, med begrensningen at han brukte analysemetoder for beregning av variasjoner, som er mindre ønskelige i grunnleggende geometrisk forskning fordi de gir ytterligere antagelser (krav om differensiering). I tiårene framover ble det gjentatte ganger publisert papirer som bidro med ytterligere resultater til Hilberts fjerde problem. Herbert Busemann behandlet blant annet omfattende geometriene det var snakk om og skrev en monografi om den. Ifølge Busemann satte Hilbert problemet for langt, sannsynligvis fordi han ikke forsto hvor mange slike geometrier det var, og ytterligere begrensninger (aksiomer) er å anta. Busemanns metode ble utvidet av Alexei Wassiljewitsch Pogorelow , som publiserte en monografi om det fjerde problemet i 1979.

• Herbert Busemann: Geodesics geometri . Academic Press 1955, Dover 2005.
• Herbert Busemann: Oppgave IV: Desarguesiske rom . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 131-141.
• AV Pogorelov: Hilberts fjerde problem . Winston & Wiley, 1979.

Hilberts femte problem

På slutten av 1800-tallet forsøkte Sophus Lie og Felix Klein å aksiomatisere geometri ved hjelp av gruppeteoretiske midler, men basert på antagelser om at forskjellige funksjoner kunne differensieres . Hilbert spurte seg selv på hvilken måte teorien fremdeles holder uten disse antagelsene. Siden feltet algebraisk topologi ikke utviklet seg før på 1900-tallet, har formuleringen av problemet endret seg over tid. Hilberts opprinnelige versjon refererte bare til kontinuerlige transformasjonsgrupper.

En mer detaljert formulering av problemet er som følger: Tenk på en gruppe med et nøytralt element , et åpent sett i det euklidiske rommet som inneholder, og et kontinuerlig kart som tilfredsstiller gruppeaksiomene på det åpne delsettet av . Spørsmålet er da om det i et nabolag med glatt , dvs. uendelig ofte , er forskjellig . Etter at John von Neumann (1933, løsning for kompakte grupper), Lew Pontryagin (1939, løsning for abelske grupper) og Claude Chevalley (løsbare topologiske grupper, 1941) klarte å løse spesielle tilfeller (og andre matematikere klarte å løse problemet for dimensjoner opp til fire), lyktes Andrew Gleason , Deane Montgomery og Leo Zippin på 1950-tallet, den endelige avklaringen av problemet. De beviste til og med at lokalt euklidiske topologiske grupper er virkelige analytiske. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle F \ kolon V \ ganger V \ til U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle e}$

Beviset var veldig teknisk og komplisert. Joram Hirschfeld ga et enklere bevis innenfor rammen av den ikke-standardiserte analysen . Problemet var veldig fasjonabelt i perioden etter andre verdenskrig, og løsningen som ble funnet i 1952 avsluttet praktisk talt forskningsområdet etter Jean-Pierre Serre , som da prøvde å løse det selv.

Spørsmålet er åpent: Er en lokalt kompakt topologisk gruppe, hvis gruppearbeid fungerer trofast på et topologisk manifold, en Lie-gruppe? (Hilbert-Smith-formodningen etter Hilbert og Paul A. Smith ). Et eksempel vil være p-adiske heltall. Det gjelder ikke disse at de ikke har noen små undergrupper - en tilstand som ifølge Gleason, Montgomery og Zippin karakteriserer Lie-gruppene blant de lokalt kompakte topologiske gruppene. En topologisk gruppe har ingen små undergrupper hvis det er et nabolag i enheten som ikke inneholder undergrupper større enn . Noen matematikere ser på Hilbert-Smith-formodningen som den faktisk riktige formuleringen av Hilbert-problemet. ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ {e \}}$

• A. Gleason: Grupper uten små undergrupper . Annals of Mathematics , bind 56, 1952, s. 193-212.
• D. Montgomery, L. Zippin: Små grupper av endedimensjonale grupper. Annals of Mathematics, bind 56, 1952, s. 213-241.
• I. Kaplansky: Lie algebras og lokalt kompakte grupper . University of Chicago Press, 1964.
• CT Yang: Hilberts femte problem og relaterte problemer på transformasjonsgrupper . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 142-146.

Hilberts sjette problem

I følge Leo Corry tar det sjette problemet ikke en outsiderrolle i listen over problemer for Hilbert, slik man ofte antar, men tilsvarte på en sentral måte hans interesser over lang tid (i det minste fra 1894 til 1932 ). Dette programmet inkluderer for eksempel hans velkjente avledning av feltligningene til generell relativitet fra et variasjonsprinsipp (1916). I følge Corry er det også en misforståelse av Hilberts oppfatning av hans program for aksiomatisering, som hovedsakelig var basert på Hilberts senere program for grunnlaget for matematikk, som i forbindelse med fysikk primært tjente til å avklare den logiske strukturen til etablerte teorier. På tidspunktet for foredraget fulgte Hilbert fremdeles tradisjonen fra 1800-tallet med å ønske å redusere fysikk til mekanikk, og formuleringen hans på den tiden konsentrerte seg om mekanikk, sterkt påvirket av Heinrich Hertzs ​​forskning på grunnleggende mekanikk og av Ludwig Boltzmann. (overgang fra statistisk mekanikk til kontinuummekanikk). Senere gikk Hilberts interesse mye lenger enn dette; senest i 1905 utvidet han den også til å inkludere elektrodynamikk, som han ikke eksplisitt hadde nevnt i sin liste over problemer. I 1905 holdt han et foredrag om aksiomatisering av fysikk, der han blant annet inkluderte termodynamikk og elektrodynamikk. Hans bestrebelser på å aksiomatisere geometri var også motivert for å gi en grunnleggende empirisk teori et strengt grunnlag (og forenkle den). Siden han også inkluderte sannsynlighetsteori, kan Andrei Kolmogorows aksiomatisering av den sees på som et bidrag til Hilberts program.

Det har alltid vært tilnærminger til aksiomatiseringer i fysiske underområder, for eksempel termodynamikk ( Constantin Caratheodory ), kvantefeltteori ( Arthur Wightman og Wightman aksiomer , Rudolf Haag , Daniel Kastler , Huzihiro Araki og Haag-Kastler aksiomer, Osterwalder- Schrader aksiomer ), Topologisk kvantefeltteori , konforme feltteorier og fysikere som behandlet den grunnleggende strukturen til fysiske teorier som Günther Ludwig .

• Joseph Kouneiher (red.): Foundations of Mathematics and Physics One Century after Hilbert: New Perspectives, Springer 2018
• Leo Corry: Hilberts sjette problem: mellom grunnlaget for geometri og aksiomatisering av fysikk . Phil. Trans. R. Soc. A 376 (2118), 2018, 20170221; doi : 10.1098 / rsta.2017.0221 .
• Arthur Wightman: Hilberts sjette problem: matematisk behandling av fysikkens aksiomer . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 147-240.

Hilberts syvende problem

Et komplekst tall kalles algebraisk hvis det er null til et polynom med heltallskoeffisienter, ellers kalles det transcendent . For eksempel, kvadratroten av 2 er et tall som er ikke lenger rasjonell , men likevel algebraisk som et null av . Reelle tall som ikke lenger er algebraiske (og derfor transcendente ) er for eksempel sirkelnummeret eller Eulers nummer . ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle e}$

På Hilberts tid var det allerede noen resultater om transcendensen av forskjellige tall. Ovennevnte problem virket spesielt vanskelig for ham, og han håpet at løsningen ville gi en dypere forståelse av tallets natur. Etter at problemet først ble løst for noen få spesielle tilfeller ( Alexander Gelfond 1929, Rodion Kusmin 1930), klarte Alexander Gelfond å bevise uttalelsen i 1934. Kort tid senere forbedret Theodor Schneider setningen ytterligere, slik at svaret på Hilberts syvende problem nå er kjent som Gelfond-Schneider-setningen .

Hilberts syvende problem kan også forstås som en uttalelse om par logaritmer av algebraiske tall (nemlig at deres lineære uavhengighet over de rasjonelle tallene resulterer i den lineære uavhengigheten over de algebraiske tallene). I denne formuleringen er setningen betydelig utvidet av Alan Baker .

En generalisering av Hilberts spørsmål vil bli besvart med et bevis eller en tilbakevisning av Schanuel-gjetningen som Stephen Schanuel la fram på 1960-tallet.

• Robert Tijdeman : Hilberts syvende problem: Gelfond-Baker-metoden og applikasjoner . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 241-268.

Hilberts åttende problem

De to nevnte problemene er kjent som Riemann-hypotesen og Goldbach-hypotesen, og er to av de mest populære uløste problemene i matematikk. Over en billion billioner er allerede beregnet for det første spørsmålet, og det er ikke funnet noen som vil forfalske antagelsen. Det andre spørsmålet er allerede undersøkt opp til størrelsesorden . Men den dag i dag er det ikke funnet bevis. Beviset for analogen av Riemann-formodningen for kurver over endelige felt av Pierre Deligne , en del av Weil- formodningene, ble ansett som et betydelig fremskritt . ${\ displaystyle 10 ^ {18}}$

Under overskriften " Primtallproblemer " har Hilbert samlet enda flere spørsmål som er relatert til primtall . For eksempel nevner han at (også uløst) spørsmålet om hvorvidt det finnes et uendelig antall prim tvillinger og om ligning med vilkårlig helt tall, forholdsvis prime koeffisienter , og alltid primtall løsninger , er en liten endring av Goldbach formodning og likeledes uløst. ${\ displaystyle ax + av + c = 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

• Enrico Bombieri : Hilberts 8. problem: en analog . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 269-274.
• Hugh Montgomery : Problemer angående primtall (Hilberts problem 8) . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 1, 1976, s. 307.

Hilberts niende problem

Den kvadratiske gjensidighetsloven bevist av Gauss (formulert med Legendre-symbolet ):

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}}$

gir kriterier for å løse kvadratiske ligninger i modulær aritmetikk og, med sine generaliseringer, spilt en sentral rolle i algebraisk tallteori. På 1800-tallet var det allerede kjent flere høyere gjensidighetslover, også fra Hilbert i sin tallrapport , der han introduserte Hilbert-symboler i formuleringen . Hilbert ba om en formulering og et bevis for generelle algebraiske tallfelt . Med utviklingen av klassefeltteori som begynte med Teiji Takagi , var de nødvendige midlene tilgjengelige slik at Emil Artin kunne løse problemet i den abelske utvidelsen av algebraiske tallfelt ( Artins lov om gjensidighet , 1924), og Helmut Hasse beviste også gjensidighetssetninger i klassefeltteori. I 1948 gjorde Igor Schafarewitsch betydelige fremskritt i spørsmålet om eksplisitte formler for denne gjensidighetsloven , med Helmut Brückner , Sergei Wladimirowitsch Vostokow og Guy Henniart som forenklet og utvidet resultatene. En ytterligere generalisering til den ikke-abelske saken kunne ikke nås så langt, og er et av hovedproblemene med algebraisk tallteori, også knyttet til Hilberts 12. problem.

• John T. Tate : Den generelle gjensidighetsloven . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 311-323.

Hilberts tiende problem

Diofantiske ligninger er ligninger av formen , der et polynom er i flere variabler og med heltallskoeffisienter og bare hele tall blir betraktet som løsninger. Et velkjent eksempel er ligningen knyttet til den pythagoreiske teoremet . Diofantiske ligninger spiller en viktig rolle i matematikkens historie, og mange store matematikere har studert slike formler grundig. ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0}$

Selv om spesielle tilfeller alltid kunne løses, virket en generell løsning utilgjengelig for matematikere på 1800-tallet. Derfor spurte Hilbert bare hvordan man kan sjekke om en gitt Diophantine-ligning i det hele tatt har heltalløsninger, uten å kunne oppgi dem presist. Imidlertid er dette problemet fortsatt så vanskelig at det var først i 1970 at Yuri Matiyasevich var i stand til å bevise at en slik prosedyre ikke eksisterer for den generelle saken. Julia Robinson , Martin Davis og Hilary Putnam gjorde det forberedende arbeidet .

Når man vurderer den algoritmiske løsbarheten, er det tilstrekkelig å vurdere diofantiske ligninger i fjerde eller lavere grad, som problemet kan reduseres til ( Thoralf Skolem 1934). I følge Matyasevich er det ingen algoritme for den generelle diofantiske ligningen av fjerde grad. Det uløste spørsmålet er om det er noe slikt for den generelle kubiske ligningen. For kvadratiske og lineære ligninger viste imidlertid Carl Ludwig Siegel i 1972 at en slik algoritme eksisterer.

Hvis man ser på ringen av algebraiske heltall i stedet for løsninger i hele tall, er det en slik algoritme ifølge Robert Rumely (1986).

• Martin Davis, Reuben Hersh: Hilberts tiende problem . Scientific American, bind 229, november 1973.
• Martin Davis: Hilberts tiende problem er uløselig . American Mathematical Monthly, bind 80, 1973, s. 233-269.
• Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Julia Robinson: Hilberts tiende problem, diofantiske ligninger, positive sider ved en negativ løsning . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 323-378.
• Yuri Matiyasevich: Hilberts tiende problem . MIT Press, 1996.
• Alexandra Shlapentokh: Hilberts tiende problem: Diofantinske klasser og utvidelser til globale felt . Cambridge UP, 2006.

Hilberts ellevte problem

En firkantet form er en funksjon av formen , hvor er en vektor og en symmetrisk matrise . På 1800-tallet ble omfattende kunnskap om kvadratiske former oppnådd over de rasjonelle tallene. Hilbert spurte om utvidelser av felt med algebraisk tall og et hvilket som helst antall variabler. I flere tiår etter Hilberts foredrag har det blitt publisert en rekke resultater som tar for seg detaljene. Det lokal-globale prinsippet , som Helmut Hasse formulerte i 1923 (setning av Hasse-Minkowski), teller som et sentralt resultat . Deretter følger global løsbarhet (over feltet rasjonelle tall, et globalt felt ) fra lokale (over lokale felt , feltet av p-adic og reelle tall) for kvadratiske former . Andre bidrag ble gitt av Ernst Witt (geometrisk teori om firkantede former) og Carl Ludwig Siegel (analytisk teori).${\ displaystyle q (x) = x ^ {T} Axe}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$

• Timothy O'Meara : Hilberts ellevte problem: den aritmetiske teorien om kvadratiske former . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 379-400.

Hilberts tolvte problem

Kronecker-Webers teorem sier at den maksimale abelske utvidelsen av feltet med rasjonelle tall er skapt ved tillegg av alle enhetens røtter (felt av sirkulær divisjon). I dette tilfellet er spesielle verdier for den eksponensielle funksjonen tilknyttet rasjonelle tall, generelt kan disse også være verdier for andre spesielle funksjoner som elliptiske funksjoner (forbindelsen mellom utvidelser av imaginære kvadratiske tallfelt og elliptiske kurver med kompleks multiplikasjon var gjenstand for Kronecker's "Jugendtraum"), og man ønsker en eksplisitt beskrivelse av disse utvidelsene. Hilbert la stor vekt på generaliseringen av denne teoremet. Selv om det var mange fremskritt i feltet i det 20. århundre (for eksempel de såkalte CM-kroppene ifølge Gorō Shimura og Yutaka Taniyama (deres monografi dukket opp i 1961), som er assosiert med abelske varianter med kompleks multiplikasjon), til en løsning av Hilberts Det tolvte problemet oppstod imidlertid ikke ennå.

• Robert Langlands : Noen samtidige problemer med opprinnelse i Jugendtraum (Hilberts problem 12) . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 401-418 ( online ).
• Norbert Schappacher : Om historien til Hilberts tolvte problem, i: Michele Audin (red.), Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle Actes du colloque à la mémoire de Jean Dieudonné (Nice 1996), SMF 1998

Hilberts trettende problem

Problemet har sine røtter i teorien om algebraiske ligninger, som det har vært kjent siden Galois og Abel at løsningene til femte og høyere grad ligninger ikke kan gis som en funksjon av koeffisientene som bruker elementære aritmetiske operasjoner og radikale uttrykk. Reduksjonen til standardformer, for eksempel med Tschirnhaus-transformasjoner og tillegg av ytterligere ligninger i en variabel, førte generelt ikke til ønsket suksess. Selv om den femte grads ligningen kunne reduseres til en standardform med en parameter, den sjette grads ligningen til en med to parametere, lyktes den syvende grads ligningen bare å redusere den til en normal form med tre parametere a, b og c:

${\ displaystyle f ^ {7} + a \, f ^ {3} + b \, f ^ {2} + c \, f + 1 = 0}$

Hilbert mistenkte at dette ikke kunne reduseres til to parametere, ikke engang i den brede klassen av kontinuerlige funksjoner. I denne generelle formen, om det er kontinuerlige funksjoner i tre variabler som ikke kan representeres som en sammenkobling av endelig mange kontinuerlige funksjoner i to variabler, ble Hilberts antagelse tilbakevist av Andrei Kolmogorow og Wladimir Arnold i 1957. Kolmogorow viste først at hver kontinuerlig funksjon av variabler kan uttrykkes av de av tre variabler ved superposisjon, og studenten Arnold forbedret dette til to variabler. Funksjonene som brukes, trenger ikke en gang å kunne differensieres og er heller ikke algebraiske. ${\ displaystyle n}$

Antagelsen forble åpen når man vurderer andre klasser som inkluderer de algebraiske funksjonene. Når det gjelder analytiske funksjoner, hadde Hilbert allerede funnet når det gjelder tre variabler at det er de i tre variabler som ikke kan representeres av de i to variabler, og Alexander Markowitsch Ostrowski beviste i 1920 at de i to variabler generelt ikke kan representeres av de i en variabel er representable. Spørsmålet om p-ganger kontinuerlig differensierbare funksjoner til n variabler kan representeres av q-ganger differensierbare av m variabler ble også undersøkt. Wituschkin viste i 1955 at dette generelt ikke er mulig for. kan forstås som et mål på kompleksiteten til p-fold differensierbare funksjoner i n variabler.${\ displaystyle {\ frac {m} {q}} <{\ frac {n} {p}}}$${\ displaystyle {\ frac {n} {p}}}$

Det oppløsende problemet ber om minimum k, slik at løsningene til en algebraisk ligning av den nte graden kan uttrykkes ved å overlegge algebraiske funksjoner av k-variabler. For er . I et verk fra 1926 antok Hilbert at i hvert tilfelle for og fant det i . Anders Wiman viste at for sanne Flere resultater oppnådde Nikolai Chebotaryov , for eksempel for . Fra og med 2016 behandlet Benson Farb og Jesse Wolfson også denne varianten av Hilberts 13. problem og oppnådde delvise resultater for polynomer av høyere grad i begrensningen av k (graden av oppløsning ifølge Richard Brauer ), som de ser som den faktiske formulering av Hilberts 13. problem. Vladimir Arnold sa også i en gjennomgang av sitt livsverk at ifølge hans nåværende oppfatning ville spørsmålet om representasjon (superposisjon) av en algebraisk funksjon i tre variabler av en av to variabler mer tilsvare Hilberts problem.${\ displaystyle n = 5}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2,3,4}$${\ displaystyle n = 6,7,8}$${\ displaystyle n = 9}$${\ displaystyle k = 4}$${\ displaystyle n \ geq 9}$${\ displaystyle k \ leq n-5}$${\ displaystyle k \ leq n-6}$${\ displaystyle n \ geq 21}$

• George G. Lorentz : Det 13. problemet med Hilbert . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 419-430.
• Jean-Pierre Kahane : Le 13èmeproblemème de Hilbert: un carrefour de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie . I: Cahiers du seminaire d'histoire des mathématiques . Volum 3, 1982, s. 1-25 ( online ).
• Anatoly Georgijewitsch Wituschkin : Om det trettende Hilbert-problemet . I: P. Alexandrov (red.): Hilbert-problemene . Harri Deutsch, 1998.

Hilberts fjortende problem

I det fjortende problemet beskriver Hilbert spesielle ringer: La en polynom ring over en kropp , en underdel av kroppen til de rasjonelle funksjonene i variabler, og vær skjæringspunktet ${\ displaystyle K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L \ subseteq K (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R: = L \ cap K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$

Spørsmålet er da om ringene som er konstruert på denne måten alltid genereres endelig , dvs. om det er en endelig delmengde av ringen som genererer. ${\ displaystyle R}$

Problemet oppstod i sirkelen til den invariante teorien (ringer under handling av visse grupper av invariante polynomer) som blomstret på slutten av 1800-tallet, hvor Hilbert selv hadde forårsaket opprør i 1890, ved å bevise den endelige produksjonen av polynomiske invariante ringer i tilfelle av noen klassiske semi-enkle Løgngrupper (som den generelle og spesielle lineære gruppen) og hensyn over de komplekse tallene. Ved å gjøre dette brukte han den grunnleggende setningen han hadde bevist . Dette var av Hermann Weyl ble senere utvidet til alle semi-enkle Lie-grupper. Oscar Zariski formulerte problemet i sammenheng med algebraisk geometri.

Fram til 1950-tallet var det mulig å bevise for noen spesielle tilfeller, i spesielle tilfeller og (Oscar Zariski), at ringene konstruert på denne måten faktisk er endelige. Resultatene antydet derfor at denne uttalelsen også kunne gjelde for alle ringer av den beskrevne typen. Derfor kom resultatet av Masayoshi Nagata som en overraskelse , som ga et moteksempel i 1957, der dette ikke er tilfelle, og dermed løste problemet negativt.${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n = 2}$

• Masayoshi Nagata: Om det 14. problemet med Hilbert . American Journal of Mathematics, bind 81, 1959, s. 766-772, ISSN  0002-9327 .
• David Mumford : Hilberts fjortende problem - den endelige generasjonen av underordninger som ringer av invarianter . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 431-444.

Hilberts femtende problem

Schuberts telleberegning dateres tilbake til 1800-tallet og gjelder kryss av algebraiske varianter. Det ble tatt opp av den italienske skolen for algebraisk geometri ( Francesco Severi og andre), men de brukte ikke-strenge metoder (heuristiske kontinuitetsargumenter for uforanderligheten i kryssnumrene). Med den videre utviklingen av algebraisk geometri i det 20. århundre, ble matematiske hjelpemidler gradvis tilgjengelige som Hermann Schuberts arbeid kunne formaliseres med (inkludert teorien om mangfold av Alexander Grothendieck , Pierre Samuel , topologisk arbeid av René Thom , bidrag fra blant andre Steven Kleiman , William Fulton , Robert MacPherson , Michel Demazure ). Problemområdet kalles tellegeometri i dag. Problemet kan imidlertid ikke betraktes som løst.

• Steven Kleiman: Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 445-482.

Hilberts sekstende problem

Algebraiske kurver er delmengder av planet som bestemmes av polynomiske ligninger. Disse inkluderer for eksempel enhetssirkelen ( ) eller enkle rette linjer ( ). I 1876 ​​var Axel Harnack i stand til å vise at slike sett med polynomier av grad (også kalt kurver i rekkefølge) kan bestå av de fleste deler (tilkoblede komponenter) som har form av lukkede kurver (ovaler) (siden det projiserende planet er muligens vurdert under Inkludering av poenget i uendelig). Han var også i stand til å konstruere eksempler som også oppnår dette maksimale antallet (“M kurver”). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle ax + b = y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (n-1) (n-2) +1}$

Hilbert behandlet saken ved hjelp av andre metoder enn Harnack i 1891 og fant flere konfigurasjoner som ikke ble funnet av Harnacks konstruksjonsmetoder. Han fant ut at delene ikke kunne ordnes hvor som helst i flyet. For eksempel antok han at de elleve komponentene i sjetteordens M-kurver alltid ligger på en slik måte at ni komponenter er inne i en sløyfe og den siste komponenten går utenfor denne sløyfen (eller omvendt i Harnack-konfigurasjonen ni komponenter er utenfor og en komponent i en annen) og ba i første del av det sekstende problemet om å undersøke forhold av denne typen nærmere. ${\ displaystyle n = 6}$

Dette skjedde med utviklingen av topologien til ekte algebraiske manifolder . Ivan Georgijewitsch Petrowski anerkjente rollen som topologiske invarianter i problemet på 1930-tallet (og uavhengig også Hilberts student Virginia Ragsdale ), og i 1949, sammen med Olga Oleinik, beviste han ulikheter for problemet, som inkluderte Euler-karakteristikken. Forutsetningen fra Hilbert for kurver av den sjette graden ble tilbakevist i 1969 av DA Gudkov i habiliteringsoppgaven, etter at han i avhandlingen i 1954 hadde trodd at han hadde funnet bevis. I sin habilitering mislikte hans veileder det faktum at den resulterende figuren av alle konfigurasjoner ikke var symmetrisk, og til slutt fant han i ytterste tilfelle en tilleggskonfigurasjon som Hilbert hadde savnet: fem ovaler i en annen og fem utenfor. Han fullførte klassifiseringen (unntatt isotopi) av de ikke-entallige plane algebraiske prosjektive kurvene i grad 6.

Siden Hilbert har prosedyren for M-kurver bestått av deformasjonen av ikke-entallige utgangskurver (Hilbert-Rohn-Gudkov-metoden), men krevde en avansert singularitetsteori som ennå ikke eksisterte på Hilberts tid. Gudkov antok at når det gjelder plankurver med jevn grad, gjelder det maksimale antall ovaler ( er antall jevne ovaler, det vil si inneholdt i et jevnt antall ovaler, og antall odde ovaler). I 1971 viste Wladimir Arnold et delvis resultat ( ) og formulerte samtidig problemet på en slik måte (ved kompleksisering og omtanke på Riemann-sfæren) at den faktiske topologiske årsaken til begrensningen av konfigurasjonene ble tydelig. Snart publiserte Wladimir Abramowitsch Rochlin et bevis på resten av Gudkovs gjetninger, men fant snart ut at det var galt, og det samme var gjetningen. Men han fant en generalisert versjon (med en kongruensmodul 16 i stedet for 8) og beviste den. Arnold selv og andre beviste også ulikheter (for numeriske invarianter relatert til ovalenes posisjon). Tilfellet med klassifisering i syvende gradskurver ble løst i 1979 av Oleg Viro , slik at tilfellet med klassifisering av plane prosjektive ikke-entallige algebraiske kurver til isotop løses til (med betydelige fremskritt når det gjelder M-kurver ), med de enkle sakene ble løst så tidlig som på 1800-tallet. ${\ displaystyle d = 2k}$${\ displaystyle po = k ^ {2} {\ bmod {8}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle po = k ^ {2} {\ bmod {4}}}$${\ displaystyle n \ leq 7}$${\ displaystyle n = 8}$${\ displaystyle n \ leq 5}$

Andre resultater nevnt av Hilbert relaterer seg til den tredimensjonale ekvivalenten til spørsmålet: Karl Rohn viste allerede på 1800-tallet at fjerde-ordens algebraiske overflater kan bestå av maksimalt tolv overflater. Den eksakte øvre grensen var ikke kjent på det tidspunktet. VM Kharlamov beviste i 1972 at det er 10, og han fullførte disse studiene av ikke-entallige kvartiske overflater i tre dimensjoner innen 1976. Problemene Hilbert eksplisitt stilte ble dermed løst av Leningradskolen (DA Gudkov, VM Kharlamov, Vladimir Arnold, Vladimir Abramovich Rochlin) endelig løst i perioden 1969 til 1972.

Mens den første delen av Hilberts 16. problem gjelder planetets reelle algebraiske geometri, spør den andre delen om eksistensen av en øvre grense for antall grensesykluser av plan polynomiske dynamiske systemer og uttalelser om deres relative posisjon. Problemet forblir uløst og har blitt lagt til Stephen Smales liste over matematiske problemer. Foruten Riemann-antagelsen, anser Smale problemet som det vanskeligste av Hilbert-problemene. Det har ikke en gang vært betydelig fremgang i å løse problemet, og ikke engang for polynomer av grad er den øvre grensen kjent. Det er bare kjent at antall grensesykluser er begrenset ( Juli Sergeyevich Ilyashenko , Jean Écalle , etter at et bevis fra Henri Dulac fra 1923 viste seg å være feil). ${\ displaystyle n = 2}$

• Oleg Viro: Det 16. Hilbert-problemet, en historie om mystikk, feil og løsning . Presentasjonsbilder, Uppsala 2007 ( PDF; 2,9 MB ).

Hilberts syttende problem

En funksjon med egenskapen som for alle (på punktene der den er definert, dvs. ikke divergerer), blir også referert til som bestemt. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x_ {1}, \ cdot \ cdot \ cdot, x_ {n}) \ geq 0}$${\ displaystyle x_ {i} = a_ {i} \ in k}$

For variabler løste Hilbert selv problemet i 1893. ${\ displaystyle n = 2}$

Det generelle problemet ble løst på en positiv måte av Emil Artin i 1927 . Arbeidet var utgangspunktet for teorien om formelle virkelige kropper og ordnede kropper i algebra (se også virkelige lukkede kropper ), utviklet av Artin og Otto Schreier . Han var også viktig for utviklingen av ekte algebraisk geometri.

Artin beviste: Hvis det er en bestemt rasjonell funksjon over de reelle, rasjonelle eller reelle algebraiske tallene (vanligvis et underfelt av de reelle tallene som bare tillater et enkelt arrangement), så er det en sum av kvadrater av rasjonelle funksjoner:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = \ sum _ {i} {g_ {i}} ^ {2}}$

Albrecht Pfister beviste senere at firkanter er tilstrekkelig for variabler .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$

• Albrecht Pfister: Hilberts syttende problem og relaterte problemer på bestemte former . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer. AMS, del 2, 1976, s. 507-524.
• N. Jacobson: Forelesninger om abstrakt algebra . Volum 3, Van Nostrand 1964, ny utgave Graduate Texts in Mathematics, Springer (lærebokillustrasjon av Artins resultater).
• H. Benis-Sinaceur: De D. Hilbert a E. Artin: Les différents aspect du dix-septièmeproblemème de Hilbert et les filiations conceptuelles de la théorie des corps réels clos . Arch. Hist. Exact Sci., Bind 29, 1984, s. 267-286.

Hilberts attende problem

Den første delen av Hilberts attende problem er den matematiske formuleringen av et spørsmål fra krystallografi . Mange faste stoffer har en krystallinsk struktur på atomnivå, som kan beskrives matematisk med bevegelsesgrupper. Det var mulig å vise tidlig at det er betydelig forskjellige romgrupper på nivå 17 og rom 230. Ludwig Bieberbach kunne endelig vise i 1910 at dette tallet alltid er endelig selv i høyere dimensjoner ( Bieberbachs teoremer ).

I den andre delen av problemet spør Hilbert om det er polyedre i tredimensjonalt rom som ikke fremstår som det grunnleggende området til en bevegelsesgruppe, men som hele rommet fremdeles kan flislegges uten hull. Karl Reinhardt var i stand til å vise at dette er tilfelle for første gang i 1928 ved å gi et eksempel. Området er et aktivt forskningsområde ( f.eks. Kvasikrystaller ifølge Roger Penrose , selvlignende fraktale fliser av William Thurston).

Til slutt spør Hilbert om den mest plassbesparende måten å ordne kuler i rommet på. Allerede i 1611 la Johannes Kepler frem antagelsen om at den ansiktssentrerte kubiske pakningen og den sekskantede pakningen er optimale. Denne uttalelsen, også kjent som Keplers formodning , viste seg å være ekstremt vanskelig å bevise, om enn ikke overraskende. Først i 1998 publiserte Thomas Hales et datamaskinstøttet bevis som nå (2010) er kontrollert og godkjent. Nærmeste pakking av kuler i høyere dimensjoner er fortsatt et aktivt forskningsområde.

• John Milnor : Hilberts problem 18: Om krystallografiske grupper, grunnleggende domener og sfærepakking . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 491-506.

Hilberts nittende problem

Hilbert fant det bemerkelsesverdig at det er partielle differensiallikninger (som Laplace-ligningen eller minimumsarealligningen ) som bare tillater analytiske løsninger, dvs. de som kan representeres lokalt av kraftserier . Ifølge Hilbert er de alle relatert til variasjonsproblemer (som løsninger på de tilknyttede Euler-Lagrange-ligningene ) som tilfredsstiller visse regelmessighetsbetingelser. Hilbert formulerte deretter problemet som et regelmessighetsproblem for elliptiske partielle differensiallikninger med analytiske koeffisienter.

Allerede i 1903 var Sergei Bernstein i stand til å løse problemet ved å bevise analytikken til løsningene til en bestemt klasse differensiallikninger, som også inkluderer de aktuelle ligningene, forutsatt at de tredje derivatene av løsningene eksisterer og er begrensede. Bernstein behandlet elliptiske differensiallikninger av andre rekkefølge i to variabler. Senere var blant andre Leon Lichtenstein , Eberhard Hopf , Ivan Petrovsky og Charles Morrey i stand til å generalisere resultatet. En fullstendig løsning ble deretter levert av Ennio de Giorgi og John Forbes Nash på 1950-tallet.

Det er flere generaliseringer av problemet ved å redusere begrensningene til variasjonsproblemets funksjoner. Fra slutten av 1960-tallet fant Vladimir Gilelewitsch Masja , Ennio de Giorgi og andre moteksempler her.

• Olga Oleinik : Om det nittende Hilbert-problemet . I: Pavel S. Alexandrov (red.): Hilbert-problemene . Harri Deutsch, 1998, s. 275-278.

Hilberts tjuende problem

Det tjuende problemet er nært knyttet til det nittende og er også direkte relatert til fysikk. Hilberts motivasjon var hans opptatthet med og redning av Dirichlets prinsipp (1904), beviset på eksistensen av løsningen på et spesielt variasjonsproblem, som Bernhard Riemann brukte i sitt arbeid med funksjonsteori, men som da ble miskreditt av Karl Weierstrass kritikk . Variasjonsproblemet førte til Laplace-ligningen, et spesielt tilfelle av elliptiske partielle differensialligninger, som han behandlet som en løsning på variasjonsproblemer i det 19. problemet. Her spør han om grensebetingelser for løsningene av den delvise differensialligningen som sikrer eksistensen av en løsning. Problemet viste seg å være ekstremt fruktbart, og det er omfattende resultater om emnet, slik at problemet kan anses løst. De første viktige trinnene mot løsningen kom igjen fra Sergei Bernstein rundt 1910, ytterligere fremskritt, blant annet fra Jean Leray (1939).

• David Gilbarg , Neil Trudinger : Elliptiske partielle differensiallikninger av andre orden . Springer, 3. utgave 1998.
• James Serrin : Problemet med Dirichlet for quasilinear elliptiske differensiallikninger med mange uavhengige variabler . Philosophical Transactions of the Royal Society A, bind 264, 1969, s. 413-496.
• James Serrin : Løseligheten av grenseverdiproblemer . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 507-524.
• Enrico Bombieri : Variasjonsproblemer og elliptiske ligninger (Hilberts problem 20) . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 525-536.

Hilberts tjueførste problem

Fuchs differensiallikninger er homogene lineære differensiallikninger av den niende rekkefølgen i komplekset (sett på Riemann-sfæren , dvs. med punktet ved uendelig ), der den enlige oppførselen til koeffisientfunksjonene er begrenset på en bestemt måte. Det kan representeres som et ekvivalent system med lineære differensiallikninger av første orden med en matrise av koeffisientfunksjoner bare med poler av første orden. Hvis man fortsetter en lokalt gitt løsning rundt de k singular stedene , oppnår man en transformasjon av det fundamentale systemet til løsningene i seg selv gjennom en n × n matrise , monodromi matrisen , når man kommer tilbake til startpunktet . En homomorfi av den grunnleggende enhet av i det vesentlige linjeformet hydroksylgruppen tilveiebrakt . Problemet er: er det et slikt system med differensiallikninger for k gitt entallplasser og en vilkårlig undergruppe som en monodrommatrise? ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {df_ {i} (z)} {dz}} = \ sum _ {j} A_ {ij} (z) f_ {j} (z)}$${\ displaystyle A (z)}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}} - \ {x_ {0}, \ cdots \ x_ {k} \}}$${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle GL (n, \ mathbb {C})}$

Etter at spørsmålet i utgangspunktet kunne bli besvart positivt for noen spesielle tilfeller (inkludert Hilbert selv som handlet om problemet og før Poincaré og Ludwig Schlesinger ), og fram til 1980-tallet trodde man at Josip Plemelj allerede hadde funnet løsningen i 1908 (bekreftende forstand ), ved bruk av teorien om Fredholms integrerte ligninger, ble det funnet et smutthull i beviset hans på begynnelsen av 1980-tallet. Plemeljs bevis gjelder ikke alle fuchsiske systemer, men bare med såkalte vanlige entallplasser (polynomvekst av funksjonen rundt entallplasser ), fordi Andrei Bolibruch fant et moteksempel i 1989. Men Bolibruch fant at det er slike differensialligninger hvis man vurderer irredusible representasjoner av den monodromiske gruppen, og klassifiserte alle fuchsiske systemer som det er en monodrom representasjon for n = 3.

Ulike generaliseringer utover Fuchs differensialligninger ble også vurdert (for eksempel av Helmut Röhrl ). For vanlige entallpunkter og generaliseringer av begrepet vanlige lineære differensiallikninger lyktes Pierre Deligne i å finne en generell positiv løsning på problemet.

• DV Anosov , AA Bolibruch: Aspects of Mathematics - The Riemann-Hilbert problem. Vieweg, Braunschweig 1994, ISBN 3-528-06496-X .
• Helmut Röhrl : Om det tjueførste Hilbert-problemet . I: Pavel S. Alexandrov (red.): Hilbert-problemene . Harri Deutsch, 1998 (tar for seg utviklingen fram til 1960-tallet).

Hilberts tjueto sekunders problem

Det er et av de mest berømte matematiske problemene i tiden, og det ble utført mye forskning på det i andre halvdel av 1800-tallet og begynnelsen av det 20. århundre. Målet med uniformisering er å parametrere algebraiske kurver i to variabler, dvs. å erstatte variablene med funksjoner som bare er avhengig av en variabel. Dermed er for eksempel enhetens sirkel gjennom gitt, parameterisert av for og hver og bruker. Uniformeringssettet vi lette etter var en generalisering av Riemanns kartleggingsteorem på kompakte Riemann-overflater, og for løsningen kjempet Felix Klein og Poincaré en konkurranse på slutten av 1800-tallet, hvor Poincaré opprinnelig kom ut som vinneren. Hilberts bevis tilfredsstilte ham imidlertid ikke. ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ cos \ alpha}$${\ displaystyle \ sin \ alpha}$

I 1907 klarte Poincaré og uavhengig Paul Koebe endelig å løse problemet - men bare for saken med to variabler. Hvis man generaliserer problemet til mer enn to variabler, er det fortsatt ubesvarte spørsmål i området (en del av et program av William Thurston ).

• Lipman Bers : Om Hilberts tjueto sekunders problem . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 559-609.

Hilberts tjuetredde problem

Beregningen av variasjoner er, i Hilberts ord, "doktrinen om funksjonens variasjon" og var av særlig betydning i hans oppfatning. Det er derfor han ikke lenger formulerer et spesifikt problem i den siste delen av foredraget, men ba om videre utvikling av dette området generelt. Med utviklingen og omfattende utvidelsen av funksjonell analyse ble Hilberts bekymring tatt i betraktning i det 20. århundre, også innen applikasjonsområdet (f.eks. Teori om optimale kontroller ). Hilberts eget senere arbeid med Dirichlets prinsipp sto i begynnelsen av introduksjonen av "direkte metoder" i variasjonens beregning. Oversikter over utviklingen på 1900-tallet kommer fra blant annet Stefan Hildebrandt og Guido Stampacchia .

"Hilberts tjuefjerde problem"

Hilberts 24. problem er et matematisk problem, hvis formulering ble funnet i Hilberts eiendom, og som noen ganger blir nevnt som et tillegg til listen over 23 matematiske problemer. Hilbert stiller spørsmålet om kriterier eller bevis for om et bevis er det enkleste for et matematisk problem.

litteratur

• David Hilbert: Matematiske problemer . I: Nyheter fra Royal Society of Sciences i Göttingen, matematisk-fysisk klasse. Utgave 3, 1900, s. 253-297, ISSN  0369-6650 .
• David Hilbert: Sur lesproblemèmes futurs des mathématiques . Compte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens, Paris, Gauthier-Villars, 1902, s. 58–114 (fransk oversettelse av Léonce Laugel).
• David Hilbert: Matematiske problemer . Bulletin of the American Mathematical Society, bind 8, 1901, s. 437-479 (engelsk oversettelse av Mary Newson).
• David Hilbert: Matematiske problemer . Arkiv for matematikk og fysikk, 3. serie, bind 1, 1901, s. 44–63, s. 213–237.
• David Hilbert: Forelesning “Matematiske problemer”. Arrangert på den 2. internasjonale matematikerkongressen i Paris 1900. I: Forfatterkollektiv under redaksjon av Pavel S. Aleksandrov : The Hilbert problems (= Ostwald's classics of exact sciences. Vol. 252). 4. utgave, opptrykk av 3., uendret utgave. Tysk, Thun og andre 1998, ISBN 3-8171-3401-0 .
• Samling av forfattere under redaksjon av Pavel S. Alexandrov : Die Hilbertschen Problems (= Ostwald's classic of exact sciences. Vol. 252). 4. utgave, opptrykk av 3., uendret utgave. Tysk, Thun og andre 1998, ISBN 3-8171-3401-0 .
  • Bidrag fra AG Vitushkin (13. oppgave ), Evgeni Grigoryevich Skljarenko (EG Skljarenko, 5. oppgave), Boris Wladimirowitsch Gnedenko (6. oppgave ), Alexander Ossipowitsch Gelfond (7. oppgave ), Alexander Jessenin-Wolpin (1. og 2. utgave ) Problem), Wladimir Grigoryevich Boltjanski (3. oppgave ), Isaak Moissejewitsch Jaglom (4. oppgave ), Juri Linnik (8. oppgave ), DK Fadeev (9. oppgave), Juri I. Chmelevskij (10. oppgave), Yuri Manin (Oppgave 11, 12, 14, 15, 17), Olga Oleinik (Oppgave 16, 19), Boris Nikolajewitsch Delone (Oppgave 18), Alexander Grigorjewitsch Sigalow (AG Sigalov (1913–1969), Oppgave 19, 20), Helmut Röhrl (Oppgave 21), Lev Ernestovich Elsgolc (Oppgave 23), Boris Wladimirowitsch Schabat (1917–1987, Oppgave 22), er diskusjonens tilstand i mange tilfeller fra slutten av 1960-tallet (den første utgaven dukket opp i 1971) med noen tillegg fra de tyske redaktørene for eksempel i å løse det tiende problemet.
• Felix E. Browder (red.): Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 28). 2 bind. American Mathematical Society, Providence RI 1976, ISBN 0-8218-9315-7 .
• Ivor Grattan-Guinness : En sidelengs titt på Hilberts tjuetre problemer fra 1900 . Merknader AMS, august 2000 ( online ).
• Jeremy J. Gray : The Hilbert Challenge. Oxford University Press, Oxford et al. 2000, ISBN 0-19-850651-1 .
• Jean-Michel Kantor : Hilberts problemer og deres etterfølgere . Mathematical Intelligencer, Volume 18, 1996, Issue 1, s. 21-30.
• Rüdiger Thiele : Hilbert og hans tjuefire problemer. I: Glen van Brummelen, Michael Kinyon (red.): Mathematics and the Historians Craft. The Kenneth O. May Lectures (= CMS Books in Mathematics. Vol. 21). Springer, New York NY 2005, ISBN 0-387-25284-3 , s. 243-296.
• Benjamin H. Yandell: Honnørklassen . Hilberts problemer og deres løsere. AK Peters, Natick MA 2001, ISBN 1-56881-141-1 .

Se også

• Uløste problemer i matematikk

weblenker

• Matematiske problemer - kilder, tekster, arbeider, oversettelser, media på Wikilivres (også kjent som Bibliowiki )
• David Joyces nettsted om Hilberts problemer med lenker
• Hilberts problemer i matematikkleksikonet på Spektrum.de

Individuelle bevis

1. ^ Ina Kersten : Hilberts matematiske problemer. ( Memento av den opprinnelige fra den 17 juli 2009 i Internet Archive ) Omtale: The arkivet koblingen ble satt inn automatisk og har ennå ikke blitt sjekket. Vennligst sjekk originalen og arkivlenken i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen. Bielefeld University, 2000. @1@ 2Mal: Webachiv / IABot / www.math.uni-bielefeld.de
2. ↑ David Hilbert: Matematiske problemer. Foredrag på den internasjonale matematikere kongress i Paris i 1900. ( Memento av den opprinnelige fra 08.04.2012 på webcite ) Omtale: Arkivet koblingen ble satt inn automatisk og har ennå ikke blitt sjekket. Vennligst sjekk originalen og arkivlenken i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen. @1@ 2Mal: Webachiv / IABot / www.mathematik.uni-bielefeld.de
3. ^ ^{A b} D. Hilbert: Matematiske problemer. Foredrag holdt på den internasjonale kongressen for matematikere i Paris i 1900 . I: Nyheter fra Royal. Society of Sciences i Göttingen. Matematisk-fysisk klasse. Utgave 3, 1900, s. 253-297.
4. ↑ Constance Reid, Hilbert-Courant, Springer, 1986, s.73.
5. ↑ Hilbert: Problèmes mathématiques . I: L'enseignement mathématique . Volum 2, 1900, s. 349-354 ( online ).
6. ↑ I arkivet og også i den franske versjonen av kongressrapporten som ble publisert i 1902, nevner han for eksempel oppgave 14, fremgangen som Adolf Hurwitz gjorde i den uforanderlige teorien i 1897 (generelt bevis på at invarianterne var endelige i ortogonal gruppe).
7. ^ Rüdiger Thiele: Hilberts tjuefjerde problem. (PDF; 197 kB) I: American Mathematical Monthly. Vol. 110, nr. 1, januar 2003, ISSN  0002-9890 , s. 1-24.
8. ↑ Grattan Guinness, Notices AMS, August 2000, loc. cit.
9. ^ Charlotte Angas Scott: Den internasjonale matematikerkongressen i Paris . Bulletin AMS, bind 7, 1900, s. 57-79. Hun kalte (s. 68) den påfølgende diskusjonen desultory ("halvhjertet").
10. Referred Han henviste til bind 7, nr. 1 i Rivista di Matematica redigert av ham.
11. ↑ Padoa: Un nouveau système irreductible de postulats pour l'algèbre . ICM 1900. Padoa gikk også til Le Problem nr. 2 de M. David Hilbert . I: L'enseignement mathématique . Volum 5, 1903, s. 85-91 direkte til Hilberts foredrag og hans andre problem.
12. ↑ Hilbert la deretter til en sitering fra Maurice d'Ocagne i den trykte versjonen i Archives for Mathematics and Physics . I følge Grattan-Guinness: En sidelengs titt på Hilberts tjuetre problemer fra 1900 . Merknader AMS, august 2000.
13. ↑ Hilbert bemerket i et brev til Adolf Hurwitz 25. august at konferansen ikke var veldig sterk hverken med hensyn til kvantitet eller kvalitet, og at Poincaré bare deltok på kongressen i lydighet mot sine plikter og var fraværende fra den siste banketten som han skulle presidere. Sitert i Grattan-Guinness, Notices AMS, august 2000, s. 757.
14. ^ Compte Rendu du deuxième congrès international des mathématiciens . Paris, Gauthier-Villars, 1902, s. 24.
15. ^ Paul Cohen: Settteori og kontinuumhypotesen . Benjamin 1963.
16. ↑ Dehn: Om volumet . Mathematische Annalen, bind 55, 1901, s. 465-478. Forenklet av WF Kagan : Om transformasjonen av polyedronet . Mathematische Annalen, bind 57, 1903, s. 421-424 og senere av Hugo Hadwiger , som utvidet Dehn-invarianten til høyere dimensjoner, og Wladimir Grigorjewitsch Boltjanski .
17. ^ Sydler, Comm. Math. Helv., Vol. 40, 1965, s. 43-80. Forenklet av Borge Jessen i Jessen: Algebra of polyhedra and Sydlers theorem . Math. Scand., Bind 22, 1968, s. 241-256.
18. ↑ Hilbert: Om den rette linjen som den korteste forbindelsen mellom to punkter . Mathematische Annalen, bind 46, 1896, s. 91-96 ( digitalisert versjon , SUB Göttingen ), omtrykt i Hilbert: Fundamentals of Geometry . Teubner, 2. utgave 1903, s.83.
19. ↑ Hamel: Om geometriene der de rette linjene er kortest . Mathematische Annalen, bind 57, 1903, s. 231-264.
20. ^ IM Jaglom: Om det fjerde Hilbert-problemet . I: Pavel S. Alexandrov (red.): Hilbert-problemene . Harri Deutsch, 1998.
21. ↑ Busemann, sitert i Yandell: The Honours Class . S. 138.
22. ↑ Béla Kerékjártó løste den todimensjonale saken i 1931, Montgomery i 1948 i tre, og Montgomery og Zippin i 1952 i fire.
23. Hir J. Hirschfeld: Den ikke-standardiserte behandlingen av Hilberts femte problem . Trans. Amer. Math. Soc., Bind 321, 1990, s. 379-400.
24. ↑ Serre, sitert fra Jeremy Gray: Hilbert-problemene 1900-2000 . ( Memento av den opprinnelige fra 12 juni 2007 i Internet Archive ) Omtale: The arkivet koblingen ble satt inn automatisk og har ennå ikke blitt sjekket. Vennligst sjekk originalen og arkivlenken i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen. @1@ 2Mal: Webachiv / IABot / www.math.uni-bielefeld.de
25. ^ Leo Corry: Om opprinnelsen til Hilberts sjette problem: fysikk og den empiriske tilnærmingen til aksiomatisering . Internasjonal matematikerkongress, 2006.
26. ↑ Matyasevich: Hilberts tiende problem . MIT Press 1993, s. 16.
27. ^ Siegel: Om teorien om firkantede former . Meldinger Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Naturwiss. Klasse, 1972, nr. 3, s. 21-46.
28. ^ Encyclopedia of Mathematics: Local-global prinsipper for ringen av algebraiske heltall .
29. ^ Encyclopedia of Mathematics: Quadratic forms .
30. ↑ Vitushkin: Om høyere dimensjonsvariasjoner . Moskva 1955 (russisk). Andrei Kolmogorov ga et enklere bevis samme år.
31. ^ Vitushkin: På det trettende Hilbert-problemet . I: P. Alexandrov (red.): Hilbert-problemene . Harri Deutsch, 1998, s. 211.
32. ↑ Stephen Ornes: Hilberts 13. problem . Spektrum, 11. februar 2021.
33. ↑ Benson Farb, Jesse Wolfson: Resolvent degree, Hilberts 13th Problem and geometry . 2018 ( Arxiv ).
34. ^ Jesse Wolfson: Tschirnhaus-transformasjoner etter Hilbert . 2020 ( Arxiv ).
35. ↑ Wladimir Arnold: Fra superposisjoner til KAM . I: Regular and Chaotic Dynamics . Volum 19, 2014, s. 734–744, først på russisk i Wladimir Arnold: Utvalgt - 60 . Moskva 1997.
36. ↑ Hilbert: Om teorien om algebraiske former . Mathematische Annalen, bind 36, 1890, s. 473-534.
37. ^ O. Zariski: Tolkninger algebrico-geometriques du quatorzieme probleme de Hilbert . Bulletin des Sciences Mathematiques, bind 78, 1954, s. 155-168.
38. ^ Nagata: Om det fjortende problemet med Hilbert . Proc. ICM 1958. Nagata: Foredrag om Hilberts fjortende problem . Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1965.
39. ↑ Michael Kantor: Hilberts problemer og deres oppfølgere . Mathematical Intelligencer, 1996, nr. 1, s. 25.
40. ^ Rokhlin: Kongruenser modulo seksten i det sekstende Hilbert-problemet . Funksjonell analyse og applikasjoner, bind 6, 1972, s. 301-306, del 2, bind 7, 1973, s. 91-92.
41. ↑ Artin: Om spaltning av bestemte funksjoner i firkanter . Abh. Math. Seminar Hamburg, bind 5, 1927, s. 100-115.
42. ↑ Artin, Schreier: Algebraisk konstruksjon av virkelige kropper . Abh. Math. Seminar Hamburg, bind 5, 1927, s. 85-99.
43. ↑ Pfister: Å representere bestemte funksjoner som summen av kvadrater . Inventiones Mathematicae, bind 4, 1967, s. 229-237.
44. ↑ Nicholas Katz : En oversikt over Delignes arbeid med Hilberts tjueførste problem . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 537-585.
45. ^ Deligne: Ligninger différentiels à poeng singuliers regulières . Forelesningsnotater i matematikk, Springer 1970.
46. ↑ Josef Bemelmans, Stefan Hildebrandt, Wolfgang Wahl: Partielle differensialligninger og variasjonskalkulus . I: Gerd Fischer et al .: A Century of Mathematics 1890–1990. Festschrift for jubileet for DMV, Vieweg 1990, s. 149–230.
47. ^ Stampacchia: Hilberts tjuetredde problem: utvidelser av variantenes beregning . I: F. Browder: Matematisk utvikling som følge av Hilberts problemer . AMS, del 2, 1976, s. 611-628.